2023年3月份第4周 高考复习好题推荐 数学试题（含解析）

2023年3月份第4周 数学好题推荐
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1、已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2、已知，，则实数m的值为( )
A. B.3 C. D.
3、设，，，则( )
A. B. C. D.
4、已知，则曲线在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
5、已知，当时，向量a与b的夹角为( )
A. B. C. D.
6、已知，且，则的值为( )
A. B. C. D.
7、已知a，b是正实数，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8、设抛物线的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于点A，B，与圆交于点P，Q，其中点A，P在第一象限，则的最小值为( )
A. B. C. D.
9、已知定义在R上的奇函数，满足，当时，，若函数，在区间上有10个零点，则m的取值范围是( )
A. B. C. D.
10、记，设函数，若函数恰有三个零点，则实数m的取值范围的是( )
A. B.
C. D.
11、已知.设,则( )
A. B. C. D.
12、设函数的定义域为R，是其导函数，若，，则不等式的解集是( )
A. B. C. D.
13、一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，1小时后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离约为( )
A.海里 B.海里 C.海里 D.海里
14、等腰三角形的底与腰之比是黄金分割比的三角形称为黄金三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形.如图，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，其中一个黄金中，.由上面可得( ).
A. B. C. D.
15、如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离.已知山高，，在水平面上E处测得山顶A的仰角为30°，山顶C的仰角为60°，，则两山顶A，C之间的距离为( )
A. B. C. D.
16、如图，已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，E，F分别是AB，BC的中点，P为SD上一点，且，Q为正方形ABCD内一点（包含边界）.若平面SEF，则Q的运动轨迹的长度为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
17、若为数列的前n项和，且，则下列说法中正确的是( )
A. B.
C.数列是等比数列 D.数列是等比数列
18、已知函数，将图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，则( )
A.当时，取得最小值
B.在上单调递减
C.的图象向左平移个单位长度后所得图象对应的函数是偶函数
D.直线与图象的所有交点的横坐标之和为
19、以下运算正确的是( )
A. B. C. D.
20、已知正方体的棱长为1，点P为线段上的动点（不含端点），则( )
A.线段AP的最小值为
B.在棱CD上，存在点H，使得
C.存在点P使得AP与平面ABCD所成的角为
D.过点，P，的平面截正方体得到的截面形状始终是平行四边形
21、已知双曲线(，)的离心率为，右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，则有( )
A.渐近线方程为 B.渐近线方程为
C. D.
三、填空题
22、的展开式中的系数为________（用数字作答）.
23、长方体的长,宽,高分别为3,2,1,其顶点都在球的球面上,则球的表面积为___________.
24、已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的面积为_____________.
25、已知，分别为双曲线（，）的左、右焦点，过作双曲线C的渐近线的垂线，垂足为P，且与双曲线C的左支交于点Q，若（O为坐标原点），则双曲线C的离心率为________________.
26、设验血诊 某种疾病的误诊率为5%，即若用A表示验血为阳性，B表示受验者患病，则，若已知受检人群中有0.5%患此病，即，则一个验血为阳性的人确患此病的概率为___________.
四、解答题
27、已知函数，为的导数．证明：
(1).在区间存在唯一极大值点；
(2).有且仅有2个零点．
28、已知为等差数列，为等比数列，，，.
（1）求和的通项公式；
（2）记的前n项和为，求证：；
（3）对任意的正整数n，设求数列的前2n项和.
29、已知半椭圆和半圆组成曲线C.如图所示，半椭圆内切于矩形ABCD，CD与y轴交于点G，点P是半圆上异于A，B的任意一点.当点P位于点处时，的面积最大.
（1）求曲线C的方程；
（2）连接PC，PD分别交AB于点E，F，求证为定值.
30、垃圾分类是对垃圾进行有效处置的一种科学管理方法，为了了解居民对垃圾分类的知晓率和参与率，引导居民积极行动，科学地进行垃圾分类，某小区随机抽取年龄在区间上的50人进行调研，统计出年龄频数分布及了解垃圾分类的人数如下表：其中年龄低于35岁的总人数与不低于35岁的总人数之比为3:7.
年龄/岁
人数 5 a b 10 5 5
了解人数 5 10 12 7 2 1
（1）填写下面2×2列联表，估计有多大把握认为以45岁为分界点居民对了解垃圾分类的有关知识有差异；
年龄低于45岁的人数 年龄不低于45岁的人数 合计
了解
不了解
合计
（2）为调查该小区居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该小区三类垃圾箱中总计100 t生活垃圾.经分拣以后数据统计如下表（单位：t），根据样本估计本市生活垃圾的投放情况.
（ⅰ）求生活垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量的平均数；（ⅱ）该市三类垃圾箱中投放正确的概率最高的是哪一类箱.
“厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱
“厨余垃圾 40 10 10
可回收物 3 24 3
其他垃圾 2 2 6
参考数据：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 0.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
，其中.
参考答案
1、答案：A
解析：由得，所以，(注意)
所以，故选A.
2、答案：C
解析：因为，且，所以，解得，故选C.
3、答案：D
解析：利用幂的运算性质可得：，，，
由是增函数，知.故选D.
4、答案：D
解析：因为，所以，，所以切线的斜率，所以曲线在点处的切线方程为，故选D.
5、答案：D
解析：，，，即，，，向量a与b的夹角为，故选D.
6、答案：D
解析：，且，
.又，，
即，故选D.
7、答案：B
解析：由，得，
设，则，
所以
，
当且仅当且时，等号成立.
故的最小值为.
8、答案：D
解析：由抛物线方程，得，因此.
设直线l的方程为，联立得.
设，，则，
，从而.
又，，
.
因此，当且仅当时取等号.故选D.
9、答案：A
解析：由可知函数的图象关于点对称，因为，所以，所以函数的周期为2.作出函数与函数的大致图象如图所示.
由图象可知，函数与函数的图象在区间上从左到右10个交点的横坐标分别为，，0，，1，，2，，3，，第11个交点的横坐标为4，因此，实数m的取值范围是，故选A.
10、答案：B
解析：设，，
则函数在上递增，且，且函数至多有两个零点，
当时，，若函数在上有零点，则在上有零点，不妨设零点为，则，此时，则，与题意矛盾，故函数在上无零点.二次函数图象的对称轴为直线，若，当，解得时，设函数的两个零点为、，则，则，，函数有两个负零点，符合题意；若，且需符合题意时，函数在上有两个零点，所以，解得，综上，．故选B.
11、答案：A
解析：因为,所以,所以,即.因为,所以,所以,即.又,所以,所以,所以,所以,而,所以,所以,所以,所以.
12、答案：C
解析：令，则，因为，所以，所以在R上单调递减.因为，所以不等式可转化为，即，又在R上单调递减，所以，故不等式的解集为，故选C.
13、答案：C
解析：由题设，，且海里，
在中，则海里.
故选：C.
14、答案：C
解析：由已知得，所以，故选C.
15、答案：A
解析：已知，，，，，，.在中，由余弦定理得.，则.故两山顶A，C之间的距离为.故选A.
16、答案：C
解析：如图，分别取AD，DC的中点M，N，连接PM，MN，PN，连接BD，分别交MN，EF于点G，H，连接PG，SH，AC，则易知，又平面SEF，平面SEF，所以平面SEF.易知，因为，所以，结合平面SEF，平面SEF，得平面SEF.因为，所以平面平面SEF，所以当Q在线段MN上运动时，始终有平面SEF，即Q的运动轨迹为线段MN.易知.故选C.
17、答案：AC
解析：因为，所以当时，，所以；当时，，所以，所以，所以数列是首项为-1，公比为2的等比数列，所以，，所以，，故A正确，B错误，C正确；又因为，所以数列不是等比数列，故D错误.故选AC.
18、答案：ACD
解析：由题意可知，当时，，此时，为最小值，故A正确；
当时，，当，即时，函数单调递减，当，即时，函数单调递增，故B不正确；
的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，函数是偶函数，故C正确；
令，则或，，解得或，，
因为，所以，，或，，，所以各交点的横坐标之和为，故D正确.故选ACD.
19、答案：BC
解析：对于A，因为，所以A不正确；对于B，因为，所以B正确；对于C，因为，所以C正确；对于D，因为，所以D不正确.故选BC.
20、答案：ABC
解析：如图（1），连接，在中，，，，当时，有，故A正确.如图（2），取的中点P，CD的中点H，连接，BH.，，故B正确.如图（3），连接BD，过点P作，垂足为Q，则平面ABCD.设，则.连接AQ，在中，由余弦定理可知.在中，.，，，
，则，因此不存在点P使得AP与平面ABCD所成的角为，故C错误.设过点，P，的平面为，根据面面平行与线面平行的性质定理可得平面截正方体所得截面形状是平行四边形，如图（4）（5）（6），故D正确.选ABD.
21、答案：BC
解析：双曲线的渐近线方程为，离心率为，
则，则，，
故渐近线方程为，
取MN的中点P，连接AP，利用点到直线的距离公式可得，
则，
所以，则，
故选BC.
22、答案：0
解析：的展开式通项为，
所以，.
故所求的系数为.
故答案为：0.
23、答案：
解析：依题意得,长方体的体对角线长为,记长方体的外接球的半径为,则有,因此球的表面积等于.
24、答案：
解析：由余弦定理得，
则，解得，
.
25、答案：
解析：因为，O为的中点，所以Q为的中点.因为，所以点到渐近线的距离，又，所以.连接，易知，则由双曲线的定义可知.在中，由余弦定理可得，整理得，所以双曲线C的离心率.
26、答案：
解析：由题意，结合条件概率的计算公式，可得：
.
故答案为：.
27、答案：(1).设，则，.
当时，单调递减，而，可得在有唯一零点，
设为.
则当时，；当时，.
所以在单调递增，在单调递减，故在存在唯一极大值点，即在存在唯一极大值点.
(2).的定义域为.
①.当时，由1知，在单调递增，而，所以当时，，故在单调递减，又，从而是在的唯一零点.
②.当时，由1知，在单调递增，在单调递减，而，，所以存在，使得，且当时，；当时，.故在单调递增，在单调递减.
又，，所以当时，.从而， 在没有零点.
③.当时，，所以在单调递减.而，，所以在有唯一零点.
④.当时，，所以，从而在没有零点.
综上，有且仅有2个零点.
解析：
28、答案：（1）；
（2）见解析
（3）
解析：（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q.
由，，可得，从而的通项公式为.
由，，，可得，解得，从而的通项公式为.
（2）由（1）可得，故，，从而，所以.
（3）当n为奇数时，；
当n为偶数时，.
对任意的正整数n，有
，
和.①
由①得.②
由①②得，从而得.
因此.
所以，数列的前2n项和为.
29、答案：（1）和
（2）见解析
解析：（1）因为点M在半圆上，所以，又，所以.
当半圆在点M处的切线与直线AG平行时，的面积最大.
因为，所以，
又，所以，
所以曲线C的方程为和.
（2）证明：由题意得，，
设，
则，令，得，即，
，令，得，
即，
又，，，
所以
.
30、答案：(1)由题意知，
且，解得
由以上统计数据填写下面2×2列联表，如下：
年龄低于45岁的人数 年龄不低于45岁的人数 合计
了解 27 10 37
不了解 3 10 13
合计 30 20 50
根据公式计算，
所以有的把握认为以45岁为分界点居民对了解垃圾分类的有关知识有差异.
(2)(ⅰ)生活垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的的投放量的平均数.
(ⅱ）由表格可得；“厨余垃圾”箱投放正确的概率为
“可回收物”箱投放正确的概率为；
“其他垃圾”箱投放正确的概率为.
所以“厨余垃圾”箱投放正确的概率最高.
解析：