数学探究：杨辉三角的性质与应用 同步练习（含答案）

数学探究 杨辉三角的性质与应用
第I卷（选择题）
一、单选题
1. “杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早在中国南宋数学家杨辉年所著的解析九章算法一书中出现，欧洲数学家帕斯卡在年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中如图，记第行的第个数字为，第行的第个数字为，第行的第个数字为，则( )
A. B. C. D.
2. 杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家，杨辉的数学著作甚多，有日用算法、杨辉算法等杨辉三角是杨辉的一大重要研究成果，现将杨辉三角中的数换为正整数，形成三角数表，并按如图规律排列例如为第行第列，为第行第列，则为．( )
A. 第行第列 B. 第行第列 C. 第行第列 D. 第行第列
3. “杨辉三角形”是古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了多年，下图是三角形数阵，记为图中第行各数之和，则的值为( )
A. B. C. D.
4. “杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早在中国南宋数学家杨辉年所著的详解九章算法一书中出现，欧洲数学家帕斯卡在年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中如下图，记第行的第个数字为、第行的第个数字为，，第行的第个数字为，则( )
A. B. C. D.
5. 杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家．在他著的详解九章算法一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角形数阵如图所示，称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”，它是杨辉的一大重要研究成果．它比西方的“帕斯卡三角形”早了年．若用表示三角形数阵的第行第个数，则( )
A. B. C. D.
6. 我国南宋数学家杨辉所著的详解九章算术一书中，用如图的数表列出了一些正整数在三角形中的一种几何排列，俗称“杨辉三角形”若将这些数字依次排列构成数列，，，，，，，，，，，，，，，，则此数列的第项为( )
A. B. C. D.
7. 图中各数类似“杨辉三角”，每行首末两数分别为，，每行除首末两数外，其余各数均等于“肩上”两数之和，则第行的个数的和为( )
A. B. C. D.
8. 我国南宋数学家杨辉所著的详解九章算法一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就，在“杨辉三角”中，第行的所有数字之和为，若去除所有为的项，依次构成数列，则此数列的前项和为( )
A. B. C. D.
9. “杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是( )
A.
B. 在第行中第个数最大
C. 第行的第个数、第行的第个数及第行的第个数之和等于行的第个数
D. 第行中第个数与第个数之比为：
二、多选题
10. 我国南宋数学家杨辉年所著的详解九章算法就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的以下关于杨辉三角的猜想中正确的有( )
A. 由“与首末两端等距离的两个二项式系数相等”猜想：
B. 由“在相邻的两行中，除以外的每一个数都等于它肩上两个数的和”猜想：
C. 由“第行所有数之和为”猜想：
D. 由“，，”猜想
11. 我国南宋数学家杨辉年所著的详解九章算法就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．以下关于杨辉三角的猜想中正确的有( )
A. 由“在相邻的两行中，除以外的每一个数都等于它肩上两个数的和”猜想：
B.
C. 第行中从左到右第与第个数的比为：
D. 由“第行所有数之和为”猜想：
12. 我国南宋数学家杨辉年所著的详解九章算法就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的以下关于杨辉三角的猜想中正确的有( )
A. 由“与首末两端等距离的两个二项式系数相等”猜想：
B. 由“在相邻的两行中，除以外的每一个数都等于它肩上两个数的和”猜想：
C. 由“第行所有数之和为”猜想：
D. 由“，，”猜想
13. “杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一．如图所示，由杨辉三角的左腰上的
各数出发，引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为：，，，，，，，，则
A. 在第条斜线上，各数之和为
B. 在第条斜线上，各数自左往右先增大后减小
C. 在第条斜线上，共有个数
D. 在第条斜线上，最大的数是
第II卷（非选择题）
三、填空题
14. 观察下图所示“三角数阵”，该数阵最后一行各数之和为__．
15. 把正整数排列成如图甲的三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列，
若，则____．
16. 在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第 行中从左至右第个数与第个数的比为
四、解答题
17. 在杨辉三角中，除每行的两端数值外，每一数值都是它左上角和右上角两个数值之和，杨辉三角开头几行如图所示．
利用杨辉三角展开；
在杨辉三角中哪一行会出现相邻的三个数，它们的比是
18. 在杨辉三角形中，从第行开始，除以外，其它每一个数值是它上面的两个数值之和，该三角形数阵开头几行如图所示．
在杨辉三角形中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比是？若存在，试求出是第几行；若不存在，请说明理由；
已知为正整数，且，求证：任何四个相邻的组合数不能构成等差数列．
19. 在杨辉三角形中，从第行开始，除以外，其它每一个数是它肩上的二个数之和，这三角形数阵开头几行如图所示．
证明：；
证明：第斜列中从右上到左下的前个数之和一定等于第斜列中的第个数即
；
在杨辉三角形中是否存在某一行，该行中三个相邻的数之比为？若存在，试求出这三个数；若不存在，请说明理由．
1、 ； 2、 ； 3、 ； 4、 ； 5、 ； 6、 ； 7、 ； 8、 ； 9、 ； 10、 ； 11、 ； 12、 ； 13、 ； 14、 ； 15、 ； 16、
17、解：根据杨辉三角的规律“每行两端都是，其余每个数都等于它肩上的两个数的和”，
可写出第行为，，，，，，，
所以．
令，，得．
设在第行出现的三个相邻的数的比是，
并设这三个数分别是，，，
则有
所以
所以即
所以
即在第行会出现．
18、解：存在杨辉三角形的第行由二项式系数，，，，，组成，
如果第行中有，
那么，，解得，，
即第行有三个相邻的数的比为
若有，，使得成等差数列，
则，
即，
，
所以有，
，
整理得到，
两式相减可得，
于是，，，成等差数列，
而由二项式系数的性质可知，
这与等差数列性质矛盾，从而要证明的结论成立．
19、证明：
，
所以原式成立；
由得
左边
右边
原命题成立；
假设存在第行中的三项，使得该行中三个相邻的数之比为：：，
即设为，
所以，化简得
即
整理得，解得，
三个数依次为，，．