8.6.2直线与平面垂直(两个课时)(共47张PPT)2022-2023学年高一数学同步“导思议展评测”精品课件(人教A版2019必修第二册)

(共47张PPT)
8.6.2直线与平面垂直（第一课时）
第八章 立体几何初步
8.6空间直线、平面垂直
课程标准
通过直观的例子，理解基本事实4与等角定理
从从平面的定义与基本事实1-4出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直的关系，归纳出以下的判定定理：
1.如果平面外的一条直线与此平面的一条直线平行，那么该直线与此平面平行
2.如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行
3.如果一条直线与另一个平面的两条相交直线垂直，那么该直线与平面垂直
4..如果一个平面过另一个平面的垂涎，那么这两个平面垂直
复习回顾
直线与直线平行
直线与平面平行
平面与平面平行
回顾1 你能将空间中直线、平面平行的判定定理与性质有哪些？
复习回顾
回顾2 什么是异面直线所成的角？我们是如何证明空间中直线与直线垂直？
判定直线与直线垂直
（1）找异面直线的角为900；
（2）等腰（等边）三角形中线；
（3）圆直径所对的圆周角。
异面直线所成的角
(1)定义：已知两条异面直线，经过空间任一点分别作直线 ，我们把直线与所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
(2)空间两条直线所成角的取值范围：.
新课导入
与平行关系类似，垂直问题也是空间直线、平面之间的一种特殊关系，他在研究空间图像问题中具有重要的作用。
类比平行关系的研究过程，本节将研究空间直线、平面之间的垂直关系，重点研究这些垂直关系的判定与性质。
一
二
三
教学目标
理解直线与平面垂直的意义与直线与平面所成角的概念
探索并理解直线和平面垂直的判定定理
并能运用其解决相关问题
教学目标
难点
重点
易错点
新知探究
探究一：点到平面的距离
新知讲解
震撼
震撼
震撼
新知讲解
问题1 在升旗仪式上，你发现了哪些现象与直线、平面相关的现象呢？
在日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识，
比如，旗杆与地面的位置关系，教室相邻墙面的交线与地面的位置关系，都给我们以直线与平面垂直的形象.
新知讲解
问题2 阳光下直立于地面的旗杆及它在地面的影子有何位置关系
旗杆所在直线始终与影子所在的直线垂直
事实上, 随着时间的变化, 尽管影子的位置在不断的变化, 但是旗杆所在直线始终与影子所在直线垂直.
B
C
概念生成
线面垂直的定义：如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，则直线与平面互相垂直，记作.
画直线与水平平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直.
新知讲解
问题3 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 . 将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条 为什么
α
p
l
α
p
l
过空间一点，有且只有一条直线与已知平面垂直。
(2) 过空间一点，有且只有一个平面与已知直线垂直。
结合立体图形，你发现了什么？
新知讲解
过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段,垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.
点到平面的距离也就是立体图象的高
新知探究
探究二：直线与平面垂直的判定定理
新知讲解
下面我们来研究直线与平面垂直的判定，即探究直线与平面垂直的充分条件.
根据直线与平面垂直定义可以进行判断空间直线与平面垂直，但无法验证一条直线与一个平面内的所有直线都垂直.
那么，有没有可行的方法
新知讲解
实践观察1 如图示，将一本书打开直立在桌面上，观察书脊与桌面的位置关系，以及书脊与每页书和桌面的交线的位置关系，你能发现什么？
书脊AB与桌面垂直，
书脊AB与每页书和桌面的交线垂直
追问 那么多交线，我们能证明出直线与平面垂直？能否进行简化？
新知讲解
动手实践：准备一块三角形的纸片，过的顶点翻折纸片，得到折痕，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（与桌面接触）.
(1)折痕与桌面垂直吗？
(2)如何翻折才能使折痕与桌面所在平面垂直？为什么
新知讲解
当所在直线与桌面所在平面垂直的充要条件是折痕是边上的高. 这时, 由于翻折之后垂直关系不变，所以直线与平面内的两条相交直线都垂直.
事实上，由基本事实的推论2,平面可以看成是由两条相交直线所唯一确定的，所以当直线垂直于这两条相交直线时，就能保证直线与内所有直线都垂直.
两条相交直线确定一个平面
概念生成
直线和平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．（文字语言）
符号语言：
m
n
P
图像语言：
线线垂直线面垂直
体现了“直线与平面垂直”和“直线与直线垂直”的互相转化
新知讲解
直线和平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．
问题5 两条相交直线可以确定一个平面,两条平行直线也可以确定一个平面,那么定理中的“两条相交直线”可以改为“两条平行直线”或是“无数条直线”呢
说法是错误的！
平行的传递性
例题讲解
例3 求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面, 那么另一条直线也垂直于这个平面.
已知：如图，，求证: .
证明：如图，在平面α内取两条相交直线m，n.
∵直线 a⊥α
∴a⊥m，a⊥n
∵b//a
∴b⊥m，b⊥n
又m，n均在平面α内且相交
∴b⊥α
平行的传递性
新知探究
探究三：直线与平面所成角
新知讲解
如图，一条直线与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足.
过斜线上斜足外一点向平面引垂线, 过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影；
平面的一条斜线和它在平面的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角().
1.为斜线
2. 与的交点A为斜足
3.直线为直线在平面上的射影.
4.为直线 与平面所成角
新知讲解
一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角.
一条直线在平面内，或与平面平行，它们所成的角是的角.
直线与平面所成的角的取值范围是:[0°, 90°]
例题讲解
例4 如图，在正方体中，求直线和平面所成的角.
分析:关键是找出直线在平面内的射影.
例题讲解
解：如图连接BC1, BC1与B1C相交于点O, 连接A1O.
设正方体棱长为a.
∵A1B1⊥B1C1 , A1B1⊥B1B ,
B1C1∩B1B=B1
∴A1B1⊥平面BCC1B1
∴A1B1⊥ BC1 又BC1⊥B1C
∴ BC1⊥平面A1DCB1
∴A1O为斜线A1B在平面A1DCB1上的射影，∠BA1O为A1B和平面A1DCB1所成的角
构造三角形进行角度求解！
小结
1．直线与平面垂直的定义：如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，则直线与平面互相垂直，记作.
2．直线与平面垂直的判定定理：直线和平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．
五个条件：垂直、垂直、面内、面内、相交
小结
3.点到平面的距离：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段,垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.（点到平面的距离也就是立体图象的高）
4.直线和平面所成的角
1.为斜线
2. 与的交点A为斜足
3.直线为直线在平面上的射影.
4.为直线 与平面所成角
8.6.2直线与平面垂直（第二课时）
第八章 立体几何初步
8.6空间直线、平面垂直
复习回顾
回顾1 直线与平面垂直的定义是什么？
如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，则直线与平面互相垂直，记作.
回顾2 直线与平面垂直的判定定理是什么？
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．（关键：在面内找到两条相交直线）
五个条件：垂直、垂直、面内、面内、相交
新课导入
下面我们研究直线与平面垂直的性质，即探究在直线与平面垂直的条件下能推出哪些结论.
根据已有经验，我们可以探究直线a与平面α内的直线关系. 但由定义， a与α内的所有直线垂直. 所以，可以探究a ， α与其他直线或平面的关系.
我们知道，在平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 . 在空间中是否有类似的性质呢？
一
二
三
教学目标
掌握直线与平面垂直的性质定理
理解两平行平面的距离概念
能够利用相关的知识解决问题
教学目标
难点
重点
新知探究
探究一：直线与平面垂直的性质定理
新知讲解
问题1 （1）如图，在长方体中,棱所在直线都垂直于平面，它们之间具有什么位置关系
（2）如图，已知直线和平面 . 如果，那么直线一定平行吗
你还会得到哪些结论？
新知讲解
（2）如图，已知直线和平面 . 如果，那么直线一定平行吗
假设b与a不平行，且b∩α=O.
显然点O不在直线a上，所以点O与直线a可确定一个平面.
在该平面内过点O作直线b′//a
则直线b与b'是相交于点O的两条不同直线, 所以直线b与b'可确定平面β.
设α∩β=c, 则O∈c.
因为a⊥α, b⊥α，所以a⊥c, b⊥c.
又因为b′//a , 所以b'⊥c.
这样在平面β内，经过直线c上同一点O就有两条直线b、b′与c垂直，显然不可能.
反证法！
新知讲解
线面垂直的性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行.
线面垂直
线线平行
直线与平面垂直的性质定理告诉我们 , 可以由两条直线与一个平面垂直判定两条直线平行.
直线与平面垂直的性质定理揭示了“平行”与“垂直”之间的内在联系。
新知讲解
b
a
a
观察上图，在的条件下，如果平面外的直线与直线垂直，你能得到什么结论
垂直于同一条直线的两个平面平行
问题6 在的条件下，如果平面与平面平行，你又能得到什么结论
概念生成
1.若，则与面内的所有直线都垂直.
(若，则)
2.两条平行直线垂直于同一个平面.
(若，则)
3.若a⊥α，则平面外与a垂直的直线.
(若，则)
4.垂直于同一条直线的两个平面平行.
5.线面垂直的性质定理：
垂直于同一个平面的两条直线平行.
(若，则)
新知探究
探究二：直线与平面垂直的性质定理应用
例题讲解
例5 如图，直线平行于平面，求证：直线上各点到平面的距离相等。
由A，B是直线l上任取的两点，可知直线l上各点到平面α距离相等。
证明：过直线l上任意两点A，B分别作平面α的垂线AA1，BB1，垂足分别是A1，B1
∵AA1⊥α，BB1⊥α
∴AA1// BB1
设直线AA1 , BB1确定的平面为β , α∩β=A1B1
∵l //α
∴l //A1B1
∴四边形AA1BB1是矩形
∴AA1=BB1
新知讲解
a
α
一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离.
如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.
例6 推导棱台的体积公式，其中S′, S, h分别是棱台的上下底面积和高)
例题讲解
解: 如图，延长棱台各侧棱交于一点P，得到截得棱台的棱锥过点P作棱台下底面的垂线，分别交棱台的上、下底面于点O′，O
则PO垂直于棱台的上底面．
从而O′O＝h
设截得棱台的棱锥的体积为V，去掉的棱锥的体积为V′，高为h′．则PO′=h′.

例题讲解

∴棱台的体积
由棱台的上、下底面平行，棱台的上、下底面相似，并且

高：
（1）点到平面的距离
（2）两个平面的距离
小结
1.若，则与面内的所有直线都垂直.
(若，则)
2.两条平行直线垂直于同一个平面.
(若，则)
3.若a⊥α，则平面外与a垂直的直线.
(若，则)
4.垂直于同一条直线的两个平面平行.
5.线面垂直的性质定理：
垂直于同一个平面的两条直线平行.
(若，则)
小结
线线垂直和线面垂直的相互转化
小结
证明线面垂直的方法
1.线面垂直的定义
2.线面垂直的判定定理
3.如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．
4.如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面
5.垂直于同一个平面的两条直线平行
小结
利用中位线、等分线
利用角
利用基本事实4
利用线线平行定义：证共面且无公共点．
利用基本事实4：证两线同时平行于第三条直线．
利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行．
利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直．
利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行．
证明线线平行的方法