课件26张PPT。第一讲 坐标系一．平面直角坐标系的建立P2思考:声响定位问题 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比其他两个观测点晚4s，已知各观测点到中心的距离都是1020m，试确定该巨响的位置。（假定当时声音传播的速度为340m/s，各相关点均在同一平面上） (2004年广东高考题) 以接报中心为原点O，以BA方向为x轴，建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点， 设P（x,y）为巨响发生点，由B、C同时听到巨响声，得|PC|=|PB|，故P在BC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=－x，因A点比B点晚4s听到爆炸声，则 A(1020,0), B(－1020,0), C(0,1020)故|PA|－ |PB|=340×4=1360由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的
双曲线 上，
答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心 处.用y=－x代入上式，得 ，∵|PA|>|PB|, 解决此类应用题的关键：
1、建立平面直角坐标系
2、设点（点与坐标的对应）
3、找寻限制条件,坐标代换（方程与坐标的对应）
4、化简计算
5、说明（除杂补漏，翻译成实际问题）坐 标 法P4例1.已知△ABC的三边a,b,c满足 b2+c2=5a2,BE,CF分别为边AC,AB上的中线，建立适当的平面直角坐标系探究BE与CF的位置关系。yx 以△ABC的顶点Ａ为原点Ｏ，
边AB所在的直线x轴，建立直角
坐标系，由已知，点A、B、F的
坐标分别为解：A ( 0, 0 ) , B ( c ,0 ) , F ( ,0 ).因此，BE与CF互相垂直. 具体解答过程见书本P4
你能建立不同的直角坐标系解决这个问题吗？比较不同的直角坐标系下解决问题的过程，建立直角坐标系应注意什么问题？建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系。（1）如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；（2）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；（3）使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。二.平面直角坐标系中的伸缩变换思考：（1）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x?xO?2?y=sinxy=sin2x 在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来的 ，就得到正弦曲线y=sin2x. 上述的变换实质上就是一个坐标的压缩变换，即：
设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来 ，得到点P’(x’,y’).坐标对应关系为：坐标对应关系为：（2）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx?写出其坐标变换。设点P（x,y）经变换得到点为P’(x’,y’) 在正弦曲线上任取一点P（x,y），保持横坐标x不变，将纵坐标伸长为原来的3倍，就得到曲线y=3sinx。（3）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x? 写出其坐标变换。
在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来的 ，在此基础上，将纵坐标变为原来的3倍，就得到正弦曲线y=3sin2x.设点P（x,y）经变换得到点为P’(x’,y’)注 （1）
（2）把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到；
（3）在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直角坐标系下进行伸缩变换。1.在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形。（1）2x+3y=0; (2)x2+y2=1课堂练习课堂练习课堂小结：
（1）体会坐标法的思想，应用坐标法解决几何问题；
（2）掌握平面直角坐标系中的伸缩变换。作业： P8 1, 4, 5，6
预习： 极坐标系（书本P9-P11）
课件26张PPT。§1.2 极坐标系复习回顾一、平面直角坐标系的应用二、平面直角坐标系中的坐标伸缩变化题型一：求变换后（前）的曲线方程题型二：已知变换前、后的曲线方程，求变换公式从这向北走2000米！出发点方向距离 在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。新课引入你站在新华都超市门口，一陌生人问你北山公园怎么走？一、极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做极点。引一条射线OX，叫做极轴。再选定一个长度单位和角度单位及它的正方向（通常取逆时针方向）。这样就建立了一个极坐标系。O二、极坐标系内一点的极坐标的规定 对于平面上任意一点M，用 ? 表示线段OM的长度，用 ? 表示从OX到OM 的角度，? 叫做点M的极径， ?叫做点M的极角，有序数对（?，?）就叫做M的极坐标。特别强调：?表示线段OM的长度，即点M到极点O的距离；?表示从OX到OM的角度，即以OX（极轴）为始边，OM 为终边的角。题组一：说出下图中各点的极坐标①平面上一点的极坐标是否唯一？
②若不唯一，那有多少种表示方法？
③坐标不唯一是由谁引起的？
④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？ 特别规定： 当M在极点时，它的极坐标?=0，?可以取任意值。想一想？三、点的极坐标的表达式的研究如图：OM的长度为4，请说出点M的极坐标的其他表达式。思：这些极坐标之间有何异同？思考：这些极角有何关系？这些极角的始边相同，终边也相同。也就是说它们是终边相同的角。本题点M的极坐标统一表达式：极径相同，不同的是极角题组二：在极坐标系里描出下列各点四、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况[1]给定（?,?）,就可以在极坐标平面内确定唯一的一点M。[2]给定平面上一点M，但却有无数个极坐标与之对应。原因在于：极角有无数个。如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了.[3]一点的极坐标有否统一的表达式？总结
[1]建立一个极坐标系需要哪些要素极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向。[2]极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？无数，极角有无数个。有。（ρ，2kπ+θ）极坐标和直角坐标的互化平面内的一个点的直角坐标是(1, )思 考:这个点如何用极坐标表示?在直角坐标系中,
以原点作为极点,
x轴的正半轴作为极轴,
并且两种坐标系中取相
同的长度单位点M的直角坐标为设点M的极坐标为(ρ,θ) M ( 2, ∏ / 3)极坐标与直角坐标的互化关系式:设点M的直角坐标是 (x, y)
极坐标是 (ρ,θ)x=ρcosθ, y=ρsinθ 互化公式的三个前提条件：
1. 极点与直角坐标系的原点重合;
2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半
轴重合;
3. 两种坐标系的单位长度相同.例1. 将点M的极坐标
化成直角坐标.已知下列点的极坐标，求它们的直
角坐标。例2. 将点M的直角坐标
化成极坐标.练习: 已知点的直角坐标, 求它们
的极坐标.oxAB用余弦定理求
AB的长即可.课堂总结极坐标与直角坐标的互化关系式:设点M的直角坐标是 (x, y)
极坐标是 (ρ,θ)x=ρcosθ, y=ρsinθ 作业设计课本12页习题3、4、5课件19张PPT。（法一）与直角坐标系里的情况一样，求曲线的极坐标方程就是找出曲线上动点Ｐ的坐标?与?之间的关系，然后列出方程?(?,?)=0 ，再化简并讨论。求曲线极坐标方程的方法（法二）先在直角坐标系里求出曲线方程，然后根据x=ρcosθ, y=ρsinθ，将直角坐标方程转化为极坐标方程 。复习回顾练习4曲线 关于极轴对
称的曲线是：C1、负极径的定义说明：一般情况下，极径都是正值；在某些必要情况下，极径也可以取负值。（？）对于点M（?，?）负极径时的规定：[1]作射线OP，使?XOP= ?[2]在OP的反向延长
线上取一点M，使?OM?= ? ? ?2、负极径的实例在极坐标系中画出点
M（－3，?/4）的位置[1]作射线OP，使?XOP= ?/4 [2]在OP的反向延长线上取一点M，使?OM?= 3负极径小结：极径变为负，极角增加 ? 。答：（－6， +π）或（－6，－ +π）特别强调：一般情况下（若不作特别说明时），认为? ≥ 0 。因为负极径只在极少数情况用。§1.3.2直线的极坐标方程新课引入：思考：在平面直角坐标系中1、过点(3,0)且与x轴垂直的直线方程为 ;过点(3,3)且与x轴垂直的直线方程为 x=3x=32、过点（a,b）且垂直于x轴的直线方程为_______x=a特点：所有点的横坐标都是一样，纵坐标可以取任意值。例题1：求过极点，倾角为 的射线的极坐标方程。分析：如图，所求的射线上任一点的极角都是 ，其极径可以取任意的非负数。故所求直线的极坐标方程为新课讲授1、求过极点，倾角为 的射线的极坐标方程。易得思考：2、求过极点，倾角为 的直线的极坐标方程。例题2、求过点A(a,0)(a>0)，且垂直于极轴的直线L的极坐标方程。解：如图，设点为直线L上除点A外的任意一点，连接OM在 中有 即可以验证，点A的坐标也满足上式。求直线的极坐标方程步骤1、根据题意画出草图；2、设点 是直线上任意一点；3、连接MO；4、根据几何条件建立关于 的方 程，并化简；5、检验并确认所得的方程即为所求。练习：设点P的极坐标为A ，直线过点P且与极轴所成的角为 ,求直线的极坐标方程。 解：如图，设点为直线 上异于的点连接OM，在 中有 即显然A点也满足上方程。例题3设点P的极坐标为 ，直线 过点P且与极轴所成的角为 ,求直线 的极坐标方程。 则 由点P的极坐标知 由正弦定理得显然点P的坐标也是它的解。高考真题补充练习补充练习小结：直线的几种极坐标方程1、过极点2、过某个定点，且垂直于极轴3、过某个定点，且与极轴成一定
的角度作业设计课本15页2、 3（2）（4）、
4（2）（4）、 5课件13张PPT。1、圆的极坐标方程1.3简单曲线的极坐标方程复习回顾极坐标与直角坐标的互化关系式:设点M的直角坐标是 (x, y)
极坐标是 (ρ,θ)x=ρcosθ, y=ρsinθ 曲线的极坐标方程一、定义：如果曲线Ｃ上的点与方程f(?,?)=0有如下关系
(１)曲线Ｃ上任一点的极坐标(所有坐标中至少有一个)符合方程f(?,?)=0 ；
(２)方程f(?,?)=0的所有解为坐标的点都在曲线Ｃ上。
则曲线Ｃ的方程是f(?,?)=0 。探 究如图，半径为a的圆的圆心坐标为(a,0)(a>0)，你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标(?,?)满足的条件？xC(a,0)O（法一）与直角坐标系里的情况一样，求曲线的极坐标方程就是找出曲线上动点Ｐ的坐标?与?之间的关系，然后列出方程?(?,?)=0 ，再化简并讨论。怎样求曲线的极坐标方程？（法二）先在直角坐标系里求出曲线方程，然后根据x=ρcosθ, y=ρsinθ，将直角坐标方程转化为极坐标方程 。例1、已知圆O的半径为r，建立怎样的坐标系，可以使圆的极坐标方程更简单？题组练习1求下列圆的极坐标方程
(１)中心在极点，半径为2；
(２)中心在Ｃ(a,0)，半径为a；
(３)中心在(a,?/2)，半径为a；
(４)中心在Ｃ(?0,?０)，半径为r
?＝2 ?＝2acos ? ?＝2asin ? ?2+ ?0 2 -2 ? ?0 cos( ?- ?０)= r2 极坐标方程分别是ρ＝cosθ和ρ＝sinθ的两个圆的圆心距是多少 练习2练习3以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是 C练习4曲线 关于极轴对
称的曲线是：C补充练习补充练习１.小结：
（１）曲线的极坐标方程概念
（２）怎样求曲线的极坐标方程
（3）圆的极坐标方程课件13张PPT。作业讲评习题回顾柱坐标系与球坐标系阅读课本P16---17 了解柱坐标系的定义, 以及如何用
柱坐标系描述空间中的点.一.柱坐标系 设P是空间任意一点，在oxy平面的射影为Q， 用(ρ,θ)(ρ≥0,
0≤θ＜2π)表示点Q
在平面oxy上的极坐标， 点P的位置可用有
序数组(ρ,θ,z)表示. 把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系. 有序数组(ρ,θ,Z)叫点P的柱
坐标，记作(ρ,θ,Z). 其中ρ≥0, 0≤θ＜ 2π, -∞＜Z＜+∞ 柱坐标系又称半极坐标系，它是由
平面极坐标系及空间直角坐标系中的
一部分建立起来的. 空间点P的直角坐标(x, y, z)与柱坐
标 (ρ,θ,Z) 之间的变换公式为试一试 设点的直角坐标为(1，1，1)，求它
在柱坐标系中的坐标.解得ρ= ，θ= 点在柱坐标系中的坐标为
（ ， ，1）. 注：求θ时要注意角的终边与点的
射影所在位置一致二.球坐标系阅读课本P18 了解球坐标系的概念以及在球坐标
系中点的确定设P是空间任意一点，连接OP，记| OP |=r，OP与OZ轴正向所
夹的角为φ.在oxy平面的射影为Q， 设P
在oxy平面上的射影为Q， Ox轴按逆时
针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ. 这样点 P 的位置就可以用有序数
组(r,φ,θ)表示.(r,φ,θ) 我们把建立上述
对应关系的坐标系
叫做球坐标系 (或空间极坐标系) .有序数组(r,φ,θ)叫做点P的球坐标，其中 空间的点与有序数组(r,φ,θ)之间建立了一种对应关系. 空间点P的直角坐标(x, y, z)与球坐标
(r,φ,θ)之间的变换关系为试一试 设点的球坐标为(2， ， )，求
它的直角坐标.点在直角坐标系中的坐标为
（ －1 ，1 ，－ ）.数轴平面直角坐标系平面极坐标系空间直角坐标系球坐标系柱坐标系 坐标系是联系形与数的桥梁，利用
坐标系可以实现几何问题与代数问题
的相互转化，从而产生了坐标法.坐标系小结1、在极坐标系中，已知圆与直线相切，
求实数的值.
2、在极坐标系下，已知圆和直线.
（1）求圆和直线的直角坐标方程；
（2）当时，求直线与圆公共点的极坐标.
1、在极坐标系中，已知圆与直线相切，
求实数的值.
2、在极坐标系下，已知圆和直线.
（1）求圆和直线的直角坐标方程；
（2）当时，求直线与圆公共点的极坐标.
1、将极坐标方程化为直角坐标方程。
2、（2009辽宁高考）在直角坐标系中，以为极坐标，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程分别为与轴、轴的交点。
（1）写出的直角坐标方程，并求的极坐标；
（2）设的中点为，求直线的极坐标方程。
3、求经过极点三点的圆的极坐标方程.
4、（2010江苏）已知圆和圆的极坐标方程分别是和.
（1）将两圆的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）若两圆的圆心距为，求的值.
5、已知是曲线上任意一点，求点到直线距离的最大值和最小值.
6、（2010江苏高考）在极坐标系中，已知圆与直线相切，求实数的值.
7、在极坐标系中，已知两点，求两点间的距离.
8、已知点的极坐标分别为，求它们的直角坐标.
9、已知点的直角坐标分别为，求它们的极坐标.
10、（2011江苏泰兴）在极坐标系中，是曲线上的动点，是曲线上的动点，试求的最大值.
11、在极坐标系下，已知圆和直线.
（1）求圆和直线的直角坐标方程；
（2）当时，求直线与圆公共点的极坐标.
12、极点到直线的距离为 ；
