【模块六 圆】专题3 与圆有关的计算-2023年中考数学第一轮复习（含解析）

2023年中考数学第一轮复习
模块六 圆
专题3 与圆有关的计算
与圆有关的计算 弧长计算 （1）半径为R的圆周长：C=πd=2πR. （2）半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长为l,则l=.
扇形面积计算 （1）半径为R的圆面积S= （2）半径为R的圆中,圆心角为n°的扇形面积为S扇=或S扇=.
圆柱、圆锥的有关计算 （1）圆柱的侧面展开图是长方形,圆柱侧面积S=2πRh,全面积S=2πRh+2πR2(R表示底面圆的半径,h表示圆柱的高). （2）圆锥的侧面展开图是扇形,圆锥侧面积S=πRl,全面积S=πRl+πR2(R表示底面圆的半径,l表示圆锥的母线). （3）圆柱的体积=底面积×高,即V=Sh=πR2h. 圆锥的体积=×底面积×高,即V=πR2h.
正多边形与圆 （1）正多边形:各边相等,各角相等的多边形叫做正多边形. （2）圆与正多边形的有关概念:一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心,外接圆的半径叫做正多边形的半径;正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角,中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距. （3）正多边形的内角和=(n-2)·180°; 正多边形的每个内角= ; 正多边形的周长=边长×边数; 正多边形的面积=×周长×边心距.
题型一、弧长的计算
1．（2022·浙江温州·中考真题）若扇形的圆心角为，半径为，则它的弧长为___________．
2．（2022·湖北黄冈）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，以点C为圆心，CA的长为半径画弧，交AB于点D，则弧AD的长为（ ）
A． B． C． D．2
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3．（2022·湖北宜昌）如图，点，，都在方格纸的格点上，绕点顺时针方向旋转后得到，则点运动的路径的长为______．
4．（2022·湖南岳阳）如图，在中，为直径，，为弦，过点的切线与的延长线交于点，为线段上一点（不与点重合），且．
（1）若，则的长为______（结果保留）；（2）若，则______．
5．（2022·甘肃武威）如图，一条公路（公路的宽度忽略不计）的转弯处是一段圆弧（），点是这段弧所在圆的圆心，半径，圆心角，则这段弯路（）的长度为（ ）
A． B． C． D．
题型二、扇形面积的计算
1．（2022·湖北武汉）一个扇形的弧长是，其圆心角是150°，此扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·四川达州）如图所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边，分别以点A，B，C为圆心，以长为半径作，，，三弧所围成的图形就是一个曲边三角形．如果一个曲边三角形的周长为，则此曲边三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·湖北荆州）如图，以边长为2的等边△ABC顶点A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与BC边相切，分别交AB，AC于D，E，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·广西贺州）如图，在等腰直角中，点E在OA上，以点O为圆心、OE为半径作圆弧交OB于点F，连接EF，已知阴影部分面积为，则EF的长度为（ ）
A． B．2 C． D．
5．（2022·贵州遵义）如图，在正方形中，和交于点，过点的直线交于点（不与，重合），交于点．以点为圆心，为半径的圆交直线于点，．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·山东泰安）如图，四边形中．，，交于点E，以点E为圆心，为半径，且的圆交于点F，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·四川广元）如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰经过圆心O，若AB＝2，则阴影部分的面积为 _____．
8．（2022·内蒙古通辽）如图，在中，，以为圆心，的长为半径的圆交边于点，点在边上且，延长交的延长线于点．
(1)求证：是圆的切线；
(2)已知，，求长度及阴影部分面积．
9．（2022·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，∠ =45°，，以为直径的⊙与边交于点．
(1)判断直线与⊙的位置关系，并说明理由；
(2)若，求图中阴影部分的面积．
题型三、与圆锥有关的计算
1．（2022·江苏无锡）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以AC所在直线为轴，把△ABC旋转1周，得到圆锥，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．12π B．15π C．20π D．24π
2．（2022·黑龙江大庆）已知圆锥的底面半径为5，高为12，则它的侧面展开图的面积是( )
A． B． C． D．
3．（2022·四川广安）蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成．下图是一个蒙古包的示意图，底面圆半径DE=2m，圆锥的高AC=1.5m，圆柱的高CD=2.5m，则下列说法错误的是（　　）
A．圆柱的底面积为4πm2 B．圆柱的侧面积为10πm2
C．圆锥的母线AB长为2.25m D．圆锥的侧面积为5πm2
4．（2022·云南）某中学开展劳动实习，学生到教具加工厂制作圆锥，他们制作的圆锥，母线长为30cm，底面圆的半径为10 cm，这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是_____．
题型四、有关圆内接正多边形的计算
1．（2022·湖南邵阳）如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，若AB=3，则⊙O的半径是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·成都）如图，正六边形内接于⊙，若⊙的周长等于，则正六边形的边长为（ ）
A． B． C．3 D．
3．（2022·山东青岛）如图，正六边形内接于，点M在上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·四川内江）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为6，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（　　）
A．4， B．3，π C．2， D．3，2π
5．（2022·四川成都）如图，已知⊙是小正方形的外接圆，是大正方形的内切圆．现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是_________．
6．（2022·云南）如图，四边形ABCD的外接圆是以BD为直径的⊙O，P是⊙O的劣狐BC上的任意一点，连接PA、PC、PD，延长BC至E，使BD =BC BE．
(1)请判断直线DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
(2)若四边形ABCD是正方形，连接AC，当P与C重合时，或当P与B重合时，把转化为正方形ABCD的有关线段长的比，可得是否成立？请证明你的结论．
7．（2022·浙江金华）如图1，正五边形内接于⊙，阅读以下作图过程，并回答下列问题，作法：如图2，①作直径；②以F为圆心，为半径作圆弧，与⊙交于点M，N；③连接．
(1)求的度数．
(2)是正三角形吗？请说明理由．(3)从点A开始，以长为半径，在⊙上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值．
2023年中考数学第一轮复习
模块六 圆
专题3 与圆有关的计算
与圆有关的计算 弧长计算 （1）半径为R的圆周长：C=πd=2πR. （2）半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长为l,则l=.
扇形面积计算 （1）半径为R的圆面积S= （2）半径为R的圆中,圆心角为n°的扇形面积为S扇=或S扇=.
圆柱、圆锥的有关计算 （1）圆柱的侧面展开图是长方形,圆柱侧面积S=2πRh,全面积S=2πRh+2πR2(R表示底面圆的半径,h表示圆柱的高). （2）圆锥的侧面展开图是扇形,圆锥侧面积S=πRl,全面积S=πRl+πR2(R表示底面圆的半径,l表示圆锥的母线). （3）圆柱的体积=底面积×高,即V=Sh=πR2h. 圆锥的体积=×底面积×高,即V=πR2h.
正多边形与圆 （1）正多边形:各边相等,各角相等的多边形叫做正多边形. （2）圆与正多边形的有关概念:一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心,外接圆的半径叫做正多边形的半径;正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角,中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距. （3）正多边形的内角和=(n-2)·180°; 正多边形的每个内角= ; 正多边形的周长=边长×边数; 正多边形的面积=×周长×边心距.
题型一、弧长的计算
1．（2022·浙江温州·中考真题）若扇形的圆心角为，半径为，则它的弧长为___________．
【答案】π
【分析】根据题目中的数据和弧长公式，可以计算出该扇形的弧长．
【详解】解：∵扇形的圆心角为120°，半径为，
∴它的弧长为：
故答案为：
【点睛】本题考查弧长的计算，解答本题的关键是明确弧长的计算公式
2．（2022·湖北黄冈）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，以点C为圆心，CA的长为半径画弧，交AB于点D，则弧AD的长为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】连接CD，根据∠ACB=90°，∠B=30°可以得到∠A的度数，再根据AC=CD以及∠A的度数即可得到∠ACD的度数，最后根据弧长公式求解即可．
【详解】解：连接CD，如图所示：
∵ACB=90°，∠B=30°，AB=8，
∴∠A=90°-30°=60°，AC=AB=4，
由题意得：AC=CD，
∴△ACD为等边三角形，∴∠ACD=60°，
∴的长为：＝，故选：B．
【点睛】本题考查弧长公式，解题的关键是：求出弧所对应的圆心角的度数以及弧所在扇形的半径．
3．（2022·湖北宜昌）如图，点，，都在方格纸的格点上，绕点顺时针方向旋转后得到，则点运动的路径的长为______．
【答案】
【分析】先求出AB的长，再根据弧长公式计算即可．
【详解】由题意得，AC=4，BC=3，
∴,
∵绕点顺时针方向旋转后得到，
∴,
∴的长为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理和弧长公式，熟记弧长公式是解题的关键．
4．（2022·湖南岳阳）如图，在中，为直径，，为弦，过点的切线与的延长线交于点，为线段上一点（不与点重合），且．
（1）若，则的长为______（结果保留）；（2）若，则______．
【答案】
【分析】（1）根据圆周角定理求出∠AOD=70°，再利用弧长公式求解；
（2）解直角三角形求出BC，AD，BD，再利用相似三角形的性质求出DE，BE，可得结论．
【详解】解：（1）∵，
∴的长；
故答案为：；
（2）连接，
∵是切线，是直径，
∴，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查圆的相关知识，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，熟练掌握各性质及判定定理，正确寻找相似三角形解决问题是解题的关键．
5．（2022·甘肃武威）如图，一条公路（公路的宽度忽略不计）的转弯处是一段圆弧（），点是这段弧所在圆的圆心，半径，圆心角，则这段弯路（）的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题目中的数据和弧长公式，可以计算出这段弯路（）的长度．
【详解】解：∵半径OA=90m，圆心角∠AOB=80°，
这段弯路（）的长度为：，故选C
【点睛】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是明确弧长计算公式
题型二、扇形面积的计算
1．（2022·湖北武汉）一个扇形的弧长是，其圆心角是150°，此扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出该扇形的半径，再求其面积即可；
【详解】解：该扇形的半径为：，
∴扇形的面积为：，故选：B．
【点睛】本题主要考查扇形面积的求解，掌握扇形面积的求解公式是解题的关键．
2．（2022·四川达州）如图所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边，分别以点A，B，C为圆心，以长为半径作，，，三弧所围成的图形就是一个曲边三角形．如果一个曲边三角形的周长为，则此曲边三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据此三角形是由三段弧组成，所以根据弧长公式可得半径，即正三角形的边长，根据曲边三角形的面积等于三角形的面积与三个弓形的面积和，边长为的等边三角形的面积为，即可求解．
【详解】解：设等边三角形ABC的边长为r，
解得，即正三角形的边长为2，
此曲边三角形的面积为 故选A
【点睛】本题考查了扇形面积的计算．此题的关键是明确曲边三角形的面积等于三角形的面积与三个弓形的面积和，然后再根据所给的曲线三角形的周长求出三角形的边长．
3．（2022·湖北荆州）如图，以边长为2的等边△ABC顶点A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与BC边相切，分别交AB，AC于D，E，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作AF⊥BC，再根据勾股定理求出AF，然后根据阴影部分的面积=得出答案．
【详解】过点A作AF⊥BC，交BC于点F．
∵△ABC是等边三角形，BC=2，∴CF=BF=1．
在Rt△ACF中，．
∴．故选：D．
【点睛】本题主要考查了求阴影部分的面积，涉及等边三角形的性质，勾股定理及扇形面积计算等知识，将阴影部分的面积转化为三角形的面积-扇形的面积是解题的关键．
4．（2022·广西贺州）如图，在等腰直角中，点E在OA上，以点O为圆心、OE为半径作圆弧交OB于点F，连接EF，已知阴影部分面积为，则EF的长度为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】根据题意可得：OE=OF，∠O=90°，设OE=OF=x，利用阴影部分面积列出等式，得出，然后由勾股定理求解即可．
【详解】解：根据题意可得：OE=OF，∠O=90°，
设OE=OF=x，
∴
，
解得：，
∴，
故选：C．
【点睛】题目主要考查不规则图形的面积，一元二次方程的应用，勾股定理解三角形等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
5．（2022·贵州遵义）如图，在正方形中，和交于点，过点的直线交于点（不与，重合），交于点．以点为圆心，为半径的圆交直线于点，．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意可得四边形的面积等于正方形面积的一半，根据阴影部分面积等于半圆减去四边形的面积和弓形的面积即可求解．
【详解】解：在正方形中，，
的半径为：
过点，根据中心对称可得四边形的面积等于正方形面积的一半，
又
阴影部分面积为：
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，求扇形面积，掌握以上知识是解题的关键．
6．（2022·山东泰安）如图，四边形中．，，交于点E，以点E为圆心，为半径，且的圆交于点F，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过点E作EG⊥CD于点G，根据平行线的性质和已知条件，求出，根据ED=EF，得出，即可得出，解直角三角形，得出GE、DG，最后用扇形的面积减三角形的面积得出阴影部分的面积即可．
【详解】解：过点E作EG⊥CD于点G，如图所示：
∵DE⊥AD，∴∠ADE=90°，
∵∠A=60°，∴∠AED=90°-∠A=30°，
∵，∴，
∵ED=EF，∴，
∴，
∵，∴，∵DE=6，，
∴，，∴，
∴，故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，垂径定理，等腰三角形的判定和性质，扇形面积计算公式，解直角三角形，作出辅助线，求出∠DEF=120°，DF的长，是解题的关键．
7．（2022·四川广元）如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰经过圆心O，若AB＝2，则阴影部分的面积为 _____．
【答案】##
【分析】过点O作OD⊥AB于点D，交劣弧AB于点E，由题意易得，则有，然后根据特殊三角函数值及扇形面积公式可进行求解阴影部分的面积．
【详解】解：过点O作OD⊥AB于点D，交劣弧AB于点E，如图所示：
由题意可得：，
∴，
∴，
∴弓形AB的面积为，
∴阴影部分的面积为；
故答案为．
【点睛】本题主要考查扇形面积、轴对称的性质及三角函数，熟练掌握扇形面积、轴对称的性质及三角函数是解题的关键．
8．（2022·内蒙古通辽）如图，在中，，以为圆心，的长为半径的圆交边于点，点在边上且，延长交的延长线于点．
(1)求证：是圆的切线；
(2)已知，，求长度及阴影部分面积．
【答案】(1)证明见详解；
(2)AC=3，阴影部分面积为．
【分析】（1）连接OD，证明∠ODE=90°即可；
（2）在Rt△OCD中，由勾股定理求出OC、OD、CD，在Rt△OCE中，由勾股定理求出OE，用△OCE的面积减扇形面积即可得出阴影部分面积．
(1)
证明：连接OD
∵OD=OB
∴∠OBD=∠ODB
∵AC=CD
∴∠A=∠ADC
∵∠ADC=∠BDE
∴∠A=∠EDB
∵∠AOB=90°
∴∠A+∠ABO=90°
∴∠ODB+∠BDE=90°
即OD⊥CE，
又D在上
∴是圆的切线；
(2)
解：由（1）可知，∠ODC=90°
在Rt△OCD中，
∴设OD=OB=4x，则OC=5x，
∴
∴AC=3x
∴OA=OC+AC=8x
在Rt△OAB中：
即：
解得，（-1舍去）
∴AC=3，OC=5，OB=OD=4
在在Rt△OCE中，
∴设OE=4y，则CE=5y，
∵
解得，（舍去）
∴
∴阴影部分面积为．
【点睛】本题考查切线的判断和性质、勾股定理、三角函数、阴影部分面积的求法，解题的关键在于灵活运用勾股定理和三角函数求出相应的边长，并能将阴影部分面积转化为三角形与扇形面积的差．
9．（2022·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，∠ =45°，，以为直径的⊙与边交于点．
(1)判断直线与⊙的位置关系，并说明理由；
(2)若，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）利用等腰三角形的性质与三角形的内角和定理证明 从而可得结论；
（2）如图，记BC与的交点为M，连接OM，先证明 再利用阴影部分的面积等于三角形ABC的面积减去三角形BOM的面积，减去扇形AOM的面积即可．
(1)证明： ∠ =45°，，
即
在上，
为的切线．
(2)如图，记BC与的交点为M，连接OM，
，
，
，
，，
，
．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，切线的判定，扇形面积的计算，掌握“切线的判定方法与割补法求解不规则图形面积的方法”是解本题的关键．
题型三、与圆锥有关的计算
1．（2022·江苏无锡）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以AC所在直线为轴，把△ABC旋转1周，得到圆锥，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．12π B．15π C．20π D．24π
【答案】C
【分析】先利用勾股定理计算出AB，再利用扇形的面积公式即可计算出圆锥的侧面积．
【详解】解：∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB==5，
以直线AC为轴，把△ABC旋转一周得到的圆锥的侧面积=×2π×4×5=20π．故选：C．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
2．（2022·黑龙江大庆）已知圆锥的底面半径为5，高为12，则它的侧面展开图的面积是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据圆锥侧面展开图的面积，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，圆锥侧面展开图的半径即圆锥的母线长为，
∴圆锥侧面展开图的面积为，故选B．
【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图的面积，勾股定理．解题的关键在于明确圆锥侧面展开图的面积，其中为圆锥底面半径，为圆锥侧面展开图的半径即圆锥的母线长．
3．（2022·四川广安）蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成．下图是一个蒙古包的示意图，底面圆半径DE=2m，圆锥的高AC=1.5m，圆柱的高CD=2.5m，则下列说法错误的是（　　）
A．圆柱的底面积为4πm2 B．圆柱的侧面积为10πm2
C．圆锥的母线AB长为2.25m D．圆锥的侧面积为5πm2
【答案】C
【分析】由圆锥的侧面积、圆柱侧面积、圆的面积公式、分别求出答案，再进行判断，即可得到答案．
【详解】解：根据题意，
∵底面圆半径DE=2m，
∴圆柱的底面积为：；故A正确；
圆柱的侧面积为：；故B正确；
圆锥的母线为：；故C错误；
圆锥的侧面积为：；故D正确；故选：C
【点睛】本题考查了圆锥的侧面积、圆柱侧面积、圆的面积公式等知识，解题的关键是掌握所学的知识，正确的进行判断．
4．（2022·云南）某中学开展劳动实习，学生到教具加工厂制作圆锥，他们制作的圆锥，母线长为30cm，底面圆的半径为10 cm，这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是_____．
【答案】
【分析】设这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数为n，，进行解答即可得．
【详解】解： 设这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数为n°，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角，解题的关键是掌握扇形的弧长公式．
题型四、有关圆内接正多边形的计算
1．（2022·湖南邵阳）如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，若AB=3，则⊙O的半径是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作直径AD，连接CD，如图，利用等边三角形的性质得到∠B=60°，关键圆周角定理得到∠ACD=90°，∠D=∠B=60°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求解．
【详解】解：作直径AD，连接CD，如图，
∵△ABC为等边三角形，∴∠B=60°，
∵AD为直径，∴∠ACD=90°，
∵∠D=∠B=60°，则∠DAC=30°，∴CD=AD，
∵AD2=CD2+AC2，即AD2=(AD)2+32，∴AD=2，
∴OA=OB=AD=．故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了等边三角形的性质、圆周角定理和含30度的直角三角形三边的关系．
2．（2022·四川成都）如图，正六边形内接于⊙，若⊙的周长等于，则正六边形的边长为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】C
【分析】连接OB，OC，由⊙O的周长等于6π，可得⊙O的半径，又由圆的内接多边形的性质，即可求得答案．
【详解】解：连接OB，OC，
∵⊙O的周长等于6π，
∴⊙O的半径为：3，
∵∠BOC360°＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，∴BC＝OB＝3，
∴它的内接正六边形ABCDEF的边长为3，故选：C．
【点睛】此题考查了正多边形与圆的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
3．（2022·山东青岛）如图，正六边形内接于，点M在上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出正六边形的中心角，再利用圆周角定理求解即可．
【详解】解：连接OC、OD、OE，如图所示：
∵正六边形内接于，
∴∠COD= =60°，则∠COE=120°，
∴∠CME= ∠COE=60°，故选：D．
【点睛】本题考查正多边形的中心角、圆周角定理，熟练掌握正n多边形的中心角为是解答的关键．
4．（2022·四川内江）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为6，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（　　）
A．4， B．3，π C．2， D．3，2π
【答案】D
【分析】连接、，证出是等边三角形，根据勾股定理求出，再由弧长公式求出弧的长即可．
【详解】解：连接、，
六边形为正六边形，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
的长为．故选：D．
【点睛】本题考查的是正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理,熟练掌握正六边形的性质，由勾股定理求出是解决问题的关键．
5．（2022·四川成都）如图，已知⊙是小正方形的外接圆，是大正方形的内切圆．现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是_________．
【答案】
【分析】如图，设OA=a，则OB=OC=a，根据正方形内接圆和外接圆的关系，求出大正方形、小正方形和圆的面积，再根据概率公式计算即可．
【详解】解：如图，设OA=a，则OB=OC=a，
由正方形的性质可知∠AOB=90°，
，
由正方形的性质可得CD=CE=OC=a，
∴DE=2a，
S阴影=S圆-S小正方形=，
S大正方形=，
∴这个点取在阴影部分的概率是，
故答案为：
【点睛】本题考查了概率公式、正方形的性质、正方形外接圆和内切圆的特点、圆的面积计算，根据题意弄清楚图形之间的关系是解题的关键．
6．（2022·云南）如图，四边形ABCD的外接圆是以BD为直径的⊙O，P是⊙O的劣狐BC上的任意一点，连接PA、PC、PD，延长BC至E，使BD =BC BE．
(1)请判断直线DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
(2)若四边形ABCD是正方形，连接AC，当P与C重合时，或当P与B重合时，把转化为正方形ABCD的有关线段长的比，可得是否成立？请证明你的结论．
【答案】(1)DE是⊙O的切线，证明见解析；
(2)成立，证明见解析
【分析】（1）证明△BDC∽△BED，推出∠BCD=∠BDE=90°，即可证明DE是⊙O的切线；
（2）延长PA至Q，使AQ=CP，则PA+PC= PA+AQ=PQ，证明△QAD≌△PCD(SAS)，再推出△PQD是等腰直角三角形，即可证明结论成立．
(1)解：DE是⊙O的切线；理由如下：
∵BD =BC BE，
∴，
∵∠CBD=∠DBE，
∴△BDC∽△BED，
∴∠BCD=∠BDE，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BCD=90°，
∴∠BDE=90°，
∴DE是⊙O的切线；
(2)解：成立，理由如下：
延长PA至Q，使AQ=CP，则PA+PC= PA+AQ=PQ，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADC=90°，
∵四边形APCD是圆内接四边形，
∴∠PAD+∠PCD=180°，
∵∠QAD+∠PAD=180°，
∴∠QAD=∠PCD，
∴△QAD≌△PCD(SAS)，
∴∠QDA=∠PDC，QD=PD，
∴∠QDA+∠PDA =∠PDC+∠PDA=90°，
∴△PQD是等腰直角三角形，
∴PQ=PD，即PA+PC=PD，
∴成立．
【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．
7．（2022·浙江金华）如图1，正五边形内接于⊙，阅读以下作图过程，并回答下列问题，作法：如图2，①作直径；②以F为圆心，为半径作圆弧，与⊙交于点M，N；③连接．
(1)求的度数．(2)是正三角形吗？请说明理由．(3)从点A开始，以长为半径，在⊙上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值．
【答案】(1)(2)是正三角形，理由见解析(3)
【分析】（1）根据正五边形的性质以及圆的性质可得，则(优弧所对圆心角)，然后根据圆周角定理即可得出结论；
（2）根据所作图形以及圆周角定理即可得出结论；
（3）运用圆周角定理并结合（1）（2）中结论得出，即可得出结论．
(1)解：∵正五边形．
∴，
∴，
∵，
∴(优弧所对圆心角)，
∴；
(2)解：是正三角形，理由如下：
连接，
由作图知：,
∵，
∴，
∴是正三角形，
∴，
∴，
同理，
∴，即，
∴是正三角形；
(3)∵是正三角形，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了圆周角定理，正多边形的性质，读懂题意，明确题目中的作图方式，熟练运用圆周角定理是解本题的关键．