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桂林中学2013—2014学年下学期期中考试
高二文科数学试题
命题时间: 2014年4月7日
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3-4页。试卷满分150分。考试时间120分钟。21教育网
第I卷(选择题,共60分)
一、选择题:(本大题共12小题,每题5分,满分60分)
1.曲线y=x3-2在点(1,-) 处切线的斜率为( )
A. B. C. D.
2.已知数列2,5,11,20,x,47,…合情推出x的值为( )
A.29 B.31 C.32 D.33
3. ( http: / / www.21cnjy.com )是虚数单位,复数 ( http: / / www.21cnjy.com )=( )
A. ( http: / / www.21cnjy.com ) B. ( http: / / www.21cnjy.com ) C. ( http: / / www.21cnjy.com ) D. ( http: / / www.21cnjy.com )
4.已知f(x)=xln x,若f ′ (x0)=2,则x0等于( )
A.e2 B.e C.ln 22 D.ln 2
5.设某大学的女生体重y(单位:kg)与身高x(单位:cm)具有线性相关关系,根据一组样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,n),用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71,则下列结论中不正确的是( )21cnjy.com
A.y与x具有正的线性相关关系
B.回归直线过样本点的中心
C.若该大学某女生身高增加1cm,则其体重约增加0.85kg
D.若该大学某女生身高为170cm,则可断定其体重必为58.79kg
6.用反证法证明命题:“若a,b∈N,ab能被5整除,则a,b中至少有一个能被5整除”,那么假设的内容是( )21·cn·jy·com
A.a,b都能被5整除 B.a,b都不能被5整除
C.a,b有一个能被5整除 D.a,b有一个不能被5整除
7.已知函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图,则( )
A.函数f(x)有1个极大值点,1个极小值点
B.函数f(x)有2个极大值点,2个极小值点
C.函数f(x)有3个极大值点,1个极小值点
D.函数f(x)有1个极大值点,3个极小值点
8.定义在R上的可导函数 f(x)=x2 + 2xf′(2)+15,
在闭区间[0,m]上有最大值15,最小值-1,
则m的取值范围是( )
A.m≥2 B.2≤m≤4
C.m≥4 D.4≤m≤8
9.对任意的x∈R,函数f(x)=x3+ax2+7ax不存在
极值点的充要条件是( )
A.a=0或a=7 B. a<0或a>21
C. 0≤a≤21 D. a=0或a=21
10.阅读如图所示的程序框图,
运行相应的程序,
则输出S的值为( )
A.8 B. 18
C.26 D.80
11.设函数. 若实数a, b满足, 则
A. B. ( )
C. D.
12.函数f(x)=x3-3x-1,若对 ( http: / / www.21cnjy.com )于区间[-3,2]上的任意x1,x2,都有 | f(x1)-f (x2)|≤ t,则实数t的最小值是( )www.21-cn-jy.com
A.20 B.18 C.3 D.0
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题:(本大题共4小题,每题5分,满分20分)
13.函数f(x)=x(1-x2)在[0,1]上的最大值为 .
14. 在 ( http: / / www.21cnjy.com )
类比此性质,如下图,在四面体P-ABC中,
若PA、PB、PC两两垂直,底面ABC上的
高为h,则得到的正确结论为__________________________.
15.已知复数,且,则的最大值为 .
16.若函数在区间上是单调递增函数,则实数的取值范围是 .
三、解答题:(本大题共6小题,满分70分)
17.(本题满分10分)
若,求证: .
18.(本题满分12分)
已知函数在处取得极值-2.
(1)求函数的解析式;
(2)求曲线在点处的切线方程;
19.(本题满分12分)
已知,且,求证:
20.(本题满分12分)
用长为18 m的钢条围成一个长方体容器的框架,如果所制的容器的长与宽之比为2∶1,那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积.21世纪教育网版权所有
21.(本题满分12分)
已知函数f(x)=x3-ax-1,
(1)若函数f(x)在R上单调递增,求实数a的取值范围.
(2)若函数f(x)在区间(-1,1)上单调递减,求实数a的取值范围.
22.(本题满分12分)
设函数 .
(1) 当时,求函数的单调区间;
(2) 当时,求函数在上的最小值和最大值.
桂林中学2013—2014学年下学期期中考试
高二文科数学答案
一、选择题:(本大题共12小题,每题5分,满分60分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B C B B D B A D C C A A
二、填空题:(本大题共4小题,每题5分,满分20分)
13、 14、
15、 16、
三、解答题:(本大题共6小题,满分70分)
17、(本题满分10分)
证明: ………5分
所以,原不等式得证。………………10分
18、(本题满分12分)
解:(1),………………1分
依题意有,,即 ,………………3分
解得.………………5分
∴………………6分
(2)
∴,又………………9分
故曲线在点处的切线方程为
,即………………12分
19、(本题满分12分)
证明:
20、(本题满分12分)
解:设长方体的宽为x m,则长为2x m,高为
由 解得 ,………………3分
故长方体的容积为
………………6分
从而 V′(x)=18x-18x2=18x (1-x),
令V′(x)=0,解得x=1或x=0 (舍去), ………………8分
当00;
当 时,V′(x)<0,
故在x=1处V(x)取得极大值,并且这个极大值就是V(x)的最大值,
从而最大体积为V(1)=9×12-6×13 = 3 (m3 ) ………10分
此时容器的高为4.5-3=1.5 m.
因此,容器高为1.5 m时容器的容积最大,最大容积为3 m3. ………………12分
21、(本题满分12分)
解: (1) ∵f′(x)=3x2-a, 由条件f′(x)≥0,即a≤3x2在x∈R时恒成立.
而3x2≥0, ∴a≤0, ∴实数a的取值范围是(-∞,0].
(2) 由条件f′(x)≤0 即a≥3x2在x∈(-1,1)时恒成立.
∵x∈(-1,1)时,3x2∈[0,3), ∴只要a≥3即可,
∴实数a的取值范围是[3,+∞).
22、(本题满分12分)
解:对函数求导得.
(1)当时,,由,
可知, 在上单调递增.
(2)方法一:当时,,
其图像开口向上,对称轴 ,且过点
(i)当,即时,,
在上单调递增,从而当时, 取得最小值,当时,取得最大值.
(ii)当,即时,令 解得,
注意到, 所以.
因为 ,
所以 的最小值;
因为,
所以 的最大值;
综上所述,当时,的最小值,最大值.
方法二:
当时,对,都有,
故 ;
,
故 .
又,,
所以,
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