专题19 通项公式常用方法-2023年新高考数学重难点突破（含答案）

专题19：通项公式常用方法
在高考中数列部分的考查既是重点又是难点，不论是选择题或填空题中对基础知识的考查，还是压轴题中与其他章节知识的综合，抓住数列的通项公式通常是解题的关键和解决数列难题的瓶颈.求通项公式也是学习数列时的一个难点.由于求通项公式时渗透多种数学思想方法，因此求解过程中往往显得方法多、灵活度大、技巧性强.
如果递推公式形式为：，则可利用累加法求通项公式.
① 等号右边为关于的表达式，且能够进行求和；
② 的系数相同，且为作差的形式.
例1(2022·上海虹口统考一模) 已知函数，数列满足，且
（为正整数）．则（ ）
A． B．1 C． D．
【思路点拨】
将进行整理，可以求出其通项公式，再代入可得答案.
练1(2022·全国·模拟预测) 在数列中，，则（ ）
A． B． C． D．
练2（2023·湖北武汉·统考模拟预测）南宋数学家杨辉为我国古代数学研究作出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列.以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4项为：2，3，6，11，则该数列的第15项为（ ）
A．196 B．197 C．198 D．199
如果递推公式形式为：，则可利用累加法求通项公式.
例2（2022秋·宁夏银川·高三校考阶段练习）已知数列满足，，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】
依题意可得，再利用累乘法计算可得.
练3（2022·河南·安阳一中校联考模拟预测）在数列中，且，则它的前项和（ ）
A． B． C． D．
练4（2022·全国高三专题练习）在数列中，，，
若，且对任意，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
(1)已知求的常用方法是利用求通项公式．
(2) 与关系问题的求解思路
方向1：利用转化为只含，的关系式，再求解．
方向2：利用 转化为只含，的关系式，再求解．
例3（2023·全国校联考模拟预测）已知数列满足
，若数列为单调递增数列，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】
根据给定条件求出数列的通项，再由数列为单调递增数列列出不等式并分离参数即可推理计算作答.
练5（2022秋·甘肃武威·高三校考阶段练习）已知数列满足，设，则数列的前2023项和为（ ）
A． B． C． D．
练 6（2023·全国高三专题练习）数列的前项和，则数列中的最大项为（ ）
A． B． C． D．
类型1：用“待定系数法”构造等比数列 1、注意判断题目给的已知条件是否符合类型1的标准形式； 2、直接记忆，解题时直接在草稿纸上构造好； 3、构造等比数列.
类型2：用“同除法”构造等差数列 1、注意判断题目给的已知条件是否符合类型2的标准形式； 2、两边同除； 3、构造数列为等差数列
类型3：用两边同时取倒数构造等差数列 （1） 1、注意判断题目给的已知条件是否符合类型3的标准形式； 2、两边同时取倒数转化为的形式，化归为型； 3、构造数列为等差数列.
类型4：用“同除法”构造等差数列（2） 1、注意判断题目给的已知条件是否符合类型4的标准形式； 2、两边同除； 3、构造出新的等差数列
类型5：用“待定系数法”构造等比数列 1、注意判断题目给的已知条件是否符合类型5的标准形式； 2、可以化为，其中是方程的两个根； 3、若1是方程的根，则直接构造数列，若1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消元的方法求数列．
例4（2023·四川泸州·泸州老窖天府中学校考模拟预测）已知数列中，，
，则数列的前10项和（ ）
A． B． C． D．2
【思路点拨】
将递推式两边同时取倒数，然后构造等差数列求出数列的通项公式，再利用裂项相消法求和即可.
练7（2022·全国·高三专题练习）若数列和满足，，，，则（ ）
A． B． C． D．
练8（2022·江西萍乡·统考一模）数列各项均是正数，，，函数在点处的切线过点，则下列命题正确的个数是（ ）
①；
②数列是等比数列；
③数列是等比数列；
④．
A．1 B．2 C．3 D．4
当二阶递推关系式形如：
，得，
可知：．
（1）当时，数列，
同时满足数列；
则有两式联立，消去，
得：
（Ⅱ）当时，，两边同除以得：
数列，
.
例5（2019 潮州二模）已知数列中，，，且，则　　．
【思路点拨】
构造连续两项之间的整体等比结构，即同之间的等比关系，在“降维”成一阶递推关系求解.
练9已知数列是首项为，且，求：通项公式．
练10设为实数，数列是首项，．
证明：；
（2）求通项公式.
1.设数列是首项为，满足，求的通项公式．
2.已知数列是首项为，满足，求通项公式．
3.设数列的前项和，若，求数列的通项公式．
4.设数列的前项和，若，求数列的通项公式．
5.已知数列是首项为，，求通项公式．
6.已知数列是首项为，满足．求的通项公式；
7.设数列是首项为，满足，求通项公式．
8.设数列是首项为，且，求的通项公式．
9.设数列是首项为，满足．求的通项公式．
10.已知数列满足：，，，求通项公式．
专题19 通项公式常用方法
【专题探究】
例1【解析】由，
，
故选：C.
练1【解析】因为，则，
当时，
，显然满足上式，即有，
所以．
故选：A.
练2【解析】设该数列为，则；
由二阶等差数列的定义可知，
所以数列是以为首项，公差的等差数列，
即，所以
将所有上式累加可得，所以；
即该数列的第15项为.
故选：C.
例2【解析】由，得，
即，则，，，…，，
由累乘法可得，所以，
又，符合上式，所以.
故选：D．
练3【解析】，，
，
当时，，符合上式，
所以．
因此，.
故选：A.
练4【解析】由，得
，
所以，当时，，符合上式，
所以．
所以，
，
作差得，
所以．由，得，
整理得．
易知函数在上单调递增，
所以当时，，所以.
故选：A．
例3【解析】由可得，
两式相减可得，则，
当时，可得满足上式，故，
所以，
因数列为单调递增数列，即，
则
整理得，
令，则，
当时，，当时，，
于是得是数列的最大项，即当时，取得最大值，从而得，
所以的取值范围为．
故选：A.
练5【解析】由题知：数列满足，设，
所以的前项和为，则.
当时，，
当时，，
检验：当时，，符合.
所以.
令，前项和为.
则.
故选：D.
练 6【解析】当时，.
当时，由已知得，，，
则.
当时，，满足.
所以，.
设，则.
设数列中的第项最大，则应满足，
即，整理可得
解得，又，所以，，
又.
所以，数列中的最大项为.
故选：C.
例4【解析】∵，
∴，
∴．
∴数列是首项为，公差为的等差数列，
∴，∴,
∴，
∴数列的前10项和．
故选:C．
练7【解析】因为， ，
所以，
即，
又，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
又，即，
所以
所以；
故选：C.
练8【解析】由得，
所以，
∴（*），
①，，
，，
∴，正确；
②由（*）知，
又首项，，∴是等比数列，正确；
③，首项，不符合等比数列的定义，错误；
④由②对可知：，
两边同除得，
令，∴，．
∴，
又，即数列是恒为0的常数列．
∴，故错误．
故选：B．
例5【解析】法一：由，可得，
在数列中，由，可得，
由，可得，
，，
数列是等比数列，
，，
由，，，，，以上各式相加可得
，
，，经检验可得满足，
．故答案为：．
法二：构造数列特征方程，故，数列是以为首项，为公比的等比数列，
同时数列是以为常数的数列，联立方程组得：,
法三：暴力特征根法：，
，代入得：，
．
练9【解析】法一：由，构造数列特征方程，
得，所以,
由，，得,
两式联立得．
法二：暴力特征根法：，
，代入得：，
．
练10【解析】（1）所以，
，
比较系数得，．
因为，且，
所以
同理
又因为 =
，
由式①的数列是以为首项、以为公比的等比数列．
故
由式②的数列是以为首项、以为公比的等比数列．
故
联立③④得方程组，消去，得，
故．
【专题训练】
1. 【解析】因为
所以
=，
当时，=，满足，
故.
2. 【解析】因为，所以，
所以,
当时，=，满足，
所以.
3.【解析】，
，
法一：由迭乘得：，
,
当时，=，满足，
所以.
法二：由迭代常数数列得，
故是常数数列，即，．
4.【解析】，，
法一：，
，
当时，，满足，
所以.
法二：，
故为常数数列，
即，．
5.【解析】，
故 ，
使用累加法可得，，
所以，，即,
当时，，满足，
所以.
6. 【解析】由已知得，则，且，
所以是以为首项，为公比的等比数列.
故，即.
7. 【解析】令，
则，求得,，
所以
又当时，，
所以是以6为首项，3为公比的等比数列，
，
所以．
8. 【解析】依题意的，令，
则，又，
比较两式的系数，得，,
解得,.
所以，
所以数列是以为首项，3为公比的等比数列，
所以，即.
9. 【解析】（1）依题意，令，
所以，
即，解得.
所以数列是以2为公比，为首项等比数列.
所以，即，
即存在,,使得数列成等比数列.
10. 【解析】法一：令，解得，所以有
所以数列是以为首项，5为公比的等比数列，
则 ①
数列是为首项，为公比的等比数列．
②
①-②得，化简得．
法二：暴力特征根法：令，解得，
故令，代入，，，得
解得： ．
2