河北省邯郸市部分学校2023届高三下学期数学开学考试试卷

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河北省邯郸市部分学校2023届高三下学期数学开学考试试卷
一、单选题
1．（2023高三下·邯郸开学考）已知集合，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】空集的定义、性质及运算；并集及其运算；交集及其运算
【解析】【解答】因为，所以.
因为，所以.
对照四个选项，只有A符合题意.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合对数函数的单调性，进而得出集合B，再结合交集和并集的运算法则以及空集的定义，进而找出正确的选项。
2．（2023高三下·邯郸开学考）已知空间四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面内”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】“这四个点中有三点在同一直线上”，则第四点不在共线三点所在的直线上，
因为一条直线和直线外一点确定一个平面，一定能推出“这四点在同一个平面内”，从而充分性成立；
“这四个点在同一平面内”时，可能有“两点分别在两条相交或平行直线上”，不一定有三点在同一直线上，从而必要性不成立，
所以“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面内”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合充分条件和必要条件的判断方法，从而判断出“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面内”的充分不必要条件。
3．（2023高三下·邯郸开学考）若双曲线的两条渐近线互相垂直，则（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】两条直线垂直的判定；双曲线的简单性质
【解析】【解答】当时，双曲线焦点在轴上，，
故，渐近线方程为，
当时，双曲线焦点在轴上，，
故，渐近线方程为，
所以，其渐近线方程为
又因为双曲线的两条新近线互相垂直，
所以，解得.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合双曲线渐近线求解方法得出双曲线的渐近线方程，再结合两直线垂直斜率之积等于-1，进而得出实数m的值。
4．（2023高三下·邯郸开学考）已知，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的余弦公式；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】因为，即，
所以
.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合诱导公式和两角和的正弦公式，再利用二倍角的余弦公式，进而得出 的值。
5．（2023高三下·邯郸开学考）已知复数z的实部和虚部均为整数，则满足的复数z的个数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】复数的基本概念；复数求模
【解析】【解答】设，则
因为，所以
因为，所以，即.
当时，，即，有两组满足条件，
当时，或，所以，，
但时，不符合题意，
故个数为4，
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合复数的实部和虚部的定义以及复数与共轭复数的关系，再结合复数的模的公式，进而得出满足要求的复数z的个数。
6．（2023高三下·邯郸开学考）函数在区间上的零点个数为（　　）
A．10 B．8 C．6 D．4
【答案】B
【知识点】奇偶性与单调性的综合；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】因为，所以0不是的零点.
当时，方程的解的个数为函数与的图像在上交点的个数，在同一坐标系中作出与在上的图像（注意到当时，单调递减，）.
如图所示，由图可知在区间上，两函数图象有4个交点.
而与均为奇函数，故在上两图像交点个数为8，即在区间上的零点个数为8.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合函数的零点的定义，进而得出0不是的零点，再结合方程的根与两函数的交点的横坐标的等价关系，所以，当时，方程的解的个数为函数与的图像在上交点的个数，在同一坐标系中作出与在上的图像，由图可知在区间上，两函数图象有4个交点，再利用奇函数的定义判断出与均为奇函数，再结合奇函数的图象的对称性，从而得出在上两图像交点个数，再结合两函数的交点的横坐标与函数的零点的等价关系，进而得出在区间上的零点个数。
7．（2023高三下·邯郸开学考）将函数的图象向右平移1个单位长度后，再向上平移4个单位长度，所得函数图象与曲线关于直线对称，则（　　）
A． B． C． D．4
【答案】D
【知识点】函数的值；图形的对称性；反射、平衡和旋转变换
【解析】【解答】函数的图象与函数的图象关于直线对称，
将的图象向下平移4个单位长度得到的图象，
再将的图象向左平移1个单位长度得到的图象，
即，故.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合函数的图象变换和函数的图象的对称性，进而得出函数的解析式，再利用代入法得出函数的值。
8．（2023高三下·邯郸开学考）已知O是的外心，且满足，若在上的投影向量为，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量的基本定理及其意义；向量的投影；任意角三角函数的定义
【解析】【解答】由题知，，
所以，
即，所以三点共线，且是的中点，
因为O是的外心，所以是圆的直径，
故是以A为直角顶点的直角三角形，
过向作垂线，垂足为，连接，如图所示：
因为在上的投影向量为，
所以在上的投影向量为：
，
而，
则.
故答案为：C.
【分析】由题知，，再结合三角形法则得出，再利用三点共线判断方法，所以三点共线，且是的中点，再利用O是的外心，所以是圆的直径，故是以A为直角顶点的直角三角形，过向作垂线，垂足为，连接，再利用在上的投影向量为结合三角形法则和平面向量基本定理得出在上的投影向量，再结合和余弦函数的定义，进而得出的值。
二、多选题
9．（2023高三下·邯郸开学考）若函数的最小正周期为，则（　　）
A．
B．的图象与函数的图象重合
C．
D．存在唯一的，使得
【答案】B,C
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的值；正弦函数的图象；余弦函数的图象
【解析】【解答】因为函数的最小正周期为，所以，则，
所以.
对于A，法一：，，，则A不符合题意；
法二：意味着的图象关于直线对称，将代入，得的图象关于点对称，则A不符合题意；
对于B，，则B符合题意；
对于C，，，则C符合题意；
对于D，，当，即时，，
使得；
当，即时，，
使得.
所以在上，有两解，则D不符合题意.
故答案为：BC.
【分析】利用已知条件结合正弦型函数的最小正周期公式得出的值，从而得出函数的解析式，再结合函数的解析式和代入法得出；再利用已知条件结合诱导公式和余弦型函数的图象得出函数 的图象与函数的图象重合；再结合函数的解析式和代入法以及诱导公式得出 ；再利用已知条件结合x的取值范围和函数求值域的方法得出在上，有两解，进而找出正确的选项。
10．（2023高三下·邯郸开学考）设A，B是两个随机事件，且，若B发生时A必定发生，则下列结论错误的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；条件概率与独立事件
【解析】【解答】由题意，，所以，所以，则A，D错误，符合题意；
，则B错误，符合题意；
，则C正确，不符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】利用已知条件结合互斥事件加法求概率公式、独立事件乘法求概率公式、条件概型求概率公式，进而找出结论错误的选项。
11．（2023高三下·邯郸开学考）已知，若，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】解：由题知，，
所以，即，
则A符合题意；
令，则，
所以在上单调递增；
由A 结论：，
得，所以，
即，因为单调递减，
所以，B不符合题意；
由B中结论，
所以
，
所以，C符合题意；
因为，
所以，
则D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】利用已知条件结合导数判断函数的单调性的方法和指数函数的单调性、对数函数的单调性、均值不等式求最值的方法，再结合函数的单调性比较大小的发，从而找出正确的选项。
12．（2023高三下·邯郸开学考）已知曲线C的方程为，点P在C上，O为坐标原点，则（　　）
A．曲线C关于原点对称
B．
C．设C与坐标轴所围成图形的面积为S，则
D．若M是直线上的一点，则
【答案】A,B,D
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】根据题意，且，即，显然当时，不满足C的方程；当时，两边平方化简，得，曲线C表示椭圆在第一象限和第三象限内的部分及坐标轴上的点，如下图所示：
对A：用分别代替x，y，C的方程不变，所以曲线C关于原点对称，A符合题意；
对B：设，则，由，得，所以，B符合题意；
对C：曲线C与坐标轴所围成的图形如下图阴影部分所示（是曲线与坐标轴交点），
以为邻边作矩形，则阴影部分的面积，C不符合题意；
对D：易知直线在曲线C上方，且没有公共点.设，与联立消去y，得，若直线与椭圆C相切，则，解得；
当时，切点在第一象限，所以直线与直线间的距离即为的最小值，所以，即，D符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】根据题意，且，即，显然当时，不满足C的方程；当时，两边平方化简，得，曲线C表示椭圆在第一象限和第三象限内的部分及坐标轴上的点。用分别代替x，y，曲线C的方程不变，再结合图形的对称性，所以曲线C关于原点对称；设，再利用两点距离公式和以及不等式的基本性质和两点距离公式得出；利用曲线C与坐标轴所围成的图形得出以为邻边作矩形，再结合矩形的面积公式得出阴影部分的面积；利用已知条件，易知直线在曲线C上方，且没有公共点，设，再利用直线与椭圆的位置关系，联立二者方程结合判别式法得出b的值，当时，切点在第一象限，再结合几何法和两平行直线的距离公式得出直线与直线间的距离为的最小值，进而得出，从而找出正确的选项。
三、填空题
13．（2023高三下·邯郸开学考）若直线与圆相交于A，B两点，当取得最小值时，直线l的斜率为　 　.
【答案】2
【知识点】直线的斜率；恒过定点的直线；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】由题意，得圆C的圆心，半径，直线l过定点，
因为，所以点P在圆C内.
所以当时，取得最小值，此时的斜率，故l的斜率为2.
故答案为：2.
【分析】由题意结合圆的标准方程得出圆C的圆心坐标和半径长，再结合直线l过定点和两点距离公式以及点与圆的位置关系判断方法，所以点P在圆C内，所以当时，取得最小值，再结合两点求斜率公式得出此时直线的斜率，从而得出直线l的斜率。
14．（2023高三下·邯郸开学考）9月19日，航天科技集团五院发布消息称，近日在法国巴黎召开的第73届国际宇航大会上，我国首次火星探测天问一号任务团队获得国际宇航联合会2022年度世界航天奖.为科普航天知识，某校组织学生参与航天知识竞答活动，某班8位同学成绩如下：7，6，8，9，8，7，10，m．若去掉m，该组数据的下四分位数保持不变，则整数m（1≤m≤10）的值可以是　 　（写出一个满足条件的m值即可）．
【答案】7（或8或9或10）
【知识点】众数、中位数、平均数；用样本的数字特征估计总体的数字特征
【解析】【解答】因为八个数字，下四分位数就是第二个数和第三个数的平均值，
而七个数的下四分位数就是第二位的数，
去掉m后，从小往大排列分别是6，7，……，也就是说，第2个数和第3个数都是七，
所以只要m≥7，就是排在第四个数往后，不管是8，9，10都不会影响．
所以整数m的值可以是7，或8，或9，或10，
故答案为：7（或8或9或10）
【分析】利用已知条件结合平均数公式和四分位数求解方法，进而得出整数m可以的取值。
15．（2023高三下·邯郸开学考）的展开式中，有理项是　 　.（用关于x的式子表示）
【答案】和
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】由题知，记展开式的通项公式为，
则，
由，得或8，
所以，
故有理项是和.
故答案为：和
【分析】利用已知条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再结合通项公式得出有理项。
16．（2023高三下·邯郸开学考）如图，某正方体的顶点A在平面内，三条棱都在平面的同侧.若顶点B，C，D到平面的距离分别为，，2，则该正方体外接球的表面积为　 　.
【答案】
【知识点】球的体积和表面积；球内接多面体
【解析】【解答】设正方体的棱长为a，取空间的一个基底，设是平面的一个方向向上的单位法向量.
由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使得.
由题意，在方向上的投影向量的长度分别为，，2.
于是，即，即，即.
同理，.
从而，由，得，
即，解得，
所以正方体的外接球半径为，外接球的表面积为.
故答案为：
【分析】设正方体的棱长为a，取空间的一个基底，设是平面的一个方向向上的单位法向量，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使得.由题意，在方向上的投影向量的长度分别为，，2，于是结合平面向量及定理和数量积的运算法则得出，同理可得，从而，由结合向量的模的公式和已知条件得出实数a的值，从而得出正方体的外接球半径，再结合球的表面积公式得出正方体外接球的表面积。
四、解答题
17．（2023高三下·邯郸开学考）若数列满足，，m为常数.
（1）求证：是等差数列；
（2）若对任意，都有，求实数m的取值范围.
【答案】（1）证明：因为，
等式两边同除以，得，即，
所以数列是首项为，公差为1的等差数列.
（2）解：由（1）得，因此.
由对恒成立，得对均成立.
因为，不等式两边同除以，得，
即对恒成立，
当时，取最大值，所以，
所以实数m的取值范围为.
【知识点】函数的最值及其几何意义；函数恒成立问题；等差数列
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合递推公式变形和等差数列的定义，进而证出数列是首项为，公差为1的等差数列。
（2） 由（1）得，因此，由对恒成立，所以对均成立，再利用 ，不等式两边同除以，得出对恒成立，当时，取最大值，进而得出实数m的取值范围。
18．（2023高三下·邯郸开学考）如图，在四边形中，E为上一点，若.
（1）求证：；
（2）若，求四边形的面积.
【答案】（1）证明：在中，由余弦定理得：
，
即，解得或2.
当时，由，得.
在中，由余弦定理得：
，
解得，
此时所以
即成立；
当时，由，得.
在中，由余弦定理得：
，
解得，
所以，
又，所以.
综上，；
（2）解：由(1)可得： ，或，，
因为，所以满足题意，
设，则，
在中，由正弦定理，得，
即，即，
所以，
由，可得，
所以，得，
则，
所以四边形的面积：
.
【知识点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1） 在中，由余弦定理得出AE的长，当时，由得出的长，在中，由余弦定理得出BD的长，此时所以进而得出成立；当时，由得出的长，在中，由余弦定理得出BD的长，再结合余弦定理和三角形中的角的取值范围，进而得出，从而证出不等式成立。
（2） 由(1)可得： ，或，，再利用，所以满足题意，设，则，在中，由正弦定理和二倍角的正弦公式以及，进而可得的取值范围，从而得出，进而得出角的值，从而得出的值，再利用三角形的面积公式和四边形的面积与三角形的面积的关系式，进而得出四边形的面积。
19．（2023高三下·邯郸开学考）如图1，已知是上下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴折起，并连接得到如图2所示的几何体.
（1）判断几何体是哪种简单几何体，并证明；
（2）在几何体中，若二面角为直二面角，求二面角的余弦值.
【答案】（1）解：几何体是三棱台，证明如下：
由条件知，又平面平面，
所以平面，同理，平面.
因为，平面，所以平面平面.
另一方面，延长交于点M，如图，
因为且，
所以，解得.
同理，延长交于点，也可得，
故点M和点重合，即延长后交于同一点M，
从而几何体是三棱台.
（2）解：因为，
所以是直二面角的一个平面角，
从而.
以O为原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则.
所以，
所以，又因为，所以.
而平面，
所以平面是平面的一个法向量.
设是平面的一个法向量，
由及得
取，得.
设二面角的大小为，由图可知，为锐角，
所以，
即二面角的余弦值是.
【知识点】棱台的结构特征；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1）由条件知，再利用线线平行证出线面平行，所以平面，同理，平面，再利用线面平行证出面面平行，所以平面平面，另一方面，延长交于点M，利用且，再结合分式的运算性质得出，同理，延长交于点，也可得，故点M和点重合，即延长后交于同一点M，从而判断出几何体是三棱台。
（2）利用 ，所以是直二面角的一个平面角，从而，以O为原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标得出向量的坐标，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标表示得出，再利用线线垂直证出线面垂直，所以平面是平面的一个法向量，再利用平面的法向量求解方法得出平面的一个法向量，再结合数量积求向量夹角公式得出二面角的余弦值。
20．（2023高三下·邯郸开学考）2022年11月21日，我国迄今水下考古发现的体量最大的木质沉船长江口二号古船，在长江口横沙水域成功整体打捞出水，上海市文物局会同交通运输部上海打捞局，集成先进的打捞工艺、技术路线、设备制造，最终研究并形成了世界首创的“弧形梁非接触文物整体迁移技术”来打捞这艘古船.这是全新的打捞解决方案，创造性地融合了核电弧形梁加工工艺、隧道盾构掘进工艺、沉管隧道对接工艺，并运用液压同步提升技术，综合监控系统等先进的高新技术.这些技术也是首次应用于文物保护和考古领域.近年来，随着科学技术的发展，越来越多的古迹具备了发掘的条件，然而相关考古专业人才却严重不足.某调查机构为了解高三学生在志愿填报时对考古专业的态度，在某中学高三年级的1200名男生和800名女生中按比例分配的分层，随机抽取20名学生进行了调查，调查结果如下表：
不填报 填报
非第一志愿填报 第一志愿填报
男生 x 5 2
女生 y 1 0
（1）完成列联表，并依据小概率值的独立性检验判断是否可以认为该校学生填报志愿时“是否填报考古专业”与性别有关联？
男生 女生 总计
不填报 　 　 　
填报 　 　 　
总计 　 　 20
（2）从抽出的男生中再随机抽取3人进一步了解情况，记X为抽取的这3名男生中“第一志愿填报考古专业”和“非第一志愿填报考古专业”人数差的绝对值，求X的数学期望.
附：.
0.05 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
【答案】（1）解：设抽取的20人中，男、女生人数分别为，则，
所以.
列联表如下：
男生 女生 总计
不填报 5 7 12
填报 7 1 8
总计 12 8 20
零假设为：“是否填报考古专业”与性别无关联.
根据列联表中的数据，经计算得到.
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为“是否填报考古专业”与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05.
（2）解：X的可能取值为0，1，2，3，
；
；
；
.
所以.
【知识点】独立性检验的应用；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1) 利用已知条件完成列联表，再利用列联表和独立性检验的方法判断出认为“是否填报考古专业”与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05。
（2）利用已知条件求出随机变量X的取值，再利用组合数公式和互斥事件加法求概率公式、古典概型求概率公式，进而得出随机变量X的分布列，再结合随机变量的分布列求数学期望公式，进而得出随机变量X的数学期望。
21．（2023高三下·邯郸开学考）设函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若，且在区间上有极值，求实数a的取值范围.
【答案】（1）解：当时，，
则，切点为.
，切线斜率为，
所以所求切线方程为，即.
（2）解：，
令，
因为，所以在R上单调递减；
又当时，，
所以，
又，
所以，使得.
所以，
因为，所以，由题意.
故当时，单调递增；
当时，单调递减，
在处取得极大值，.
令，则，
所以在上单调递增，
而，
所以，
故实数a的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合a的值求出函数的解析式，再结合导数的几何意义得出切线的斜率，再利用代入法得出切点坐标，再结合点斜式得出曲线在切点处的切线方程，再转化为切线的一般式方程。
（2）利用已知条件结合求导哦的方法判断函数的单调性，进而得出函数的极值，进而得出实数a的取值范围。
22．（2023高三下·邯郸开学考）在平面直角坐标系中，点P到点的距离比到y轴的距离大1，记点P的轨迹为曲线C.
（1）求C的方程；
（2）设过点F且不与x轴重合的直线l与C交于A，B两点，求证：在曲线C上存在点P，使得直线的斜率成等差数列.
【答案】（1）解：设，由题意，得，
两边平方并整理，得.
故所求C的方程为.
（2）证明：C的方程为
当直线l的斜率不存在时，点A，B关于x轴对称，存在C上的点，使，显然直线的斜率成等差数列；
当直线l的斜率存在且不为0时，可设直线l的方程为，
联立消去x，得.
设，则.
若存在点满足条件，则，
即，
因为点P，A，B均在抛物线上，所以.
所以，
将代入得，整理得，
因为，所以，代入，得.
此时，存在C上的点，使得直线的斜率成等差数列.
综上，存在C上的点P使得直线的斜率成等差数列.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合两点距离公式和点到直线的 距离公式，进而结合平方法得出曲线C的方程。
（2） 利用绝对值的定义得出曲线C的方程为，当直线l的斜率不存在时，点A，B关于x轴对称，存在C上的点，使，再结合等差数列的性质，显然直线的斜率成等差数列；当直线l的斜率存在且不为0时，可设直线l的方程为，再利用直线与抛物线相交，联立二者方程结合判别式法得出，设，再结合韦达定理得出，若存在点满足条件，则，再结合两点求斜率公式和点P，A，B均在抛物线上以及代入法得出，所以，将代入得出，再利用，所以，代入，得，再结合等差数列的性质得出此时存在C上的点，使得直线的斜率成等差数列，综上所述，存在C上的点P使得直线的斜率成等差数列。
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河北省邯郸市部分学校2023届高三下学期数学开学考试试卷
一、单选题
1．（2023高三下·邯郸开学考）已知集合，则（　　）
A． B． C． D．
2．（2023高三下·邯郸开学考）已知空间四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面内”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2023高三下·邯郸开学考）若双曲线的两条渐近线互相垂直，则（　　）
A． B． C．2 D．
4．（2023高三下·邯郸开学考）已知，则（　　）
A． B． C． D．
5．（2023高三下·邯郸开学考）已知复数z的实部和虚部均为整数，则满足的复数z的个数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（2023高三下·邯郸开学考）函数在区间上的零点个数为（　　）
A．10 B．8 C．6 D．4
7．（2023高三下·邯郸开学考）将函数的图象向右平移1个单位长度后，再向上平移4个单位长度，所得函数图象与曲线关于直线对称，则（　　）
A． B． C． D．4
8．（2023高三下·邯郸开学考）已知O是的外心，且满足，若在上的投影向量为，则（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2023高三下·邯郸开学考）若函数的最小正周期为，则（　　）
A．
B．的图象与函数的图象重合
C．
D．存在唯一的，使得
10．（2023高三下·邯郸开学考）设A，B是两个随机事件，且，若B发生时A必定发生，则下列结论错误的是（　　）
A． B．
C． D．
11．（2023高三下·邯郸开学考）已知，若，则（　　）
A． B．
C． D．
12．（2023高三下·邯郸开学考）已知曲线C的方程为，点P在C上，O为坐标原点，则（　　）
A．曲线C关于原点对称
B．
C．设C与坐标轴所围成图形的面积为S，则
D．若M是直线上的一点，则
三、填空题
13．（2023高三下·邯郸开学考）若直线与圆相交于A，B两点，当取得最小值时，直线l的斜率为　 　.
14．（2023高三下·邯郸开学考）9月19日，航天科技集团五院发布消息称，近日在法国巴黎召开的第73届国际宇航大会上，我国首次火星探测天问一号任务团队获得国际宇航联合会2022年度世界航天奖.为科普航天知识，某校组织学生参与航天知识竞答活动，某班8位同学成绩如下：7，6，8，9，8，7，10，m．若去掉m，该组数据的下四分位数保持不变，则整数m（1≤m≤10）的值可以是　 　（写出一个满足条件的m值即可）．
15．（2023高三下·邯郸开学考）的展开式中，有理项是　 　.（用关于x的式子表示）
16．（2023高三下·邯郸开学考）如图，某正方体的顶点A在平面内，三条棱都在平面的同侧.若顶点B，C，D到平面的距离分别为，，2，则该正方体外接球的表面积为　 　.
四、解答题
17．（2023高三下·邯郸开学考）若数列满足，，m为常数.
（1）求证：是等差数列；
（2）若对任意，都有，求实数m的取值范围.
18．（2023高三下·邯郸开学考）如图，在四边形中，E为上一点，若.
（1）求证：；
（2）若，求四边形的面积.
19．（2023高三下·邯郸开学考）如图1，已知是上下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴折起，并连接得到如图2所示的几何体.
（1）判断几何体是哪种简单几何体，并证明；
（2）在几何体中，若二面角为直二面角，求二面角的余弦值.
20．（2023高三下·邯郸开学考）2022年11月21日，我国迄今水下考古发现的体量最大的木质沉船长江口二号古船，在长江口横沙水域成功整体打捞出水，上海市文物局会同交通运输部上海打捞局，集成先进的打捞工艺、技术路线、设备制造，最终研究并形成了世界首创的“弧形梁非接触文物整体迁移技术”来打捞这艘古船.这是全新的打捞解决方案，创造性地融合了核电弧形梁加工工艺、隧道盾构掘进工艺、沉管隧道对接工艺，并运用液压同步提升技术，综合监控系统等先进的高新技术.这些技术也是首次应用于文物保护和考古领域.近年来，随着科学技术的发展，越来越多的古迹具备了发掘的条件，然而相关考古专业人才却严重不足.某调查机构为了解高三学生在志愿填报时对考古专业的态度，在某中学高三年级的1200名男生和800名女生中按比例分配的分层，随机抽取20名学生进行了调查，调查结果如下表：
不填报 填报
非第一志愿填报 第一志愿填报
男生 x 5 2
女生 y 1 0
（1）完成列联表，并依据小概率值的独立性检验判断是否可以认为该校学生填报志愿时“是否填报考古专业”与性别有关联？
男生 女生 总计
不填报 　 　 　
填报 　 　 　
总计 　 　 20
（2）从抽出的男生中再随机抽取3人进一步了解情况，记X为抽取的这3名男生中“第一志愿填报考古专业”和“非第一志愿填报考古专业”人数差的绝对值，求X的数学期望.
附：.
0.05 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
21．（2023高三下·邯郸开学考）设函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若，且在区间上有极值，求实数a的取值范围.
22．（2023高三下·邯郸开学考）在平面直角坐标系中，点P到点的距离比到y轴的距离大1，记点P的轨迹为曲线C.
（1）求C的方程；
（2）设过点F且不与x轴重合的直线l与C交于A，B两点，求证：在曲线C上存在点P，使得直线的斜率成等差数列.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】空集的定义、性质及运算；并集及其运算；交集及其运算
【解析】【解答】因为，所以.
因为，所以.
对照四个选项，只有A符合题意.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合对数函数的单调性，进而得出集合B，再结合交集和并集的运算法则以及空集的定义，进而找出正确的选项。
2．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】“这四个点中有三点在同一直线上”，则第四点不在共线三点所在的直线上，
因为一条直线和直线外一点确定一个平面，一定能推出“这四点在同一个平面内”，从而充分性成立；
“这四个点在同一平面内”时，可能有“两点分别在两条相交或平行直线上”，不一定有三点在同一直线上，从而必要性不成立，
所以“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面内”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合充分条件和必要条件的判断方法，从而判断出“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面内”的充分不必要条件。
3．【答案】B
【知识点】两条直线垂直的判定；双曲线的简单性质
【解析】【解答】当时，双曲线焦点在轴上，，
故，渐近线方程为，
当时，双曲线焦点在轴上，，
故，渐近线方程为，
所以，其渐近线方程为
又因为双曲线的两条新近线互相垂直，
所以，解得.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合双曲线渐近线求解方法得出双曲线的渐近线方程，再结合两直线垂直斜率之积等于-1，进而得出实数m的值。
4．【答案】D
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的余弦公式；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】因为，即，
所以
.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合诱导公式和两角和的正弦公式，再利用二倍角的余弦公式，进而得出 的值。
5．【答案】C
【知识点】复数的基本概念；复数求模
【解析】【解答】设，则
因为，所以
因为，所以，即.
当时，，即，有两组满足条件，
当时，或，所以，，
但时，不符合题意，
故个数为4，
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合复数的实部和虚部的定义以及复数与共轭复数的关系，再结合复数的模的公式，进而得出满足要求的复数z的个数。
6．【答案】B
【知识点】奇偶性与单调性的综合；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】因为，所以0不是的零点.
当时，方程的解的个数为函数与的图像在上交点的个数，在同一坐标系中作出与在上的图像（注意到当时，单调递减，）.
如图所示，由图可知在区间上，两函数图象有4个交点.
而与均为奇函数，故在上两图像交点个数为8，即在区间上的零点个数为8.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合函数的零点的定义，进而得出0不是的零点，再结合方程的根与两函数的交点的横坐标的等价关系，所以，当时，方程的解的个数为函数与的图像在上交点的个数，在同一坐标系中作出与在上的图像，由图可知在区间上，两函数图象有4个交点，再利用奇函数的定义判断出与均为奇函数，再结合奇函数的图象的对称性，从而得出在上两图像交点个数，再结合两函数的交点的横坐标与函数的零点的等价关系，进而得出在区间上的零点个数。
7．【答案】D
【知识点】函数的值；图形的对称性；反射、平衡和旋转变换
【解析】【解答】函数的图象与函数的图象关于直线对称，
将的图象向下平移4个单位长度得到的图象，
再将的图象向左平移1个单位长度得到的图象，
即，故.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合函数的图象变换和函数的图象的对称性，进而得出函数的解析式，再利用代入法得出函数的值。
8．【答案】C
【知识点】平面向量的基本定理及其意义；向量的投影；任意角三角函数的定义
【解析】【解答】由题知，，
所以，
即，所以三点共线，且是的中点，
因为O是的外心，所以是圆的直径，
故是以A为直角顶点的直角三角形，
过向作垂线，垂足为，连接，如图所示：
因为在上的投影向量为，
所以在上的投影向量为：
，
而，
则.
故答案为：C.
【分析】由题知，，再结合三角形法则得出，再利用三点共线判断方法，所以三点共线，且是的中点，再利用O是的外心，所以是圆的直径，故是以A为直角顶点的直角三角形，过向作垂线，垂足为，连接，再利用在上的投影向量为结合三角形法则和平面向量基本定理得出在上的投影向量，再结合和余弦函数的定义，进而得出的值。
9．【答案】B,C
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的值；正弦函数的图象；余弦函数的图象
【解析】【解答】因为函数的最小正周期为，所以，则，
所以.
对于A，法一：，，，则A不符合题意；
法二：意味着的图象关于直线对称，将代入，得的图象关于点对称，则A不符合题意；
对于B，，则B符合题意；
对于C，，，则C符合题意；
对于D，，当，即时，，
使得；
当，即时，，
使得.
所以在上，有两解，则D不符合题意.
故答案为：BC.
【分析】利用已知条件结合正弦型函数的最小正周期公式得出的值，从而得出函数的解析式，再结合函数的解析式和代入法得出；再利用已知条件结合诱导公式和余弦型函数的图象得出函数 的图象与函数的图象重合；再结合函数的解析式和代入法以及诱导公式得出 ；再利用已知条件结合x的取值范围和函数求值域的方法得出在上，有两解，进而找出正确的选项。
10．【答案】A,B,D
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；条件概率与独立事件
【解析】【解答】由题意，，所以，所以，则A，D错误，符合题意；
，则B错误，符合题意；
，则C正确，不符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】利用已知条件结合互斥事件加法求概率公式、独立事件乘法求概率公式、条件概型求概率公式，进而找出结论错误的选项。
11．【答案】A,C,D
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】解：由题知，，
所以，即，
则A符合题意；
令，则，
所以在上单调递增；
由A 结论：，
得，所以，
即，因为单调递减，
所以，B不符合题意；
由B中结论，
所以
，
所以，C符合题意；
因为，
所以，
则D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】利用已知条件结合导数判断函数的单调性的方法和指数函数的单调性、对数函数的单调性、均值不等式求最值的方法，再结合函数的单调性比较大小的发，从而找出正确的选项。
12．【答案】A,B,D
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】根据题意，且，即，显然当时，不满足C的方程；当时，两边平方化简，得，曲线C表示椭圆在第一象限和第三象限内的部分及坐标轴上的点，如下图所示：
对A：用分别代替x，y，C的方程不变，所以曲线C关于原点对称，A符合题意；
对B：设，则，由，得，所以，B符合题意；
对C：曲线C与坐标轴所围成的图形如下图阴影部分所示（是曲线与坐标轴交点），
以为邻边作矩形，则阴影部分的面积，C不符合题意；
对D：易知直线在曲线C上方，且没有公共点.设，与联立消去y，得，若直线与椭圆C相切，则，解得；
当时，切点在第一象限，所以直线与直线间的距离即为的最小值，所以，即，D符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】根据题意，且，即，显然当时，不满足C的方程；当时，两边平方化简，得，曲线C表示椭圆在第一象限和第三象限内的部分及坐标轴上的点。用分别代替x，y，曲线C的方程不变，再结合图形的对称性，所以曲线C关于原点对称；设，再利用两点距离公式和以及不等式的基本性质和两点距离公式得出；利用曲线C与坐标轴所围成的图形得出以为邻边作矩形，再结合矩形的面积公式得出阴影部分的面积；利用已知条件，易知直线在曲线C上方，且没有公共点，设，再利用直线与椭圆的位置关系，联立二者方程结合判别式法得出b的值，当时，切点在第一象限，再结合几何法和两平行直线的距离公式得出直线与直线间的距离为的最小值，进而得出，从而找出正确的选项。
13．【答案】2
【知识点】直线的斜率；恒过定点的直线；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】由题意，得圆C的圆心，半径，直线l过定点，
因为，所以点P在圆C内.
所以当时，取得最小值，此时的斜率，故l的斜率为2.
故答案为：2.
【分析】由题意结合圆的标准方程得出圆C的圆心坐标和半径长，再结合直线l过定点和两点距离公式以及点与圆的位置关系判断方法，所以点P在圆C内，所以当时，取得最小值，再结合两点求斜率公式得出此时直线的斜率，从而得出直线l的斜率。
14．【答案】7（或8或9或10）
【知识点】众数、中位数、平均数；用样本的数字特征估计总体的数字特征
【解析】【解答】因为八个数字，下四分位数就是第二个数和第三个数的平均值，
而七个数的下四分位数就是第二位的数，
去掉m后，从小往大排列分别是6，7，……，也就是说，第2个数和第3个数都是七，
所以只要m≥7，就是排在第四个数往后，不管是8，9，10都不会影响．
所以整数m的值可以是7，或8，或9，或10，
故答案为：7（或8或9或10）
【分析】利用已知条件结合平均数公式和四分位数求解方法，进而得出整数m可以的取值。
15．【答案】和
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】由题知，记展开式的通项公式为，
则，
由，得或8，
所以，
故有理项是和.
故答案为：和
【分析】利用已知条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再结合通项公式得出有理项。
16．【答案】
【知识点】球的体积和表面积；球内接多面体
【解析】【解答】设正方体的棱长为a，取空间的一个基底，设是平面的一个方向向上的单位法向量.
由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使得.
由题意，在方向上的投影向量的长度分别为，，2.
于是，即，即，即.
同理，.
从而，由，得，
即，解得，
所以正方体的外接球半径为，外接球的表面积为.
故答案为：
【分析】设正方体的棱长为a，取空间的一个基底，设是平面的一个方向向上的单位法向量，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使得.由题意，在方向上的投影向量的长度分别为，，2，于是结合平面向量及定理和数量积的运算法则得出，同理可得，从而，由结合向量的模的公式和已知条件得出实数a的值，从而得出正方体的外接球半径，再结合球的表面积公式得出正方体外接球的表面积。
17．【答案】（1）证明：因为，
等式两边同除以，得，即，
所以数列是首项为，公差为1的等差数列.
（2）解：由（1）得，因此.
由对恒成立，得对均成立.
因为，不等式两边同除以，得，
即对恒成立，
当时，取最大值，所以，
所以实数m的取值范围为.
【知识点】函数的最值及其几何意义；函数恒成立问题；等差数列
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合递推公式变形和等差数列的定义，进而证出数列是首项为，公差为1的等差数列。
（2） 由（1）得，因此，由对恒成立，所以对均成立，再利用 ，不等式两边同除以，得出对恒成立，当时，取最大值，进而得出实数m的取值范围。
18．【答案】（1）证明：在中，由余弦定理得：
，
即，解得或2.
当时，由，得.
在中，由余弦定理得：
，
解得，
此时所以
即成立；
当时，由，得.
在中，由余弦定理得：
，
解得，
所以，
又，所以.
综上，；
（2）解：由(1)可得： ，或，，
因为，所以满足题意，
设，则，
在中，由正弦定理，得，
即，即，
所以，
由，可得，
所以，得，
则，
所以四边形的面积：
.
【知识点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1） 在中，由余弦定理得出AE的长，当时，由得出的长，在中，由余弦定理得出BD的长，此时所以进而得出成立；当时，由得出的长，在中，由余弦定理得出BD的长，再结合余弦定理和三角形中的角的取值范围，进而得出，从而证出不等式成立。
（2） 由(1)可得： ，或，，再利用，所以满足题意，设，则，在中，由正弦定理和二倍角的正弦公式以及，进而可得的取值范围，从而得出，进而得出角的值，从而得出的值，再利用三角形的面积公式和四边形的面积与三角形的面积的关系式，进而得出四边形的面积。
19．【答案】（1）解：几何体是三棱台，证明如下：
由条件知，又平面平面，
所以平面，同理，平面.
因为，平面，所以平面平面.
另一方面，延长交于点M，如图，
因为且，
所以，解得.
同理，延长交于点，也可得，
故点M和点重合，即延长后交于同一点M，
从而几何体是三棱台.
（2）解：因为，
所以是直二面角的一个平面角，
从而.
以O为原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则.
所以，
所以，又因为，所以.
而平面，
所以平面是平面的一个法向量.
设是平面的一个法向量，
由及得
取，得.
设二面角的大小为，由图可知，为锐角，
所以，
即二面角的余弦值是.
【知识点】棱台的结构特征；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1）由条件知，再利用线线平行证出线面平行，所以平面，同理，平面，再利用线面平行证出面面平行，所以平面平面，另一方面，延长交于点M，利用且，再结合分式的运算性质得出，同理，延长交于点，也可得，故点M和点重合，即延长后交于同一点M，从而判断出几何体是三棱台。
（2）利用 ，所以是直二面角的一个平面角，从而，以O为原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标得出向量的坐标，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标表示得出，再利用线线垂直证出线面垂直，所以平面是平面的一个法向量，再利用平面的法向量求解方法得出平面的一个法向量，再结合数量积求向量夹角公式得出二面角的余弦值。
20．【答案】（1）解：设抽取的20人中，男、女生人数分别为，则，
所以.
列联表如下：
男生 女生 总计
不填报 5 7 12
填报 7 1 8
总计 12 8 20
零假设为：“是否填报考古专业”与性别无关联.
根据列联表中的数据，经计算得到.
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为“是否填报考古专业”与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05.
（2）解：X的可能取值为0，1，2，3，
；
；
；
.
所以.
【知识点】独立性检验的应用；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1) 利用已知条件完成列联表，再利用列联表和独立性检验的方法判断出认为“是否填报考古专业”与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05。
（2）利用已知条件求出随机变量X的取值，再利用组合数公式和互斥事件加法求概率公式、古典概型求概率公式，进而得出随机变量X的分布列，再结合随机变量的分布列求数学期望公式，进而得出随机变量X的数学期望。
21．【答案】（1）解：当时，，
则，切点为.
，切线斜率为，
所以所求切线方程为，即.
（2）解：，
令，
因为，所以在R上单调递减；
又当时，，
所以，
又，
所以，使得.
所以，
因为，所以，由题意.
故当时，单调递增；
当时，单调递减，
在处取得极大值，.
令，则，
所以在上单调递增，
而，
所以，
故实数a的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合a的值求出函数的解析式，再结合导数的几何意义得出切线的斜率，再利用代入法得出切点坐标，再结合点斜式得出曲线在切点处的切线方程，再转化为切线的一般式方程。
（2）利用已知条件结合求导哦的方法判断函数的单调性，进而得出函数的极值，进而得出实数a的取值范围。
22．【答案】（1）解：设，由题意，得，
两边平方并整理，得.
故所求C的方程为.
（2）证明：C的方程为
当直线l的斜率不存在时，点A，B关于x轴对称，存在C上的点，使，显然直线的斜率成等差数列；
当直线l的斜率存在且不为0时，可设直线l的方程为，
联立消去x，得.
设，则.
若存在点满足条件，则，
即，
因为点P，A，B均在抛物线上，所以.
所以，
将代入得，整理得，
因为，所以，代入，得.
此时，存在C上的点，使得直线的斜率成等差数列.
综上，存在C上的点P使得直线的斜率成等差数列.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合两点距离公式和点到直线的 距离公式，进而结合平方法得出曲线C的方程。
（2） 利用绝对值的定义得出曲线C的方程为，当直线l的斜率不存在时，点A，B关于x轴对称，存在C上的点，使，再结合等差数列的性质，显然直线的斜率成等差数列；当直线l的斜率存在且不为0时，可设直线l的方程为，再利用直线与抛物线相交，联立二者方程结合判别式法得出，设，再结合韦达定理得出，若存在点满足条件，则，再结合两点求斜率公式和点P，A，B均在抛物线上以及代入法得出，所以，将代入得出，再利用，所以，代入，得，再结合等差数列的性质得出此时存在C上的点，使得直线的斜率成等差数列，综上所述，存在C上的点P使得直线的斜率成等差数列。
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