专题21 数列的单调性和最值-2023年新高考数学重难点突破-（含答案）

专题21：数列的单调性和最值
数列是特殊函数，研究其性质一般都离不开函数与方程思想的应用.其中数列的单调性和最值在解决数列许多问题上有着重要的作用，也能更好的体现数列的函数本质，本节专门针对数列单调性的判断方法和最值的求解给出了系统指导.
判断数列的单调性，常用的方法有作差比较法、作商比较法和函数图象法：
（1）作差比较法：当时，递增；当时，递减.
（2）作商比较法：若，则当时，递增；当时，递减.
（3）函数图象法：设，则可用函数的图象来研究数列的单调性.
例1已知数列满足，，数列是单调递增数列，且，
，则实数的取值范围为___________.
【思路点拨】
首先利用递推关系式求出数列和的通项公式，再利用数列的单调性建立不等关系，进一步求出参数的范围．
练1已知数列中，，其前项和为，且满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，若数列为递增数列，求实数的取值范围.
1.求最大项可通过列不等式组求.
数列最值：若则最大；若则最小.
2．数列前项和的最大最小值问题，通常有函数图象法和邻项变号法：
（1）函数图象法：求出数列的前项和，利用函数的图象性质来研究的最大最小值问题.
（2）邻项变号法：
若当时，，当时，，则数列中，最大；
若当时，，当时，，则数列中，最小.
例2设等比数列满足满足，，则的最大值为______.
【思路点拨】
先由条件求出数列的通项，最大项有三种思路：
1）利用项与项的做商同1比较，确定最大项；
2）算出的通项式，由二次函数的性质求最大项；
3）抓住中的与1的关系，由邻项变号法来判断最大项.
练2已知数列和满足．若为等比数列，
且，.
（1）求与；
（2）设，记数列的前项和为.
（i）求；
（ii）求正整数，使得对任意，均有.
练3已知数列的前n项和为，且对一切正整数n都成立.
（1）求，的值；
（2）设，数列的前n项和为，当n为何值时，最大 并求出最大值.
1.已知数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．已知数列的前项和，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的最小项的值.
3．已知数列满足：．
（1）求，的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）令，如果对任意，都有，求实数的取值范围．
4．已知数列的前项和为，，，.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）设数列的前项和为，已知，若不等式对于恒成立，求实数的最大值.
5．已知数列的通项公式为.
（1）问0.25是不是这个数列的项？如果是，为第几项；如果不是，请说明理由
（2）计算，并判断其符号；
（3）求此数列的最小项，该数列是否存在最大项？
6．已知数列各项都不为，且满足，
(1)求的通项公式；
(2)若，的前n项和为，求取得最小值时的的值．
7.已知为等比数列的前n项和，若，且、、是等差数列的前三项.
（1）求数列的前项和；
（2）求数列的通项公式，并求使得的的取值范围.
专题21 数列的单调性和最值
【专题探究】
例1【解析】因为，所以，所以，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，
又
所以，
所以，
又是单调递增数列，所以当时，
恒成立，
所以当时，恒成立，
即当时，恒成立，所以；
又，即，所以．综上，．
故答案为：．
练1【解析】（1）由可得，
所以，
整理得：，故，所以.
（2）由（1）可得，因为数列为递增数列，
所以恒成立，
从而，所以，
令，则
故，所以为递增数列，其最小项为，所以.
例2【解析】解法1：，又，所以，
故，
所以，解得：，从而，
设，显然，，
当时，；当时，；当时，，
即，
所以数列的最大项为.
解法2：，又，所以，故，
所以，解得：，从而，
即，
由二次函数的图象性质可得在或时取得最小值，
所以在或时取得最大值.
解法3：，又，所以，故，
所以，解得：，
所以，，，当时，，
所以.
练2【解析】设的公比为q，由题意，，所以，
两式相除得：，故，
由知，故,
又，所以，解得：或，
因为，所以，从而，
所以，
又，所以，从而.
（2）（i）由（1）可得，
所以
（ii）解法1：由（i）可得，，，，
当时，
所以，从而数列的前4项和最大，
故当时，对任意，均有.
解法2：由（i）可得，，，，
当时，设，则，
，
所以在上单调递增，结合，所以恒成立，
从而在上单调递增，结合知恒成立，
所以当时，，所以，
从而数列的前4项和最大，故当时，对任意，均有
练3【解析】由题意，，，
解得：或，或，.
（2）当时，，，
因为，所以，两式作差得：，
即，将代入化简得：，
从而数列是以为首项，为公比的等比数列，故，
所以，设，
则，
所以为等差数列，当时，，
当时，，
所以当时，数列的前n项和最大，最大值为.
【专题训练】
1. 【解析】若是递增数列，则，即，解得，
即实数的取值范围是．
故选：D．
2．【解析】（1），，则，
即，
当时，；
当时，；
经检验适合，
；
（2）由（1）知： ，，
，当时，，
当时，；当时，；
又，，当时，有最小值.
3．【解析】（1）当时，，所以，当时，，得；
（2） 由题可知：， ①
，②
②－①可得，，
又，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，
∴；
（3）由（2）可得，，
由，可得，
由可得，
所以，
故有最大值，
所以对任意，有，
由题意恒成立，则，
故有， 解得或，
所以实数的取值范围是．
5．【解析】（1）由，
得（），
两式相减得，所以（），
因为，所以，，.
所以是以1为首项，2为公比的等比数列.
（2）由，又由（1）可知，得，
∴，则，
两式相减得，
所以.
由恒成立，即恒成立，
又，
故当时，单调递减；当时，；
当时，单调递增；当时，；
则的最小值为，所以实数m的最大值是.
6．【解析】（1）是,令,即,解得,
0.25是数列的项,是第17项；
（2）由题意可知,
,,,即；
（3）由（2）可得数列是递增数列,则最小项为首项,即,无最大项.
7．【解析】（1）①，当时，②，
①②，
，的奇数项和偶数项各自成等差数列且为奇数），（为偶数，
（2），当时，，当时，，
当时，取得最小值.
8. 【解析】（1）设等比数列的公比为q，因为、、是等差数列的前三项，
所以，从而，
故，整理得，所以，
又，所以，从而，故.
（2）解法1：由（1）可得，所以， ，
所以数列的公差，故，
由得，从而，
令，则，
当时，，即；
当时，，即，而，
所以，又，，所以，
从而使得的n的取值范围是.
解法2：由（1）可得，所以， ，
所以数列的公差，故，
由得，从而，
令，容易验证当时，，
所以当时，不满足，
设，则，
所以在上单调递增，故当时，，
即，综上所述，使得的n的取值范围是.
2