【解析版】甘肃省张掖市肃南县第一中学2014届高三下学期3月月考数学试题

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．若复数z＝2－i，则＋＝(　　)
A．2－i B．2＋i C．4＋2i D．6＋3i
【答案】D
【解析】。
2．(理)条件甲：；条件乙：，则甲是乙的(　　)
A．充要条件 B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
(文)设α，β分别为两个不同的平面，直线l?α，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】。
3．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是(　　)
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【解析】，
4．(理)已知双曲线－＝1的一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为(　　)
A．5x2－y2＝1 B.－＝1 C.－＝1 D．5x2－y2＝1
【答案】D
【解析】
(文)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则双曲线的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±2x D．y＝±x
【答案】A
【解析】。
5．如图是依据某城市年龄在20岁到45岁的居民上网情况调查而绘制的频率分布直方图，现已知年龄在[30,35)、[35,40)、[40,45]的上网人数呈现递减的等差数列分布，则年龄在[35,40)的网民出现的频率为(　　)
A．0.04 B．0.06 C．0.2 D．0.3
【答案】C
【解析】
6．已知等比数列{an}的首项为1，若4a1,2a2，a3成等差数列，则数列的前5项和为(　　)
A. B．2 C. D.
【答案】A
【解析】
7．已知l，m是不同的两条直线，α，β是不重合的两个平面，则下列命题中为真命题的是(　　)
A．若l⊥α，α⊥β，则l∥β B．若l⊥α，α∥β，m?β，则l⊥m
C．若l⊥m，α∥β，m?β，则l⊥α D．若l∥α，α⊥β，则l∥β
【答案】B
【解析】
8．点A、B、C、D在同一个球的球面上，AB＝BC＝，AC＝2，若四面体ABCD体积的最大值为，则这个球的表面积为(　　)
A. B．8π C. D.
【答案】C
【解析】
9．(理)已知实数a，b，c，d成等比数列，且函数y＝ln(x＋2)－x当x＝b时取到极大值c，则ad等于(　　)
A．1 B．0 C．－1 D．2
【答案】C
【解析】
(文)直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1,3)，则2a＋b的值为(　　)
A．2 B．－1 C．1 D．－2
【答案】C
【解析】
10．在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零点的概率为(　　)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
11.如图所示，F1，F2是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，以坐标原点O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点分别为A，B，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为(　　)
A.＋1 B.＋1 C. D.
【答案】B
【解析】
12．已知点A(－1，0)，B(1，0)，C(0，1)，直线y＝ax＋b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是(　　)
A．(0，1) B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题意知： 。当直线过点（-1,））时，要将△ABC分割为面积相等的两部分，直线必须过点，此时有；当a=1时，直线y＝ax＋b平行于直线AC，要将△ABC分割为面积相等的两部分，可求得此时。
第Ⅱ卷 (非选择题　共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填写在题中的横线上)
13．若x，y满足条件当且仅当x＝y＝3时，z＝ax－y取得最小值，则实数a的取值范围是________．
【答案】
【解析】
14．(理)如图所示，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则·＝________.
【答案】18
【解析】
(文)已知向量p＝(1，－2)，q＝(x,4)，且p∥q，则p·q的值为________．
【答案】-10
【解析】10.
15．给出下列等式：观察各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则依次类推可得a6＋b6＝________.
【答案】18
【解析】
16．已知不等式xy≤ax2＋2y2，若对任意x∈[1,2]，且y∈[2,3]，该不等式恒成立，则实数a的取值范围是________．
【答案】
【解析】
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程及演算步骤)
17．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝sin＋2cos2x－1(x∈R)
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知f(A)＝，b，a，c成等差数列，且·＝9，求a的值．
18.(理)(本小题满分12分)某学校为了增强学生对消防安全知识的了解，举行了一次消防安全知识竞赛，其中一道题是连线题，要求将4种不同的工具与它们的4种不同的用途一对一连线，规定：每连对一条得5分，连错一条得－2分．某参赛者随机用4条线把消防工具与用途一对一全部连接起来．
(1)求该参赛者恰好连对一条的概率；
(2)设X为该参赛者此题的得分，求X的分布列与数学期望．
(文)(本小题满分12分)某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学基本公式大赛，他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83.
(1)求x和y的值；
(2)从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率．
19.(理)(本题满分12分)如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为一直角梯形，其中BA⊥AD，CD⊥AD，CD＝AD＝2AB，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．
(Ⅰ)求证：BE∥平面PAD；
(Ⅱ)若BE⊥平面PCD，求平面EBD与平面BDC夹角的余弦值．
(文)(本小题满分12分)如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．
(1)求证：AB1⊥平面A1BD；
(2)设点O为AB1上的动点，当OD∥平面ABC时，求的值．
20.(本小题满分12分)如图F1、F2为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，D、E是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率e＝，S△DEF2＝1－.若点M(x0，y0)在椭圆C上，则点N称为点M的一个“椭点”，直线l与椭圆交于A、B两点，A、B两点的“椭点”分别为P、Q.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)问是否存在过左焦点F1 的直线l，使得以PQ为直径的圆经过坐标原点？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由．
21．(理)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ex(ax2－2x－2)，a∈R且a≠0.
(1)若曲线y＝f(x)在点P(2，f(2))处的切线垂直于y轴，求实数a的值；
(2)当a＞0时，求函数f(|sin x|)的最小值；
(3)在(1)的条件下，若y＝kx与y＝f(x)的图象存在三个交点，求k的取值范围．
(文)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ln x与g(x)＝kx＋b(k，b∈R)的图象交于P，Q两点，曲线y＝f(x)在P，Q两点处的切线交于点A.
(1)当k＝e，b＝－3时，求函数h(x)＝f(x)－g(x)的单调区间；(e为自然常数)
(2)若A，求实数k，b的值．
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲
如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.
(1)证明：DB＝DC；
(2)设圆的半径为1，BC＝，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．
23．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin＝4.
(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；
(2)设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值，并求此时点P的坐标．
24．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲
设函数f(x)＝.
(1)当a＝5时，求函数f(x)的定义域；
(2)若函数f(x)的定义域为R，试求a的取值范围．


答案：a≥－1
17．解：(1)f(x)＝sin＋2cos2x－1
＝sin 2x－cos 2x＋cos 2x
＝sin 2x＋cos 2x＝sin
令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)

X
－8
－1
6
20
P




E(X)＝－3－＋＋＝－1.
(文)解：(1)∵甲班学生的平均分是85，
∴＝85.
∴x＝5.
∵乙班学生成绩的中位数是83，
∴y＝3.
(2)甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为A，B，
乙班成绩在90分以上的学生有三名，分别记为C，D，E.
从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)．

平面BDE和平面BDC中，＝(0，a，a)，＝(－a,2a,0)＝(a,2a,0)，
所以平面BDE的一个法向量为n1＝(2,1，－1)；平面BDC的一个法向量为n2＝(0,0,1)；
cos〈n1，n2〉＝，所以平面EBD与平面BDC夹角的余弦值为.
(文)解：(1)取BC的中点为M，连接AM，B1M，
在正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，
△ABC为正三角形，所以AM⊥BC，
(2)①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－
联立解得或，不妨令A，B，
所以对应的“椭点”坐标P，
Q.而·＝≠0.

(2)设|sin x|＝t(0≤t≤1)，则只需求当a＞0时，函数y＝f(t)(0≤t≤1)的最小值．
令f′(x)＝0，解得x＝或x＝－2，而a＞0，即＞－2.
从而函数f(x)在(－∞，－2)和上单调递增，在上单调递减．
当≥1，即0＜a≤2时，函数f(x)在[0,1]上为减函数，ymin＝f(1)＝(a－4)e；
当0＜＜1，即a＞2时，函数f(x)的极小值即为其在区间[0,1]上的最小值，ymin＝f＝－2e.
综上可知，当0＜a≤2时，函数f(|sin x|)的最小值为(a－4)e；当a＞2时，函数f(|sin

22．(1)证明：如图，连接DE，交BC于点G.
由弦切角定理，得∠ABE＝∠BCE，而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，
所以BE＝CE.
又因为DB⊥BE，所以DE为圆的直径，∠DCE＝90°.
由勾股定理可得DB＝DC.
(2)解：由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，
故DG是BC边的中垂线，所以BG＝.
设DE的中点为O，连接BO，则∠BOG＝60°，从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，所以CF⊥BF，故Rt△BCF外接圆的半径等于.