【解析版】新疆兵团第二师华山中学2013-2014学年高二下学期第一次月考数学（理）试题

2013-2014年第二学期高二年级第一次月考
数学 理科 试卷
（考试时间：120分钟，满分：150分） 命题教师：王同山
一、选择题（512=60分）
1. 复数z=i2(1+i)的虚部为（ ）
A. 1 B. i C. -1 D. - i
【答案】C
【解析】z=i2(1+i)=-1-i,所以复数的虚部为-1.
2观察下列各式：=3125，=15625，=78125，…，则的末四位数字为
A．3125 B．5625 C．0625 D．8125
【答案】D
【解析】观察下列各式：=3125的末四位数字为3125，=15625的末四位数字为5625,，=78125的末四位数字为8125，的末四位数字为0625，的末四位数字为3125，…，周期为4，所以的末四位数字为8125.
3．若复数z满足(其中i是虚数单位)，则z对应的点位于复平面的
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】因为，所以，所以z对应的点位于复平面的的第一象限。
4有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率
A． B． C． D
【答案】B
【解析】试验发生包含的事件是把5本书随机的摆到一个书架上，共有A55=120种结果，
下分类研究同类书不相邻的排法种数：
假设第一本是语文书（或数学书），第二本是数学书（或语文书）则有42221=32种可能；
假设第一本是语文书（或数学书），第二本是物理书，则有41211=8种可能；
假设第一本是物理书，则有14211=8种可能．
∴同一科目的书都不相邻的概率P= 。
5．在四边形ABCD中，“=2”是“四边形ABCD为梯形”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若=2，则AB//CD,且AB≠CD,所以四边形ABCD为梯形；若四边形ABCD为梯形，不一定有=2，所以在四边形ABCD中，“=2”是“四边形ABCD为梯形”的充分不必要条件。
6.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有
A．4种 B．10种 C．18种 D．20种
【答案】B
【解析】可分为两种情况：①画册2本，集邮册2本，则不同的赠送方法有
(种)．
②画册1本，集邮册3本，则不同的赠送方法有4(种)．
∴共有6＋4＝10(种)．
7．命题: “ ≤ ”的否定为（　　）
A. B.
C. D.≤
【答案】B
【解析】命题: “ ≤ ”的否定为.
8．双曲线以一正方形两顶点为焦点，另两顶点在双曲线上，则其离心率为（ ）
A. 2 B. +1 C. D. 1
【答案】B
【解析】设正方形的边长为2，则双曲线的焦点坐标为（-1，0）和（1，0），且双曲线过点（1，-2）．∵双曲线上的点（1，-2）到两个焦点（-1，0）和（1，0）的距离分别是和2，所以。
9 ．设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是 （　　）
A．若,,,则 B．若,,,则
C．若,,,则 D．若,,,则
【答案】D
【解析】A．若,,,则错误，分别在两垂直平面内的两直线可能平行、相交或异面。
B．若,,,则 ，错误，两平行平面内的两直线可能平行或异面；
C．若,,,则错误，若 , ,则；
D．若,,,则正确。
10如图，四棱锥S—ABCD的底面为正方形，SD底面ABCD，则下列结论中不正确的是（ ）
（A）AC⊥SB
（B）AB∥平面SCD
（C）SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
（D）AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
【答案】D
【解析】易证AC⊥面SBD，所以AC⊥SB；因为AB//CD，，所以AB∥平面SCD；设AC与BD的交点为O，连接SO，因为AC⊥面SBD，所以SA与平面SBD所成的角为∠ASO, SC与平面SBD所成的角∠CSO，显然SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角；∵AB∥DC，∴∠SCD（为锐角）是AB与SC所成的角，∠SAB（为直角）是DC与SA所成的角；而∠SCD≠∠SAB．∴AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角不正确。
11.已知函数，若过点且与曲线相切的切线方程为，则实数的值是( )
A. B. C.6 D.9
【答案】D
【解析】设切点为，所以，所以切线方程为，把点（0,16）代入得，所以，即a=9.
12. 在集合中任取一个偶数和一个奇数构成以原点为起点的向量．从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形．记所有作成的平行四边形的个数为，其中面积不超过的平行四边形的个数为，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在集合中任取一个偶数和一个奇数构成以原点为起点的向量，则向量共有6种情况，从这6个向量中任选2个向量为邻边作平行四边形．记所有作成的平行四边形的个数为，则，其中面积不超过的平行四边形的个数为5个，所以。
二、填空题（45=20分）
13．曲线与坐标轴围成的面积是___________.
【答案】3
【解析】曲线与坐标轴围成的面积。
14.从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率为______
【答案】
【解析】从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，共有6中情况，其中一个数是另一个的两倍的情况有：两种情况，所以其概率为。
15.观察下列等式
1=1
2+3+4=9
3+4+5+6+7=25
4+5+6+7+8+9+10=49
……
照此规律，第个等式为 。
【答案】n+(n+1)(n+2)…(3n-2)=
【解析】观察等式的规律：第一个式子的左边为一个数的和，右边为1点点平方；第二个式子的左边为3个数的和，右边为3的平方；第三个式子的左边为5个数 的和，右边为5的平方；……以此类推：第n个式子的左边为2n-1个数的和，右边为2n-1的平方，所以第个等式为n+(n+1)(n+2)…(3n-2)=。
16.已知曲线，则曲线过点的切线方程___________。
【答案】
【解析】设切点为，因为，所以，所以曲线在此切点处的切线方程为，把点代入，得，所切线方程为。
三、解答题（共70分）
(本题10分）已知ad≠bc，求证
18．（本题12分）旅游公司为4个旅游团提供5条旅游线路，每个旅游团任选其中一条.
（1）求4个旅游团选择互不相同的线路共有多少种方法;
（2）求恰有2条线路被选中的概率;
19.（本题12分）观察1，1+3，1+3+5，1+3+5+7的值；猜测1+3+5+…+（2n-1）的结果；用数学归纳法证明你的猜想。
20. （本题满分62=12分）
棱锥中，底面是矩形，底面，是的中点，已知，，，求：
求证：PA//平面BED；
（2）求异面直线与所成的角的大小.
21. （本题满分 43=12分） 已知椭圆＞b＞的离心率为且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为.斜率为的直线过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M（0，m）.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求m的取值范围.
（3）试用m表示△MPQ的面积S，并求面积S的最大值.
22. （本题满分 43=12分） 设,函数.
（Ⅰ）若，求曲线在处的切线方程；
（Ⅱ）若无零点,求实数的取值范围；
（Ⅲ）若有两个相异零点,求证: .
高二数学第一次月考参考答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
C
D
A
B
A
B
B
B
D
D
D
B
13 3 14 15 3x+y-5=0. 16.n+(n+1)(n+2)…(3n-2)=
17.略
18.（1） （2）P=
19.猜想1+3+5+7+…+（2n-1)=n
证明 （1）当n=1时，猜想左边=1 右边=1 猜想成立
假设当n=k时1+3+5+7+…+（2n-1)k 猜想成立
当n=k+1时 ， 1+3+5+7+…+（2k-1)+(2k+1)=k +(2k+1)=(k+1)
这就是说当n=k+1时，猜想成立。所以当你n命题都成立。
20.
(1)连接AC,BD交于点O，连接OE
E为PC中点

21.解：（1）依题意可得解得
从而所求椭圆方程为…………………4分
（2）直线的方程为
由可得
该方程的判别式△=＞0恒成立.
设则………………5分
可得
设线段PQ中点为N，则点N的坐标为………………6分
线段PQ的垂直平分线方程为
令，由题意………………………………………………7分
又，所以0＜＜…………………………………………………8分
（3）点M到直线的距离



于是

由可得代入上式，得
即＜＜.…………………………………………10分
设则
而＞00＜m＜＜0＜m＜
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以当时，有最大值……………………11分
所以当时，△MPQ的面积S有最大值…………………12分
22.解：方法一在区间上,. ……………………1分
（1）当时，，则切线方程为，即 …………4分
（2）①若,则,是区间上的增函数,
,,
,函数在区间有唯一零点. …………5分
②若,有唯一零点. …………6分
③若,令得: .
在区间上, ,函数是增函数;
在区间上, ,函数是减函数;
故在区间上, 的极大值为.
由即,解得:.
故所求实数a的取值范围是. …………8分
方法二、函数无零点方程即在上无实数解 …………
令，则
由即得： …
在区间上, ,函数是增函数;
在区间上, ,函数是减函数;
故在区间上, 的极大值为.
注意到时，；时；时，
故方程在上无实数解.
即所求实数a的取值范围是. …………9分
[注:解法二只说明了的值域是,但并没有证明.]
(3) 设
,
原不等式
令,则,于是. …………10分
设函数,
求导得:
故函数是上的增函数,
即不等式成立,故所证不等式成立. ……………………12分