广西桂林中学2013-2014学年高二下学期期中考试数学（理）试题

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桂林中学2013—2014学年下学期期中考试
高二数学理科试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3-4页。试卷满分150分。考试时间120分钟。21世纪教育网版权所有
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题：（本大题共12小题，每题5分，满分60分）
1．曲线y＝x3－2在点(1，－)处切线的倾斜角为(　 　)
A．30° B．45° C．135° D．150°21教育网
2．已知数列2,5,11,20，x,47，…合情推出x的值为(　 　)
A．29 B．31 C．32 D．33
3．已知f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，则x0等于(　 　)
A．e2 B．e C．ln 22 D．ln 221cnjy.com
4．曲线y＝cosx HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 与坐标轴所围成图形面积是(　 　)
A．4　　　　 B．2　　　 C．　　　　 D．3
5．函数f(x)＝1＋x－sinx在(0,2π)上是(　　)
A．增函数 B．在(0，π)上递增，在(π，2π)上递减
C．减函数 D．在(0，π)上递减，在(0,2π)上递增
6．用反证法证明命题：“若a，b∈N，ab能被5整除，则a，b中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是(　 　)21·cn·jy·com
A．a，b都能被5整除 B．a，b都不能被5整除
C．a，b有一个能被5整除 D．a，b有一个不能被5整除
7．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)(　 　)．
( http: / / www.21cnjy.com )
A．无极大值点，有四个极小值点 B．有三个极大值点，两个极小值点
C．有两个极大值点，两个极小值点 D．有四个极大值点，无极小值点
8．设a>0，b>0，则以下不等式中不一定成立的是(　 　)
A． a2＋b2＋2≥2a＋2b B．ln(ab＋1)≥0
C．＋≥2 D．a3＋b3≥2ab2
9．在平行六面休ABCD－A′B′C′D′中，若 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，
则x＋y＋z等于(　 　)
A． HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 B．
C． D．
10．函数f(x)＝x3－3x－1，若对 ( http: / / www.21cnjy.com )于区间[－3,2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是(　 　)www.21-cn-jy.com
A．20 B．18 C．3 D．0
11．利用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…A．1项 B．k项 C．2k－1项 D．2k项
12．已知f(x)＝x3＋x，若a，b，c∈R，且a＋b>0，a＋c>0，b＋c>0，则f(a)＋f(b)＋f(c)的值(　 　)【来源：21·世纪·教育·网】
A．一定大于0 B．一定等于0
C．一定小于0 D．正负都有可能
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，满分20分）
13．函数f(x)＝x(1－x2)在[0,1]上的最大值为 ．
14．则常数T的值为 ．
15．在 ( http: / / www.21cnjy.com )类比此性质，如下图，在四面体P－ABC中，若PA、PB、PC两两
垂直，底面ABC上的高为h，则得到的正确结论为__________________________．21·世纪*教育网
.
16．若函数在区间上是单调递增函数，则实数的取值范围是 ．
三、解答题：（本大题共6小题，满分70分）
17．（本题满分10分）
若 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，求证： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 .
18．（本题满分12分）
已知函数在处取得极值－2.
（1）求函数的解析式；
（2）求曲线在点处的切线方程；
19．（本题满分12分）
用总长为14.8米的钢条制成一个长方体容器 ( http: / / www.21cnjy.com )的框架，如果所制的容器的底面的长比宽多0.5米，那么高为多少时容器的容器最大？并求出它的最大容积．www-2-1-cnjy-com
20．（本题满分12分）
如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点。
（1）求证：AB1⊥面A1BD；
（2）求二面角A－A1D－B的余弦值；
（3）求点C到平面A1BD的距离；
21．（本题满分12分）
在数列 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 中， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，且 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 成等差数列， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 成等比数列 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 .
(1)求 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ；
(2)根据计算结果，猜想 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 的通项公式，并用数学归纳法证明．
22．（本题满分12分）
已知 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3
(1)求函数 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 的单调区间;
(2)求函数 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 在 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 上的最小值;
(3)对一切的 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 , HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 恒成立,求实数 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 的取值范围.
桂林中学2013—2014学年下学期期中考试高二数学（理）科答案
一、选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B C B D A B C D B A D A
二、填空题：
13、 14、3
15、 ( http: / / www.21cnjy.com ) 16、
三、解答题：
17、证明： ………5分
所以，原不等式得证。………………10分
18、解：（1），………………1分
依题意有，，即 ，………………3分
解得．………………5分
∴………………6分
（2）
∴，又………………9分
故曲线在点处的切线方程为
，即………………12分
19、解：　设容器底面宽为xm，则长为(x＋0.5)m，高为(3.2－2x)m.
由 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 解得0设容器的容积为ym3，则有
y＝x(x＋0.5)(3.2－2x)＝－2x3＋2.2x2＋1.6x，………………6分
y′＝－6x2＋4.4x＋1.6，
令y′＝0，即－6x2＋4.4x＋1.6＝0，
解得x＝1，或x＝－(舍去)．………………8分
∵00；1∴在定义域(0,1.6)内x＝1是唯一的极值点，且是极大值点，
∴当x＝1时，y取得最大值为1.8. ………………10分
此时容器的高为3.2－2＝1.2m.
因此，容器高为1.2m时容器的容积最大，最大容积为1.8m3. ………………12分
20、解：（1）取中点，连结．为正三角形，．
在正三棱柱中，平面平面，
平面．
取中点，以为原点，，，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，
，，．
，，
，．
平面．………………4分
（2）设平面的法向量为．
，．
，， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
令得为平面的一个法向量．
由（Ⅰ）知平面， 为平面的法向量．
，．
二面角的余弦值为．………………9分
（3）由（Ⅱ），为平面法向量，
．
点到平面的距离．………………12分
21、解：（1）由已知条件得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4
由此算出 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4
（2）由（1）的计算可以猜想．
下面用数学归纳法证明：
①当时，由已知 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 可得结论成立。
②假设当 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 时猜想成立，即．
那么，当 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 时
因此当时，结论也成立．
当①和②知，对一切 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，都有成立．………12分
22、解：(1)
………4分
(2) (ⅰ)0(ⅱ)0(ⅲ) HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，即时，，
……………8分
(3)由题意:即
可得
设,
则
令,得(舍)
当时,;当时,
当时,取得最大值, HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" =-2
.
的取值范围是.……………12分
x
z
A
B
C
D
O
F
y
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