专题20 放缩法证明数列不等式-2023年新高考数学重难点突破-（含答案）

专题20：放缩法证明数列不等式
在证明数列不等式问题中，有些数列可通过求和后再利用数列有关性质进行放缩求证不等式，有些数列不能用常规求和方法直接求和，我们可以通过将不规则或不能求和的数列放缩变为可求和的数列，从而达到证明的目的.
常见的数列求和再放缩的通项公式特点：
① 等比数列求和公式：，（关于的指数类函数）；
② 错位相减：通项公式为“等差等比”的形式；
③ 裂项相消：通项公式可拆成两个相邻项的差，且原数列的每一项裂项之后正负能够相消，进而在求和后式子中仅剩有限项.
例1(2021·全国乙) 设是首项为的等比数列,数列满足.已知成等差数列．
(1)求和的通项公式；
(2)记和别为和的前项和．证明：．
【思路点拨】
利用常规求和方法：等比求和公式和错位相减法分别求出数列的前项和，再由作差比较法进行不等式的证明.
练1已知数列为等比数列，数列为等差数列，且，，
．
(1)求数列，的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：．
练2已知数列的首项，前项和为，，*．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和，并证明：．
放缩构造的技巧：
① 裂项相消：在放缩时，所构造的通项公式要具备“依项同构”的特点，即作差的两项可视为同一数列的相邻两项（或等距离间隔项）；
② 等比数列：所面对的问题通常为“常数”的形式，所构造的等比数列的公比也要满足 ，如果题目条件无法体现出放缩的目标，则可从所证不等式的常数入手，常数可视为的形式，然后猜想构造出等比数列的首项与公比，进而得出等比数列的通项公式，再与原通项公式进行比较，看不等号的方向是否符合条件即可.例如常数，即可猜想该等比数列的首项为，公比为，即通项公式为
.
③在有些关于项的不等式证明中，可向求和问题进行化归，即将递推公式放缩变形成为可“累加”或“累乘”的形式，即或（累乘时要求不等式两侧均为正数），然后通过“累加”或“累乘”达到一侧为，另一侧为求和的结果，进而完成证明.
例2(2014·全国Ⅱ)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1．
(1)证明是等比数列，并求{an}的通项公式；
(2)证明＋＋…＋<．
【思路点拨】
（1）思路：由递推两边加常数构造等比数列求通项.
思路一：由3n－1≥2×3n－1将通项放缩转化成等比结构求和；
思路二：由“糖水不等式”将分子分母同时加1，放缩成等比结构求和；
思路三：将通项放缩成前后项差的裂项结构，通过裂项相消求和.
练3已知数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n项和，Sn＋1＝qSn＋1，其中q>0，n∈N*．
(1)若2a2，a3，a2＋2成等差数列，求数列{an}的通项公式；
(2)设双曲线x2－＝1的离心率为en，且e2＝，证明：e1＋e2＋…＋en>．
练4已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝，2Sn＝(n＋1)an＋1(n≥2)．
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝(n∈N*)，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：Tn<(n∈N*)．
【规范解析】
1.数列{an}中，
(1)求证：an＋1(2)记数列{an}的前n项和为Sn，求证：Sn<1．
2.已知正项数列的前项和为，且
（1）求证：数列是等差数列
（2）记数列，证明：.
3.已知数列满足
（1）求证：数列是等比数列，并求出数列的通项公式；
（2）设，求证：.
4.已知数列的前项和，且.
（1）求；
（2）求数列的前项和；
（3）设数列的前项和，且满足，求证：.
5.已知数列满足.
（1）试判断数列是否为等比数列，并说明理由；
（2）设，数列的前项和为，求证：对任意的.
专题20 放缩法证明数列不等式
【专题探究】
例1【解析】(1)设的公比为，则．
因为成等差数列，所以，解得，故，．
(2)由(1)知
①,②
①-②
整理得，则，故．
练1【解析】(1)设数列的公比为，数列的公差为，
由题意得，，
解得，所以，．
因为，所以.又因为在上单调递增，
所以当时，取最小值,所以．
练2【解析】(1)由，得，
两式相减得，故，
因为，，
所以是首项为，公比为的等比数列，
所以．
(2) ，故，，
①
②
①-②
，
因为，所以．
又因为，所以数列单调递增，
所以，所以．
例2【解析】(1)由an＋1＝3an＋1得an＋1＋＝3．
又a1＋＝，所以是首项为，公比为3的等比数列．
an＋＝，因此{an}的通项公式为an＝．
(2)方法一
由(1)知＝．因为当n≥1时，3n－1≥2×，所以．
于是＋＋…＋≤1＋＋…＋＝<．所以＋＋…＋<．
方法二　
由(1)知
于是＋＋…＋≤1＋＋…＋＝<．所以＋＋…＋<．
方法三
由(1)知
＋＋…＋<.
练3【解析】(1)由已知Sn＋1＝qSn＋1，得Sn＋2＝qSn＋1＋1，两式相减得到an＋2＝qan＋1，n≥1．
又由S2＝qS1＋1得到a2＝qa1，故an＋1＝qan对所有n≥1都成立．
所以，数列{an}是首项为1，公比为q的等比数列．从而an＝qn－1．
由2a2，a3，a2＋2成等差数列，可得2a3＝3a2＋2，即2q2＝3q＋2，则(2q＋1)(q－2)＝0，
由已知，q>0，故q＝2．所以(n∈N*)．
(2)由(1)可知，an＝．所以双曲线x2－＝1的离心率en＝＝．
由e2＝＝，解得q＝．
因为1＋>，所以 (k∈N*)．
于是e1＋e2＋…＋en>1＋q＋…＋qn－1＝．故e1＋e2＋…＋en>．
练4【解析】(1)当时，2(a1＋a2)＝3a2＋1，解得a2＝2．
当时，2an＝2Sn－2Sn－1＝(n＋1)an－nan－1，∴(n－1)an＝nan－1，
∴＝，＝，＝，…，＝，
将以上各式相乘得＝，∴an＝n．
显然，当时，上式不成立，当时，上式成立．
∴＝
(2)由(1)知＝＝，
当时，＝<＝－，
①当时，，
②当时，Tn＝＋＋＋…＋
＝＋－＝－<<，
综上：Tn<(n∈N*).
【专题训练】
1. 【解析】(1)∵a－an＋1＝2＋>0，且a1＝>0，∴an>0，
∴an＋1－an＝－an＝<0，∴an＋1(2)∵1－an＋1＝1－＝，∴＝＝－an．
∴an＝－，则a1＋a2＋…＋an＝2－，
由(1)可知0∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＝2－<1．
2. 【解析】（1），
， ，
数列为等差数列；
（2）令代入可得：即，
由为等差数列可得：
,
考虑先证
时
时，，,再证，
，
，
综上所述：.
3. 【解析】（1）由题知，，
又当时，,是以2为首项，2为公比的等比数列，
，；
（2），
而当时，，
所以，
，
， ，
综上：.
4. 【解析】（1）在中，令可得：
；
（2） ①
②
① ②可得：
，是公差为6的等差数列，
，
；
（3）由（2）可得：，
，
，
.
5. 【解析】（1）
，，
又当时，,为首项是3，公比是-2的等比数列；
（2）由（1）可得： ， ，
而
当时，
因为为正项数列， ，
.
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