人教版九年级上册数学21.2.4一元二次方程根与系数的关系课件(共12张PPT)

(共12张PPT)
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
韦达，1540 年出生于法国的波亚图，他把符号系统引入代数学，对数学的发展发挥了巨大的作用，人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父” ．
x+y=8
x=7
s=vt
a=b-10
y=3x+4
a+b=3
a2+b2=c2
导入新课
-4
1
2
3
-1
-3
-4
5
6
(1) x2 + 3x - 4 = 0；(2) x2 - 5x + 6 = 0；
算一算 解下列方程并完成填空：
x1 + x2 = ？
x1·x2 = ？
2x2 + 3x + 1 = 0
方程两根
x1 x2
一元二次方程
x2 + 3x - 4 = 0
x2 - 5x + 6 = 0
(3) 2x2 + 3x + 1 = 0.
将二次项系数化为 1
对于一般的一元二次方程ax2 + bx + c = 0（a≠0），是否有一 样的规律吗？
讲授新课
如何求出一般的一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 两根之积、两根之和？
思考探究
有实数根的前提是什么呢？
Δ=b2-4ac≥0
讲授新课
对于方程ax2+bx+c=0(a≠0) ，当Δ≥0时，设ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1，x2，此时x1+x2，x1·x2等于多少呢？
探究结论
如果 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根为 x1， x2，那么
，
注意
满足上述关系的前提条件
b2 - 4ac≥0.
一元二次方程的根与系数的关系
人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”．
探究结论
例1 不解方程，求下列方程的两根之和、两根之积.
（1）x2 – 6x – 15 = 0；（2） 5x – 1 = 4x2
（1）解： a = 1，b = – 6， c = – 15．
（2）解：整理方程得：4x2-5x+1=0
Δ = b2 - 4ac
= ( – 6 )2 – 4 × 1 ×(– 15 )
= 96 > 0．
∴方程有两个实数根．
设方程的两个实数根是 x1， x2，
那么x1 + x2 = – ( – 6 ) =6，
x1 x2 = - 15．
先化为一般式
定理应用
a = 4，b = – 5， c = 1．
Δ = b2 - 4ac
= ( – 5 )2 – 4 × (– 5 ) ×1 = 45 > 0．
∴方程有两个实数根．
设方程的两个实数根是 x1， x2，
那么 x1 + x2 = ， x1 x2 = ．
练习1 不解方程，求下列方程的两根之和、两根之积.
（1）3x2 + 7x - 9 = 0；（2） 2x2-4x +9 =0．
（2）解：a = 2，b = - 4，c = 9．
Δ = b2 - 4ac
= (-4)2 – 4 ×2×9 = -56 < 0．
∴方程无实数根．
（1）解：a = 3，b = 7， c = - 9．
Δ = b2 - 4ac
= 72 – 4 ×3×(-9) = 157 > 0．
∴方程有两个实数根．
设方程的两个实数根是 x1， x2，
那么 x1 + x2 = ， x1 x2 = -3．
定理应用
例2 设 x1，x2 为方程 x2 - 4x + 1 = 0 的两个根，则
(1)x1 + x2 = ，x1·x2 = ．
（x1+x2）2 – 2x1x2
∴原式=42 – 2×1
=14
4
1
(x1 + 1)(x2 + 1)=
(2)求下列式子的值：
x12+ x22 =
x1x2+(x1+x2)+1
∴原式=1+4+1
=6
定理应用
∵x1+x2=4，x1x2=1
∵x1+x2=4，x1x2=1
∴原式
∵x1+x2=4，x1x2=1
x1 + x2 = ４ ，x1·x2 = 1
变式 设 x1，x2 为方程 x2 - 4x + 1 = 0 的两个根，求下列式子的值：
(x1- x2)2
定理应用
一元二次方程的根与系数的关系
内 容
应 用
如果一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根分别是 x1，x2，那么
　　　　　　　　，　　　　　　
课堂小结
……
(x1 + 1)(x2 + 1)
x12+ x22
(x1- x2)2
思考题：
当 k 为何值时，方程 2x2 - kx + 1 = 0 的两根之差为 1？
必做题：
1.教材P16练习；
2.教材P17复习巩固第7题；
3.教材P25复习巩固第4题．
常思常悟
课后作业