9.2一元一次不等式（1）一元一次不等式的解法课件(共55张PPT)2022-2023学年人教版七年级下册

(共55张PPT)
第九章 不等式与不等式组
9.2 一元一次不等式
第1课时 一元一次不等式的解法
七年级数学下（RJ）
教学课件
1.理解和掌握一元一次不等式的概念；
2.会用不等式的性质熟练地解一元一次不等式.(重点、
难点）
学习目标
不等式
一元一次不等式
一元一次不等式组
不等式与不等式组
不等式的应用
不等式的性质
新知一览
不等式及其解集
一元一次不等式的解法
一元一次不等式的应用
1.什么叫做一元一次方程？
一般地，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。
2.解一元一次方程的一般步骤是什么？
去分母 去括号 移向 合并同类项 系数化1
回顾
3、不等式有哪些基本性质？
性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。
性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
有一次，鲁班的手不慎被一片小草叶子割破了，他发现小草叶子的边缘布满了密集的小齿，于是便产生联想，根据小草的结构发明了锯子.
鲁班在这里就运用了“类比”的思想方法，“类比”也是数学学习中常用的一种重要方法.
知识点 1：一元一次不等式的概念
观察下列式子：
(1) x = 4； (2) x ＞ 4；
(3) 3x = 30； (4) 3x ＜ 30；
(5) 1.5x + 12 = 0.5x + 1； (6) 1.5x + 12 ＞ 0.5x + 1；
； .
左边的式子与右边的式子相比较，你能找出哪些相同点与不同点？
一元一次不等式的概念
含有一个未知数，未知数的次数是 1 的
不等式，叫做一元一次不等式.
它与一元一次方程的定义有什么共同点和不同点？
① 不等式两边都是整式；
② 每个不等式都只含有一个未知数；
③ 未知数的次数都是 1.
一元一次不等式：只含有一个未知数，未知数次数是1，不等号两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式．.
只含有一个未知数
未知数的次数是1
不等号的左右两边都是整式
探索新知
只含有一个未知数
未知数的次数是1
等号的左右两边都是整式
一元一次方程 一元一次不等式.
A
素养考点 1
一元一次不等式的识别
例1 下列式子中是一元一次不等式的有（ ）个
（1）x2+1>2x； (2) ;
（3）4y>6x； (4)7x≥6.
A.1 B.2 C.3 D.4
探究新知
下列不等式中，哪些是一元一次不等式
(1) 3x+2>x–1 (2)5x+3<0
(3) (4)x(x–1)<2x




左边不是整式
化简后是
x2-x<2x
练一练
不含有未知数
不是整式
含有两个未知数
等式
巩固新知
例2 已知 是关于x的一元一次不等式，
则a的值是________．
典例精析
解析：由 是关于x的一元一次不等式得2a－1＝1，计算即可求出a的值等于1.
1
巩固练习
若 mx -8≤4-2x是关于 x 的一元一次不等式．则 m 的取值范围是 ＿＿＿
解不等式：
4x-8<12
解：
4x-8+8<12+8.
4x<20.
x<4.
知识点 2
一元一次不等式的解法
探究新知
4x<12+8.
移项
合并同类项
系数化为1
思考：移项的依据是什么？
不等式性质1
移项是否会使不等号方向发生改变？
不会
思考：解不等式的整个过程中，不等号方向是不是都不会发生改变？
将不等式一边的项变号后，移到不等式另一边，这个过程叫移项
类比思想
解方程：
4x - 1 = 5x + 15.
解：移项，得
4x - 5x = 15 + 1.
合并同类项，得
-x = 16.
系数化为 1，得
x = -16.
解不等式：
4x - 1 < 5x + 15.
解：移项，得
4x - 5x < 15 + 1.
合并同类项，得
-x < 16.
系数化为 1，得
x > -16.
如何在数轴上表示呢？
解不等式 4x - 1 < 5x + 15，并把它的解集在数轴上表示出来.
原不等式的解集 x > -16 在数轴上表示如图所示：
-16
0
总结一下，解一元一次不等式的解题步骤是什么？
●去分母；
●去括号；
●移项；
●合并同类项；
●系数化为1
①
⑤
④
③
②
步骤
＞
6－2 (x－2) ＝3x
6－2x＋4＝3x
－2x －3x＝－6－4
－5x＝－10
x＝2
x＜2
6－2 (x－2) ＞3x
6－2x＋4 ＞3x
－2x －3x ＞－6－4
－5x ＞－10
不等式的方法、步骤都类似的结论，完成以下两题,并将解题过程填入表（一）。
表（一）
（1）利用解一元一次方程与解一元一次
不等式的性质2,3
去括号法则
不等式的性质1
合并同类项法则
不等式的性质2,3
①
⑤
④
③
②
步 骤
去分母
去括号
移项
合并同类项
系数化为1
根 据
不等式的一般步骤，并指出每个步骤的根据，完成表（二）.
表（二）
（2）再利用表（一）归纳解一元一次
一元一次方程 一元一次不等式
解法步骤
依据
解的个数
解(集)的形式
解一元一次方程与解一元一次不等式的相同点和不同点
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1.(对于解不等式，在去分母、系数化为1时，若两边同时乘(或除以)一个负数，则不等号的方向改变)
等式的性质
不等式的性质
只有一个解
一般有无数个解
x=a
xa(x≥a)
一元一次不等式
去分母
合并同类项
乘法分配律
一元一次不等式的解集
去括号
移
项
系数化为1
不等式的性质2
不等式的性质1
不等式的性质2或3
合并同类项法则
知识归纳
解一元一次方程，要根据等式的性质，将方程逐步化为 的形式；而解一元一次不等式，则要根据不等式的性质，将不等式逐步化为
(或 )的形式.
x=a
xx>a
解：
首先将分母去掉
去括号，得 2x-10+6≤9x
去分母，得 2(x-5)+1×6≤9x
移项，得 2x-9x≤10-6
去括号
将同类项放在一起
（2） 原不等式为
合并同类项，得 -7x ≤4
两边都除以-7，得
x≥ .
计算结果
根据不等式性质3
练一练
（2） .
例3 解下列一元一次不等式 ：
（1） 2-5x < 8-6x ；
（2） .
解：
（1） 原不等式为2-5x < 8-6x
将同类项放在一起
即 x < 6.
移项，得 -5x+6x < 8-2，
计算结果
典例精析
解：
首先将分母去掉
去括号，得 2x-10+6≤9x
去分母，得 2(x-5)+1×6≤9x
移项，得 2x-9x≤10-6
去括号
将同类项放在一起
（2） 原不等式为
合并同类项，得 -7x ≤4
两边都除以-7，得
x≥ .
计算结果
根据不等式性质3
8x-4≥15x-60
8x-15x≥-60+4
-7x≥-56
x≤8
去分母,得
去括号,得
移项,得
合并同类项,得
化系数为1,得
解:
同乘最简公分母12,方向不变
同除以-7,方向改变
0
1
2
-1
3
4
5
6
7
8
这个不等式的解集在数轴上的表示为
【注意】在去分母时,不要　漏乘不含分母的项　,且多项式分子要加　括号　.
例5 解不等式12-6x≥2(1-2x)，并把它的解集在数轴
上表示出来.
解：
首先将括号去掉
去括号，得 12-6x ≥2-4x
移项，得 -6x+4x ≥ 2-12
将同类项放在一起
合并同类项，得 -2x ≥-10
两边都除以-2，得 x ≤ 5
根据不等式基本性质3
原不等式的解集在数轴上表示如图所示.
-1
0
1
2
3
4
5
6
注：解集x≤5中包含5，所以在数轴上将表示5的点画成实心圆点.
练习 解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来：
（1） 4x-3 < 2x+7 ；
（2） .
解：(1)原不等式的解集为x<5，在数轴上表示为
(2)原不等式的解集为x≤-11，在数轴上表示为：
-1
0
1
2
3
4
5
6
0
-11
解下列不等式，并在数轴上表示解集：（教材124页，练习1）
（1） 5x+15 >4x－1 ;
（2） 2(x+5) ≤3(x－5) ;
（3） ＜ ;
（4） ≥ .
巩固练习
例6　不等式 (x－m)>3－m的解集为x>1，求m的值．
解：去分母，得x－m>3(3－m).
去括号、移项、合并同类项，得x>9－2m.
又∵不等式的解集为x>1，
∴9－2m＝1，解得m＝4.
1. 解不等式 的过程中，开始出现错误的一步是(　　)
①去分母，得5(x＋2)＞3(2x－1)；
②去括号，得5x＋10＞6x－3；
③移项、合并同类项，得－x＞－13；
④系数化为1，得x＞13.
A．① B．② C．③ D．④
D
2. 解一元一次不等式：
解：去分母，得_____－(x＋5)＜3x＋2.
去括号，得2－________＜3x＋2.
移项，得－x－_____＜2－2＋5.
合并同类项，得－4x＜5.
系数化为1，得x＞________．
2
x-5
3x
-1.25
3. 当自然数k＝_________时，关于x的方程 x－3k＝5(x－k)＋6
的解是负数．
0，1，2
4. 当x取什么值时，代数式 x +2的值大于或等于0？并求出所有满足条件的正整数.
解得 x ≤ 6.
x≤6在数轴上表示如图所示.
解：根据题意，得 x +2≥ 0,
所以，当x≤6时，代数式 x+2的值大于或等于0.
-1
0
1
2
3
4
5
6
由图可知，满足条件的正整数有 1,2,3,4,5,6.
教材124页；练习1
教材126页；第10题
解：
解得 x ≤ 6.
x≤6在数轴上表示如图所示.
-1
0
1
2
3
4
5
6
根据题意，得 x +2≥ 0,
所以，当x≤6时，代数式 x+2的值大于或等于0.
由图可知，满足条件的正整数有 1,2,3,4,5,6.
例6当x取什么值时，代数式 x +2的值大于或等于0？并求出所有满足条件的正整数.
求不等式的特殊解
典例分析
含参不等式解法
例7
典例分析
例8.已知不等式 x＋8＞4x＋m (m是常数)的解集是 x＜3，求 m.
解：因为 x＋8＞4x＋m，
所以 x－4x＞m－8， 即－3x＞m－8，
因为其解集为x＜3，
所以 .
解得 m=－1.
含参不等式解法
典例分析
解：由方程的解的定义，把x=3代入ax+12=0中，
得 a=－4.
把a=－4代入（a+2）x＞－6中，
得－2x＞－6，
解得x＜3.
在数轴上表示如图：
其中正整数解有1和2.
例9 已知方程ax+12=0的解是x=3，求关于x不等式
（a+2）x＞－6的解集，并在数轴上表示出来，其
中正整数解有哪些？
-1
0
1
2
3
4
5
6
一元一次不等式与一元一次方程的综合问题
典例分析
变式：当a取什么值时,解方程3x-2=a得到的x值，当a取什么值时,解方程3x-2=a得到的x值
（1）是正数？
（2）是0？
（3）是负数？
解：移项可得：X＝（a+2）/3,
则当a大于-2时,解为正数
a小于-2时,解为负数,
a等于-2时,解为0
课堂练习
练习 求不等式3(x＋1)≥5x－9的非负整数解．
分析：求不等式的非负整数解，即在原不等式的解集中找出它所包含的“非负整数”特殊解；因此先需求出原不等式的解集．
解：∵解不等式3(x＋1)≥5x－9得x≤6.
∴不等式3(x＋1)≥5x－9的非负整数解为
0，1，2，3，4，5，6.
正确理解关键词，如非负整数，自然数等关键词
解：∵解不等式3(x＋1)≥5x－9得x≤6.
∴不等式3(x＋1)≥5x－9的非负整数解为
0，1，2，3，4，5，6.
2．不等式4－3x≥2x－6的非负整数解有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
C
3.若关于x的一元一次方程x－m＋2＝0的解是负数，则m的取值范围是( )
A．m≥2 B．m＞2
C．m＜2 D．m≤2
4.不等式6－4x≥3x－8的非负整数解有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
C
B
B
5
5.a≥1的最小正整数解是m,b≤8的最大正整数解是n,求关于x的不等式(m+n)x＞18的解集．
所以，m+n=9
解：因为a≥1的最小正整数解是m,所以m=1.
因为b≤8的最大正整数解是n,所以n=8.
把m+n=9代入不等式(m+n)x＞18中，
得 9x＞18，
解得x＞2.
6.若关于x的一元一次方程3(x+2)=k+2的解是负数，则k的取值范围是　　.
k<4
D
a＞1
C
课后练习
解
解得 x ≤ 6.
x≤6在数轴上表示如图所示.
-1
0
1
2
3
4
5
6
根据题意，得 x +2≥ 0,
所以，当x≤6时，代数式 x+2的值大于或等于0.
由图可知，满足条件的正整数有 1,2,3,4,5,6.
2. 当x取什么值时，代数式 x +2的值大于或等于0？并求出所有满足条件的正整数.
3．先阅读，再完成练习．
一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．
若|x|＜3，则x表示到原点距离小于3的数，从如图①所示的数轴上看：大于－3而小于3的数，它们到原点距离小于3，所以|x|＜3的解集是－3＜x＜3；
若|x|＞3，则x表示到原点距离大于3的数，从如图②所示的数轴上看：小于－3的数和大于3的数，它们到原点距离大于3，所以|x|＞3的解集是x＜－3或x＞3.
解答下面的问题：
(1)不等式|x|＜a(a＞0)的解集为___________，不等式|x|＞a(a＞0)的解集为_________________；
(2)解不等式|x－3|＞5；
(3)求不等式|x－1|＋|x＋2|＜5的解集．
解：(2)|x－3|＞5，∴x－3＞5或x－3＜－5，
∴x＞8或x＜－2.
－ax>a或x<－a
(3)在数轴上找出|x－1|＋|x＋2|＝5的解．
由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和－2对应的点的距离之和等于5的点对应的x的值．∵在数轴上1和－2对应的点的距离为3，∴满足方程的x对应的点在1的右边或－2的左边．若x对应的点在1的右边，可得x＝2；若x对应的点在－2的左边，可得x＝－3，∴方程|x－1|＋|x＋2|＝5的解是x＝2或x＝－3，∴不等式|x－1|＋|x＋2|＜5的解集为－3＜x＜2
含有一个未知数，未知数的次数是 1 的不等式，叫做一元一次不等式
一元一次不等式
概念
解法
去分母
去括号
移项
合并同类项
系数化为1
归纳新知
一、通过本节课的学习，你学到了哪些知识？
1、一元一次不等式的定义；
2、解一元一次不等式的一般步骤：
（1）去分母 ； （2） 去括号；
（3）移项； (4) 合并同类项；
（5）系数化为1.
二、你觉得在解一元一次不等式的步骤中，
应该注意些什么问题？
1、去分母时，不能漏乘不含分母的项；
2、去掉分母后，分子要用括号括起来；
3、化系数为1时，要注意不等号方向是否改变。
课堂小结