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桂林中学2013—2014学年下学期期中考试
高二数学理科试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3-4页。试卷满分150分。考试时间120分钟。21世纪教育网版权所有
第I卷(选择题,共60分)
一、选择题:(本大题共12小题,每题5分,满分60分)
1.曲线y=x3-2在点(1,-)处切线的倾斜角为( )
A.30° B.45° C.135° D.150°21教育网
2.已知数列2,5,11,20,x,47,…合情推出x的值为( )
A.29 B.31 C.32 D.33
3.已知f(x)=xln x,若f′(x0)=2,则x0等于( )
A.e2 B.e C.ln 22 D.ln 221cnjy.com
4.曲线y=cosx HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 与坐标轴所围成图形面积是( )
A.4 B.2 C. D.3
5.函数f(x)=1+x-sinx在(0,2π)上是( )
A.增函数 B.在(0,π)上递增,在(π,2π)上递减
C.减函数 D.在(0,π)上递减,在(0,2π)上递增
6.用反证法证明命题:“若a,b∈N,ab能被5整除,则a,b中至少有一个能被5整除”,那么假设的内容是( )21·cn·jy·com
A.a,b都能被5整除 B.a,b都不能被5整除
C.a,b有一个能被5整除 D.a,b有一个不能被5整除
7.函数f(x)的定义域为R,导函数f′(x)的图象如图所示,则函数f(x)( ).
( http: / / www.21cnjy.com )
A.无极大值点,有四个极小值点 B.有三个极大值点,两个极小值点
C.有两个极大值点,两个极小值点 D.有四个极大值点,无极小值点
8.设a>0,b>0,则以下不等式中不一定成立的是( )
A. a2+b2+2≥2a+2b B.ln(ab+1)≥0
C.+≥2 D.a3+b3≥2ab2
9.在平行六面休ABCD-A′B′C′D′中,若 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ,
则x+y+z等于( )
A. HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 B.
C. D.
10.函数f(x)=x3-3x-1,若对 ( http: / / www.21cnjy.com )于区间[-3,2]上的任意x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤t,则实数t的最小值是( )www.21-cn-jy.com
A.20 B.18 C.3 D.0
11.利用数学归纳法证明不等式1+++…A.1项 B.k项 C.2k-1项 D.2k项
12.已知f(x)=x3+x,若a,b,c∈R,且a+b>0,a+c>0,b+c>0,则f(a)+f(b)+f(c)的值( )【来源:21·世纪·教育·网】
A.一定大于0 B.一定等于0
C.一定小于0 D.正负都有可能
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题:(本大题共4小题,每题5分,满分20分)
13.函数f(x)=x(1-x2)在[0,1]上的最大值为 .
14.则常数T的值为 .
15.在 ( http: / / www.21cnjy.com )类比此性质,如下图,在四面体P-ABC中,若PA、PB、PC两两
垂直,底面ABC上的高为h,则得到的正确结论为__________________________.21·世纪*教育网
.
16.若函数在区间上是单调递增函数,则实数的取值范围是 .
三、解答题:(本大题共6小题,满分70分)
17.(本题满分10分)
若 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ,求证: HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 .
18.(本题满分12分)
已知函数在处取得极值-2.
(1)求函数的解析式;
(2)求曲线在点处的切线方程;
19.(本题满分12分)
用总长为14.8米的钢条制成一个长方体容器 ( http: / / www.21cnjy.com )的框架,如果所制的容器的底面的长比宽多0.5米,那么高为多少时容器的容器最大?并求出它的最大容积.www-2-1-cnjy-com
20.(本题满分12分)
如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1中点。
(1)求证:AB1⊥面A1BD;
(2)求二面角A-A1D-B的余弦值;
(3)求点C到平面A1BD的距离;
21.(本题满分12分)
在数列 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 中, HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ,且 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 成等差数列, HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 成等比数列 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 .
(1)求 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ;
(2)根据计算结果,猜想 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 的通项公式,并用数学归纳法证明.
22.(本题满分12分)
已知 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3
(1)求函数 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 的单调区间;
(2)求函数 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 在 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 上的最小值;
(3)对一切的 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 , HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 恒成立,求实数 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 的取值范围.
桂林中学2013—2014学年下学期期中考试高二数学(理)科答案
一、选择题:
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B C B D A B C D B A D A
二、填空题:
13、 14、3
15、 ( http: / / www.21cnjy.com ) 16、
三、解答题:
17、证明: ………5分
所以,原不等式得证。………………10分
18、解:(1),………………1分
依题意有,,即 ,………………3分
解得.………………5分
∴………………6分
(2)
∴,又………………9分
故曲线在点处的切线方程为
,即………………12分
19、解: 设容器底面宽为xm,则长为(x+0.5)m,高为(3.2-2x)m.
由 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 解得0设容器的容积为ym3,则有
y=x(x+0.5)(3.2-2x)=-2x3+2.2x2+1.6x,………………6分
y′=-6x2+4.4x+1.6,
令y′=0,即-6x2+4.4x+1.6=0,
解得x=1,或x=-(舍去).………………8分
∵00;1∴在定义域(0,1.6)内x=1是唯一的极值点,且是极大值点,
∴当x=1时,y取得最大值为1.8. ………………10分
此时容器的高为3.2-2=1.2m.
因此,容器高为1.2m时容器的容积最大,最大容积为1.8m3. ………………12分
20、解:(1)取中点,连结.为正三角形,.
在正三棱柱中,平面平面,
平面.
取中点,以为原点,,,的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系,则,,,,,
,,.
,,
,.
平面.………………4分
(2)设平面的法向量为.
,.
,, HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
令得为平面的一个法向量.
由(Ⅰ)知平面, 为平面的法向量.
,.
二面角的余弦值为.………………9分
(3)由(Ⅱ),为平面法向量,
.
点到平面的距离.………………12分
21、解:(1)由已知条件得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4
由此算出 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4
(2)由(1)的计算可以猜想.
下面用数学归纳法证明:
①当时,由已知 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 可得结论成立。
②假设当 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 时猜想成立,即.
那么,当 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 时
因此当时,结论也成立.
当①和②知,对一切 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ,都有成立.………12分
22、解:(1)
………4分
(2) (ⅰ)0(ⅱ)0(ⅲ) HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ,即时,,
……………8分
(3)由题意:即
可得
设,
则
令,得(舍)
当时,;当时,
当时,取得最大值, HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" =-2
.
的取值范围是.……………12分
x
z
A
B
C
D
O
F
y
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