第18章 平行四边形复习(第2课时+专题讲解)课件（PPT17张）

(共17张PPT)
考点讲解
平行四边形 章节复习
| 第2课时|
考点一 平行四边形的性质与判定
例1 如图，E、F是平行四边形ABCD对角线BD上的两点，给出下列三个条件：①BE=DF;②∠AEB=∠DFC；③AF∥EC.请你从中选择一个适当的条件____，使四边形AECF是平行四边形，并证明你的结论.
证明：如图，连接AC交BD于O.
∴AO=CO，OB=OD.
又∵BE=DF，
∴OB-BE=OD-DF，∴OE=OF.
又∵AO=CO，
∴四边形AECF为平行四边形.
①
例2 在△ABC 中，AB = AC，点 D 在边 BC 所在的直线上，过点 D 作 DF∥AC 交直线 AB 于点 F，DE∥AB 交直线 AC 于点 E．
(1)当点 D 在边 BC 上时，如图①，求证：DE+DF=AC.
证明：∵ DF∥AC，DE∥AB，
∴ 四边形 AFDE 是平行四边形．
∴ AF = DE.
∵ DF∥AC，∴∠FDB = ∠C.
又∵ AB = AC，
∴ ∠B = ∠C，
∴ ∠FDB =∠B，∴ DF = BF.
∴ DE + DF = AF + BF = AB = AC.
(2) 当点 D 在边 BC 的延长线上时，如图②；当点 D在边 BC 的反向延长线上时，如图③，请分别写出图②、图③中DE，DF，AC之间的数量关系，不需要证明．
(3) 若 AC = 6，DE = 4，求 DF 的值．
解：(2) 图②中：AC + DE = DF．
图③中：AC + DF = DE．
(3) 当如图①的情况，
DF = AC - DE = 6 - 4 = 2；
当如图②的情况，
DF = AC + DE = 6 + 4 = 10．
考点二 三角形的中位线
例3 如图，△ABC中，BD，CE为高，F是边BC的中点，判断△DEF的形状，并说明理由.
解：△DEF为等腰三角形.
在Rt△BEC中，∵F为BC的中点，
∴EF= BC.
同理：FD= BC.
∴FD=EF，
∴ △DEF为等腰三角形.
例4. 如图，在△ABC 中，∠CAB = 90°，DE、DF 是△ABC 的中位线，连接 EF、AD，求证：EF = AD．
证明：∵ DE，DF 是△ABC 的中位线，
∴ DE∥AB，DF∥AC，
∴ 四边形 AEDF 是平行四边形，
又∵∠BAC = 90°，
∴ 平行四边形 AEDF 是矩形，
∴ EF = AD．
考点三 特殊平行四边形的性质与判定
例5 如图，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，点 G 是 BC 延长线上一点，连接 AG，点 E、F 分别在 AG 上，连接 BE、DF，∠1＝∠2，∠3＝∠4.
(1) 求证：△ABE≌△DAF；
(2) 若∠G＝30°，求EF的长.
(1) 证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ AB = AD.
在△ABE 和△DAF 中，
∴△ABE≌△DAF (ASA).
(2) 解：∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴∠BAD＝∠1＋∠4＝90°.
∵∠3＝∠4，∴∠1＋∠3＝90°，
∴∠AFD＝90°.
在正方形 ABCD 中，AD∥BC，
∴∠1＝∠G＝30°.
在 Rt△ADF 中，AD＝2，
∴ DF＝1，AF＝ .
由 (1) 得△ABE≌△DAF，
∴ AE＝DF＝1.
∴ EF＝AF－AE＝ －1.
例6 如图，△ABC 中，点 O 是 AC 上的一动点，过点 O 作直线 MN∥BC，设 MN 交∠BCA 的平分线于点 E，交∠BCA 的外角∠ACG 的平分线于点 F，连接 AE、AF.
(1) 求证：∠ECF＝90°；
(2) 当点 O 运动到何处时，四边形 AECF 是矩形？请说明理由；
(1) 证明：∵ CE 平分∠BCO，CF 平分∠GCO，
∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠GCF，
∴∠ECF＝ ×180°＝90°.
(2)解：当点 O 运动到 AC 的中点时，四边形 AECF 是矩形. 理由如下：
∵ MN∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠GCF.
又∵ CE 平分∠BCO，CF 平分∠GCO，
∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠GCF.
∴∠OCE＝∠OEC，∠OCF＝∠OFC.
∴ OE＝OC，OF＝OC.
∴ OE＝OF.
当点 O 运动到 AC 的中点时，OA＝OC，
∴ 四边形 AECF 是平行四边形.
∵∠ECF＝90°，∴ 四边形 AECF 是矩形.
解：当点 O 运动到 AC 的中点，且满足∠ACB 为直角时，四边形 AECF 是正方形．
由 (2) 知四边形 AECF 是矩形，
而 MN∥BC，当∠ACB＝90° 时，
∠AOF＝∠COE＝∠COF＝∠AOE＝90°，
即AC⊥EF，
∴ 四边形AECF是正方形．
(3) 在 (2) 的条件下，△ABC 满足什么条件时， 四边形 AECF 为正方形？
例7 8.如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG.
（1）求证：AE=CG;
（2）观察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，并证明你的猜想.
（1）证明:∵∠ADC=∠GDE=90°，
∴∠ADC+∠ADG=∠GDE+∠ADG，
即∠GDC=∠ADE.
又∵CD=AD，
DG=DE，
∴△GCD≌△EAD，
∴AE=CG.
(2) 观察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，并证明你的猜想.
（2）解：AE⊥CG.
∵由（1）知△GCD≌△EAD，
∴∠GCD=∠EAD.
又∵∠ANM=∠CND，
∴∠AMN=∠CDN=90°，
∴AE⊥CG.
考点四 本章解题思想方法——方程思想
例8 如图，折叠长方形一边 AD，点 D 落在BC 边的点 F 处，BC = 10 cm，AB = 8 cm，
求：(1) FC 的长； (2) EF 的长．
解：(1)由题意得 AF = AD = 10 cm，
在 Rt△ABF 中，∵ AB = 8，
∴ BF = 6 cm，
∴ FC = BC - BF = 10 - 6 = 4 (cm)．
(2) 由题意可得 EF = DE，可设 DE 的长为 x，
在Rt△EFC中，(8 - x)2 + 42 = x2，
解得 x = 5.
即 EF 的长为 5 cm．
考点四 本章解题思想方法——分类讨论思想
例9 在一个平行四边形中，若一个角的平分线把一条边分成长是2 cm和3 cm的两条线段，求该平行四边形的周长是__________.
解：如图，∵在平行四边形ABCD中，AB = CD， AD = BC ，AD∥BC，
∴∠AEB = ∠CBE．
又∠ABE =∠CBE，
∴ ∠ABE =∠AEB，∴ AB = AE．
(1) 当 AE = 2 时，则平行四边形的周长= 2×(2+5) = 14.
(2) 当 AE = 3 时，则平行四边形的周长= 2×(3+5) = 16.
14 或16
考点四 本章解题思想方法——面积法
例10 .如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点P在AD上，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF=____.
例11 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC=8cm，BD=6cm，DH⊥AB于H，求高DH的长.
解：∵四边形ABCD为菱形,
∴AO= AC=4cm，AC⊥BD，
∴在Rt△AOB中，
（cm）.
S△ABD= DH · AB= AO · BD
∴DH= （cm）.