广西桂林中学2013-2014学年高二下学期期中考试数学（文）试题

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桂林中学2013—2014学年下学期期中考试
高二文科数学试题
命题时间: 2014年4月7日
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3-4页。试卷满分150分。考试时间120分钟。21教育网
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题：（本大题共12小题，每题5分，满分60分）
1．曲线y＝x3－2在点(1，－) 处切线的斜率为(　 　)
A． B． C． D．
2．已知数列2,5,11,20，x,47，…合情推出x的值为(　 　)
A．29 B．31 C．32 D．33
3． ( http: / / www.21cnjy.com )是虚数单位，复数 ( http: / / www.21cnjy.com )=（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
4．已知f(x)＝xln x，若f ′ (x0)＝2，则x0等于(　 　)
A．e2 B．e C．ln 22 D．ln 2
5．设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是（ ）21cnjy.com
A．y与x具有正的线性相关关系
B．回归直线过样本点的中心
C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg
D．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg
6．用反证法证明命题：“若a，b∈N，ab能被5整除，则a，b中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是(　 　)21·cn·jy·com
A．a，b都能被5整除 B．a，b都不能被5整除
C．a，b有一个能被5整除 D．a，b有一个不能被5整除
7．已知函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图,则(　　)
A.函数f(x)有1个极大值点,1个极小值点
B.函数f(x)有2个极大值点,2个极小值点
C.函数f(x)有3个极大值点,1个极小值点
D.函数f(x)有1个极大值点,3个极小值点
8．定义在R上的可导函数 f(x)=x2 + 2xf′(2)+15，
在闭区间[0,m]上有最大值15,最小值-1,
则m的取值范围是(　　)
A.m≥2 B.2≤m≤4
C.m≥4 D.4≤m≤8
9．对任意的x∈R,函数f(x)=x3+ax2+7ax不存在
极值点的充要条件是(　　)
A.a=0或a=7 B. a<0或a>21
C. 0≤a≤21 D. a=0或a=21
10．阅读如图所示的程序框图，
运行相应的程序，
则输出S的值为（ ）
A．8 B. 18
C．26 D．80
11．设函数. 若实数a, b满足, 则
A． B. （ ）
C. D.
12．函数f(x)＝x3－3x－1，若对 ( http: / / www.21cnjy.com )于区间[－3,2]上的任意x1，x2，都有 | f(x1)－f (x2)|≤ t，则实数t的最小值是(　 　)www.21-cn-jy.com
A．20 B．18 C．3 D．0
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，满分20分）
13．函数f(x)＝x(1－x2)在[0,1]上的最大值为 ．
14． 在 ( http: / / www.21cnjy.com )
类比此性质，如下图，在四面体P－ABC中，
若PA、PB、PC两两垂直，底面ABC上的
高为h，则得到的正确结论为__________________________．
15．已知复数，且，则的最大值为 .
16．若函数在区间上是单调递增函数，则实数的取值范围是 ．
三、解答题：（本大题共6小题，满分70分）
17．（本题满分10分）
若，求证： .
18．（本题满分12分）
已知函数在处取得极值－2.
（1）求函数的解析式；
（2）求曲线在点处的切线方程；
19．（本题满分12分）
已知,且，求证：
20．（本题满分12分）
用长为18 m的钢条围成一个长方体容器的框架，如果所制的容器的长与宽之比为2∶1，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．21世纪教育网版权所有
21．（本题满分12分）
已知函数f(x)=x3-ax-1,
(1)若函数f(x)在R上单调递增,求实数a的取值范围.
(2)若函数f(x)在区间(-1,1)上单调递减,求实数a的取值范围.
22．（本题满分12分）
设函数 ．
(1) 当时,求函数的单调区间；
(2) 当时,求函数在上的最小值和最大值．
桂林中学2013—2014学年下学期期中考试
高二文科数学答案
一、选择题：（本大题共12小题，每题5分，满分60分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B C B B D B A D C C A A
二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，满分20分）
13、 14、
15、 16、
三、解答题：（本大题共6小题，满分70分）
17、（本题满分10分）
证明： ………5分
所以，原不等式得证。………………10分
18、（本题满分12分）
解：（1），………………1分
依题意有，，即 ，………………3分
解得．………………5分
∴………………6分
（2）
∴，又………………9分
故曲线在点处的切线方程为
，即………………12分
19、（本题满分12分）
证明：
20、（本题满分12分）
解：设长方体的宽为x m，则长为2x m，高为
由 解得 ，………………3分
故长方体的容积为
………………6分
从而 V′(x)＝18x－18x2＝18x (1－x)，
令V′(x)＝0，解得x＝1或x＝0 (舍去)， ………………8分
当00；
当 时，V′(x)<0，
故在x＝1处V(x)取得极大值，并且这个极大值就是V(x)的最大值，
从而最大体积为V(1)＝9×12－6×13 ＝ 3 (m3 ) ………10分
此时容器的高为4.5－3＝1.5 m.
因此，容器高为1.5 m时容器的容积最大，最大容积为3 m3. ………………12分
21、（本题满分12分）
解： (1) ∵f′(x)=3x2-a, 由条件f′(x)≥0，即a≤3x2在x∈R时恒成立.
而3x2≥0, ∴a≤0, ∴实数a的取值范围是(-∞,0].
(2) 由条件f′(x)≤0 即a≥3x2在x∈(-1,1)时恒成立.
∵x∈(-1,1)时,3x2∈[0,3), ∴只要a≥3即可,
∴实数a的取值范围是[3,+∞).
22、（本题满分12分）
解：对函数求导得.
(1)当时，，由，
可知, 在上单调递增.
（2）方法一：当时，，
其图像开口向上，对称轴 ，且过点
（i）当，即时，，
在上单调递增，从而当时， 取得最小值，当时，取得最大值.
（ii）当，即时，令 解得，
注意到， 所以.
因为 ，
所以 的最小值；
因为，
所以 的最大值；
综上所述，当时，的最小值,最大值.
方法二：
当时，对，都有，
故 ；
，
故 .
又，，
所以，
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