初中数学同步训练必刷题（北师大版七年级下册4.1 认识三角形）
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022七下·宝安期末）某兴趣小组想用3根木棍组成一个三角形，3根木棍的长度不可能是（ ）
A．2，3，4 B．3，4，5 C．2，5，7 D．4，7，7
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、，能够成三角形，故本选项不符合题意；
B、，能够成三角形，故本选项不符合题意；
C、，不能够成三角形，故本选项符合题意；
D、，能够成三角形，故本选项不符合题意；
故答案为：C
【分析】利用三角形三边的关系逐项判断即可。
2．（2022七下·长治期末）如图，是钝角三角形，以下是同学们作出的边上的高，其中作法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：BC边上的高是经过点A作BC的垂线，点A到垂足D的线段AD．
故答案为：D．
【分析】根据作高的方法对每个选项一一判断即可。
3．（2022七下·南山期末）长度为3，7，的三条线段构成三角形，则的值可能是（ ）
A．3 B．4 C．8 D．12
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：7 3＜x＜7＋3，
即4＜x＜10，
只有选项C符合题意，
故答案为：C．
【分析】根据三角形三边的关系求解即可。
4．（2022七下·福州期末）如图表示的是三角形的分类，则正确的表示是（ ）
A．M表示三边均不相等的三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形
B．M表示三边均不相等的三角形，N表示等边三角形，P表示等腰三角形
C．M表示等腰三角形，N表示等边三角形，P表示三边均不相等的三角形
D．M表示等边三角形，N表示等腰三角形，P表示三边均不相等的三角形
【答案】B
【知识点】三角形相关概念
【解析】【解答】解：根据三角形的分类，三角形可以分为三边都不相等的三角形和等腰三角形，等腰三角形分为底边和腰不相等的三角形和等边三角形.
故答案为：B.
【分析】三角形按边分为：三边不相等的三角形与等腰三角形，而等腰三角形又可分为底和腰不相等的三角形和等边三角形，据此判断.
5．（2022七下·兰州期末）将一副三角板按如图所示放置，则下列结论：
①∠1=∠3；
②如果∠2=30°，则有AC∥DE；
③如果∠2=30°，则有BC∥AD；
④如果∠2=30°，必有∠4=∠C．其中正确的有（ ）
A．①③ B．①②④ C．③④ D．①②③④
【答案】B
【知识点】平行线的判定；平行线的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵∠CAB=∠EAD=90°，
∴∠1=∠CAB-∠2，∠3=∠EAD-∠2，
∴∠1=∠3． ∴①符合题意．
∵∠2=30°，
∴∠1=90°-30°=60°，
∵∠E=60°，
∴∠1=∠E，
∴． ∴②符合题意．
∵∠2=30°，
∴∠3=90°-30°=60°，
∵∠B=45°，
∴BC不平行于AD．
∴③不符合题意．
由②得．
∴∠4=∠C． ∴④符合题意．
故答案为：B．
【分析】①由同角的余角相等可得∠1=∠3；
②由角的构成∠2+∠1=90°可求得∠1=60°=∠E，根据平行线的性质“内错角相等两直线平行”可得AC∥DE；
③同理可得∠3=60°，而∠B=45°，于是可得BC不平行于AD；
④结合②的结论可得∠4=∠C.
6．（2022七下·商河期末）在△ABC中，，则△ABC的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．形状无法确定
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形相关概念
【解析】【解答】解：∵∠A=∠B=2∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴2∠C+2∠C+∠C=180°，
∴∠C=36°，
∴∠A=∠B=2∠C=72°，
∴△ABC为锐角三角形，
故答案为：A．
【分析】先利用三角形的内角和及求出三个内角的度数，再判断即可。
7．（2022七下·镇巴期末）为估计池塘两岸间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点，测得，那么之间的距离不可能是（ ）
A．5m B．15m C．20m D．30m
【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：由题意得：OA-OB
即4∴30不符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据三角形三边的关系求出AB的范围，然后判断即可.
8．（2022七下·华州期末）在中，如果，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∠C=180°-（∠A+∠B）
=180°-105°
=75°.
故答案为：C.
【分析】根据三角形内角和定理列式计算，即可解答.
9．（2022七下·乐亭期末）如图，点D为的角平分线AE延长线上的一点，过点D作于点F，若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠BAC＝180° ∠B ∠C＝180° 50° 80°＝50°，
∵AD是角平分线，
∴∠BAE＝∠BAC＝25°，
在△ABE中，∠AEB＝180° ∠B ∠BAE＝75°，
∴∠AEB＝∠DEF＝75°，
∵DF⊥BC，
∴∠DFE＝90°，
∴∠D＝180° ∠DFE ∠DEF
＝180° 90° 75°
＝15°
故答案为：C．
【分析】先利用三角形的内角和及角平分线的定义求出∠BAE＝∠BAC＝25°，再利用三角形的内角和求出∠D＝180° ∠DFE ∠DEF＝15°即可。
10．（2022七下·巴中期末）如图：已知，BD、CD、BE分别平分的内角、外角、外角，其中点D、C、E在同一条直线上，以下结论：错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；对顶角及其性质；邻补角；角平分线的定义
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠
∴∠
∵是∠ABC的平分线，CD是∠ACP的平分线，BE是∠MBC的平分线，
∴∠
∠
∠
∴∠
∵D、C、E在同一条直线上，
∴∠，
∵∠
∴∠
∵∠，
∴∠，
∴∠
∴选项A，B，D正确，选项C错误.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件结合邻补角的性质可得∠MBP=∠ACP=130°，根据角平分线的概念可得∠DCP=∠ACP=65°，∠DBC=∠ABC=25°，∠EBC=∠MBC=65°，根据角的和差关系可得∠EBD=∠EBC+∠DBC=90°，由对顶角的性质可得∠BCE=∠DCP=65°，结合内角和定理可得∠E=50°，则∠BDE=40°，据此判断.
二、填空题（每题3分， 共27分）
11．（2022七下·乐亭期末）在中，若，，则是 三角形．（填“锐角”、“直角”、或“钝角”）
【答案】直角
【知识点】三角形内角和定理；三角形相关概念
【解析】【解答】解：∵，
∴，
设，则，根据题意得：
，
解得：，
则，
∴是直角三角形．
故答案为：直角．
【分析】先利用三角形的内角和及求出三角形的三个内角，再判断即可。
12．（2022七下·江源期末）在中，，，则 °， °．
【答案】52；38
【知识点】角的运算；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：在中，，
∴∠B+∠C=90°，
∴∠B=90°-∠C，
∵，
∴90°-∠C-∠C=14°，
解得∠C=38°，
∴∠B=52°，
故答案为：52，38．
【分析】先求出∠B=90°-∠C，再求出∠C=38°，最后计算求解即可。
13．（2022七下·东港期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，若∠B=70°，∠C=40°，则∠DAE的度数为 ．
【答案】15°
【知识点】角的运算；三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：∵∠B=70°，∠C=40°，
∴∠BAC=70°，
∵AD是BC边上的高，
∴∠CAD=50°，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠CAE=∠BAC=35°，
∴∠DAE=∠CAD-∠CAE=15°．
故答案为：15°．
【分析】先求出∠CAD=50°，∠CAE=∠BAC=35°，再利用角的运算可得∠DAE=∠CAD-∠CAE=15°。
14．（2022七下·建平期末）三角形的两边长分别为2cm，5cm，第三边的长xcm也是整数，则当三角形的周长取最大值时，x的值是 ．
【答案】6
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：根据三角形的三边关系，得，即，
因为第三边x是整数，
所以第三边的值可能是4，5，6．
又要求周长最大，则第三边x=6，
故答案为：6．
【分析】利用三角形三边的关系可得，求出，再根据第三边x是整数，可得答案。
15．（2022七下·祥符期末）如图，若，且于点C，若，则的度数为 .
【答案】60°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵，
∴∠DAB+∠ABE=180°，
∵∠C=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
∴∠DAC+∠CBE=90°，
∵∠CBE=30°，
∴∠CAD=60°.
故答案为：60°
【分析】由平行线的性质可得∠DAB+∠ABE=180°，由三角形内角和可求出∠DAC+∠CBE=180°-∠C=90°，即得∠DAC+∠CBE=90°，从而求解.
16．（2022七下·秦淮期末）如图，在中，，M是射线上的一个动点，过点M作交射线于点N，连接，若中有两个角相等，则的度数可能是 .
【答案】25°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；邻补角
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵
∴
∴只能是，
∴，
∴.
故答案为：25°.
【分析】根据平行线的性质可得∠AMN=∠ABC=50°，∠MNB=∠NBC，根据邻补角的性质可得∠NMB=180°-∠AMN=130°，根据内角和定理可得∠MNB+∠MBN=50°，据此求解.
17．（2022七下·南京期末）已知 AD、AE 分别是△ABC 的高和中线，若 BD＝2，CD＝1，则DE的长为 ．
【答案】0.5或1.5
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；线段的计算
【解析】【解答】解：①如图，当点D在BC之间时，
∵BC=BD+CD=3，
∵AE是△ABC的中线，
∴BE=CE=BC=1.5，
∴DE=BD-BE=2-1.5=0.5；
②如图，当点D在BC的延长线上时，
∵BC=BD-CD=2-1=1，
∴BE=CE=BC=0.5，
这时DE=CD+CE=1+0.5=1.5；
综上所述，DE的长为0.5或1.5.
故答案为：0.5或1.5.
【分析】分两种情况讨论，即①当点D在BC之间时，②当点D在BC的延长线上时，先根据线段的和差求出BC，再根据中线的定义求出CE，然后根据线段的和差求DE长即可.
18．（2022七下·长春期末）如图，AD是△ABC的中线，若AB＝16，AC＝10，则△ABD的周长与△ACD的周长的差为 ．
【答案】6
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
∵AB=16，AC=10，
∴△ABD的周长和△ACD的周长差为：
AB+AD+DB-（AD+CD+AC）
=AB+AD+DB-AD-CD-AC
=AB-AC
=16-10
=6．
故答案为：6
【分析】根据三角形中线的性质可得BD=CD，再根据三角形周长的定义求出△ABD的周长和△ACD的周长差。
三、解答题（共8题，共63分）
19．（2022七下·泾阳期末）如图，已知△ABC，请利用尺规作图法在AC上求作一点P，使得BP平分∠ABC．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】解：如图，点P即为所求.
【知识点】作图-角的平分线
【解析】【分析】以B为圆心，以任意长为半径画弧分别交AB与BC点E和点F，再以E、F为圆心，以大于EF的一半长为半径分别画弧，交于一点M，连接BM，交AC于点P，即可解答.
20．（2022七下·建平期末）如图，在△ABC中，AD为∠BAC的角平分线，FE垂直平分AD，垂足为E，EF交BC的延长线于点F，若∠CAF＝50°，求∠B的度数．
【答案】解：∵FE垂直平分AD
∴FA=FD
∴∠FAD=∠FDA
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠CAD
在△ABD中，∠B+∠BAD+∠BDA=180°
∠BDA+∠FDA=180°
∴∠B+∠BAD=∠FDA
∴∠B+∠BAD=∠FAD
∴∠B+∠BAD=∠CAF+∠CAD
∴∠B=∠CAF
∵∠CAF=50°
∴∠B=50°
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【分析】利用角平分线的定义可得∠BAD=∠CAD，再利用三角的内角和及角的运算求出∠B=∠CAF，再结合∠CAF=50°，即可得到∠B=50°。
21．（2022七下·资阳期末）已知a、b、c为△ABC的三边长；
①b、c满足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a为方程|a﹣4|＝2的解，求出该三角形的周长，并判断△ABC的形状．
②若a＝5，b＝2，且c为整数，求△ABC的周长的最大值和最小值．
【答案】解：①∵（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，
∴b﹣2＝0，c﹣3＝0，
解得：b＝2，c＝3，
∵a为方程|a﹣4|＝2的解，
∴a﹣4＝±2，
解得：a＝6或2，
∵a、b、c为△ABC的三边长，b+c＜6，
∴a＝6不合题意舍去，
∴a＝2，
∴△ABC的周长为：2+2+3＝7，
∴△ABC是等腰三角形．
②∵a＝5，b＝2，c为整数，
∴5﹣2＜c＜2+5，
∴c的最小值为4，c的最大值为6，
∴△ABC的周长的最大值＝5+2+6＝13，最小值＝5+2+4＝11．
【知识点】三角形三边关系；偶次幂的非负性；绝对值的非负性
【解析】【分析】（1）利用绝对值的性质（任何有理数的绝对值都是大于或等于0的数，这是绝对值的非负性）以及偶次方的性质（非负性）得出b和c的值，进而利用三角形三边关系（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）及方程解的定义确定a的值，最后求出该三角形的周长，并判断△ABC的形状；
（2）利用三角形三边关系（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）列不等式，得出c的取值范围，确定c的最大值和最小值，进而求出△ABC的周长的最大值和最小值 .
22．（2022七下·通州期末）如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB=2∠A，BD是边AC上的高．
（1）依题意补全图形；
（2）求∠DBC的度数．
【答案】（1）解：如图，为边上的高
（2）解：在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°
∵∠ABC=∠ACB=2∠A
∴5∠A=180°
∴ ∠A=36°
∴ ∠ABC=∠ACB=72°
在△BCD中，∵BD⊥AC
∴∠BDC=90°
∴ ∠ACB+∠DBC=90°
∵∠ACB=72°
∴∠DBC=18°
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；直角三角形的性质
【解析】【分析】（1）用直尺作出BD⊥AC于点D，则线段BD就是AC边上的高即可；
（2）根据三角形内角和定理，结合∠ABC=∠ACB=2∠A ，求出∠A的度数，从而求出∠ABC和∠ACB的度数，然后根据直角三角形的两锐角互余求∠DBC的度数即可.
23．（2019七下·丹阳月考）已知 为三角形三边的长， 化简： .
【答案】解：∵a、b、c为三角形三边的长，
∴a+b＞c，a+c＞b，
∴原式=
=a+b-c-b+c+a+c-a-b
= .
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；三角形三边关系
【解析】【分析】根据三角形的三边关系得出a+b＞c，a+c＞b，再去绝对值符号，合并同类项即可.
24．（2017七下·扬州月考）如图，△ABC中，∠A=30°，∠B=70°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，求∠CDF的度数．
【答案】解：∵∠A=30°，∠B=70°，
∴∠ACB=180°﹣∠A﹣∠B=80°．
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE= ∠ACB=40°．
∵CD⊥AB于D，
∴∠CDA=90°，
∠ACD=180°﹣∠A﹣∠CDA=60°．
∴∠ECD=∠ACD﹣∠ACE=20°．
∵DF⊥CE，
∴∠CFD=90°，
∴∠CDF=180°﹣∠CFD﹣∠ECD=70°
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【分析】首先根据三角形的内角和定理求得∠ACB的度数，以及∠BCD的度数，根据角的平分线的定义求得∠BCE的度数，则∠ECD可以求解，然后在△CDF中，利用内角和定理即可求得∠CDF的度数．
25．（2022七下·台江期末）如图，在中，已知，和的平分线相交于点．
（1）求的度数；
（2）试比较与的大小，写出推理过程．
【答案】（1）解：∵∠BAC=70°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-70°=110°，
∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，
∴∠ABD=∠CBD=∠ABC，∠ACD=∠BCD=∠ACB ，
∴∠CBD+∠BCD= （∠ABC+∠ACB） ==55°，
∴∠BDC=180°- （∠CBD+ ∠BCD）=180°- 55°=125°；
（2）解：DA+DB+DC> （AB+BC+AC） ，理由如下：
在△ABD中，由三角形的三边关系得： DA+DB>AB①，
同理∶ DB+DC> BC②，DA+DC> AC③，
+②+③得∶ 2 （DA+DB+DC） >AB+BC+AC，
∴DA+DB+DC> （AB+BC+AC） ．
【知识点】三角形三边关系；三角形内角和定理
【解析】【分析】（1）由三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°-70°=110°，根据角平分线定义得∠ABD=∠CBD=∠ABC，∠ACD=∠BCD=∠ACB，于是∠CBD+∠BCD=（∠ABC+∠ACB），然后在三角形BCD中，用三角形内角和定理可求解；
（2）分别在三角形ABD、三角形ACD、三角形BCD中，由三角形三边关系定理“三角形任意两边之和大于第三边”可得 DA+DB>AB，DC+DB>BC，DA+DC>AC，将三个不等式相加即可求解.
26．（2022七下·崇川期末）定义：如果三角形的两个内角α与β满足α＋2β＝100°，那么我们称这样的三角形为“奇妙三角形”．
（1）如图1，中，∠ACB＝80°，BD平分∠ABC．求证：为“奇妙三角形”；
（2）若为“奇妙三角形”，且∠C＝80°．求证：是直角三角形；
（3）如图2，中，BD平分∠ABC，若为“奇妙三角形”，且∠A＝40°，直接写出∠C的度数．
【答案】（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABD．
∵∠ACB＝80°，
∴∠A＋∠ABC＝100°．
∴∠A＋2∠ABD＝100°．
∴为“奇妙三角形”．
（2）证明：∵∠C＝80°，
∴∠A＋∠ABC＝100°，
∵为“奇妙三角形”，
∴只能∠C＋2∠ABC＝100°（∠C＋2∠A＝100°）．
∴∠ABC＝10°（∠A＝10°）．
∴∠C＋∠ABC＝90°（∠C＋∠A＝90°），
∴是直角三角形．
（3）解：∵∠A＝40°，
∴∠C＋∠ABC＝140°，
BD平分∠ABC，
为“奇妙三角形”，则只有以下两种情形，
①若
②若
综上所述，∠C的度数为：80°或100°．
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得出∠ABC=2∠ABD，由∠ACB=80°，根据三角形内角和定理得到∠A+∠ABC=100°，则可得出∠A＋2∠ABD＝100°，结合新定义，即可得出结论；
（2）根据三角形内角和定理求出 ∠A＋∠ABC＝100°， 根据新定义得出只能∠C＋2∠ABC＝100°（∠C＋2∠A＝100°） ，则得出∠ABC=10° (∠A=10°) ，从而得出∠C+∠ABC=90° (∠C+∠A=90°)，即可得证；
（3）分两种情况讨论， 即①若， ②若 ，利用（2）的方法分别求解，即可解答.
1 / 1初中数学同步训练必刷题（北师大版七年级下册4.1 认识三角形）
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022七下·宝安期末）某兴趣小组想用3根木棍组成一个三角形，3根木棍的长度不可能是（ ）
A．2，3，4 B．3，4，5 C．2，5，7 D．4，7，7
2．（2022七下·长治期末）如图，是钝角三角形，以下是同学们作出的边上的高，其中作法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2022七下·南山期末）长度为3，7，的三条线段构成三角形，则的值可能是（ ）
A．3 B．4 C．8 D．12
4．（2022七下·福州期末）如图表示的是三角形的分类，则正确的表示是（ ）
A．M表示三边均不相等的三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形
B．M表示三边均不相等的三角形，N表示等边三角形，P表示等腰三角形
C．M表示等腰三角形，N表示等边三角形，P表示三边均不相等的三角形
D．M表示等边三角形，N表示等腰三角形，P表示三边均不相等的三角形
5．（2022七下·兰州期末）将一副三角板按如图所示放置，则下列结论：
①∠1=∠3；
②如果∠2=30°，则有AC∥DE；
③如果∠2=30°，则有BC∥AD；
④如果∠2=30°，必有∠4=∠C．其中正确的有（ ）
A．①③ B．①②④ C．③④ D．①②③④
6．（2022七下·商河期末）在△ABC中，，则△ABC的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．形状无法确定
7．（2022七下·镇巴期末）为估计池塘两岸间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点，测得，那么之间的距离不可能是（ ）
A．5m B．15m C．20m D．30m
8．（2022七下·华州期末）在中，如果，那么等于（ ）
A． B． C． D．
9．（2022七下·乐亭期末）如图，点D为的角平分线AE延长线上的一点，过点D作于点F，若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022七下·巴中期末）如图：已知，BD、CD、BE分别平分的内角、外角、外角，其中点D、C、E在同一条直线上，以下结论：错误的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分， 共27分）
11．（2022七下·乐亭期末）在中，若，，则是 三角形．（填“锐角”、“直角”、或“钝角”）
12．（2022七下·江源期末）在中，，，则 °， °．
13．（2022七下·东港期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，若∠B=70°，∠C=40°，则∠DAE的度数为 ．
14．（2022七下·建平期末）三角形的两边长分别为2cm，5cm，第三边的长xcm也是整数，则当三角形的周长取最大值时，x的值是 ．
15．（2022七下·祥符期末）如图，若，且于点C，若，则的度数为 .
16．（2022七下·秦淮期末）如图，在中，，M是射线上的一个动点，过点M作交射线于点N，连接，若中有两个角相等，则的度数可能是 .
17．（2022七下·南京期末）已知 AD、AE 分别是△ABC 的高和中线，若 BD＝2，CD＝1，则DE的长为 ．
18．（2022七下·长春期末）如图，AD是△ABC的中线，若AB＝16，AC＝10，则△ABD的周长与△ACD的周长的差为 ．
三、解答题（共8题，共63分）
19．（2022七下·泾阳期末）如图，已知△ABC，请利用尺规作图法在AC上求作一点P，使得BP平分∠ABC．（保留作图痕迹，不写作法）
20．（2022七下·建平期末）如图，在△ABC中，AD为∠BAC的角平分线，FE垂直平分AD，垂足为E，EF交BC的延长线于点F，若∠CAF＝50°，求∠B的度数．
21．（2022七下·资阳期末）已知a、b、c为△ABC的三边长；
①b、c满足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a为方程|a﹣4|＝2的解，求出该三角形的周长，并判断△ABC的形状．
②若a＝5，b＝2，且c为整数，求△ABC的周长的最大值和最小值．
22．（2022七下·通州期末）如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB=2∠A，BD是边AC上的高．
（1）依题意补全图形；
（2）求∠DBC的度数．
23．（2019七下·丹阳月考）已知 为三角形三边的长， 化简： .
24．（2017七下·扬州月考）如图，△ABC中，∠A=30°，∠B=70°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，求∠CDF的度数．
25．（2022七下·台江期末）如图，在中，已知，和的平分线相交于点．
（1）求的度数；
（2）试比较与的大小，写出推理过程．
26．（2022七下·崇川期末）定义：如果三角形的两个内角α与β满足α＋2β＝100°，那么我们称这样的三角形为“奇妙三角形”．
（1）如图1，中，∠ACB＝80°，BD平分∠ABC．求证：为“奇妙三角形”；
（2）若为“奇妙三角形”，且∠C＝80°．求证：是直角三角形；
（3）如图2，中，BD平分∠ABC，若为“奇妙三角形”，且∠A＝40°，直接写出∠C的度数．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、，能够成三角形，故本选项不符合题意；
B、，能够成三角形，故本选项不符合题意；
C、，不能够成三角形，故本选项符合题意；
D、，能够成三角形，故本选项不符合题意；
故答案为：C
【分析】利用三角形三边的关系逐项判断即可。
2．【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：BC边上的高是经过点A作BC的垂线，点A到垂足D的线段AD．
故答案为：D．
【分析】根据作高的方法对每个选项一一判断即可。
3．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：7 3＜x＜7＋3，
即4＜x＜10，
只有选项C符合题意，
故答案为：C．
【分析】根据三角形三边的关系求解即可。
4．【答案】B
【知识点】三角形相关概念
【解析】【解答】解：根据三角形的分类，三角形可以分为三边都不相等的三角形和等腰三角形，等腰三角形分为底边和腰不相等的三角形和等边三角形.
故答案为：B.
【分析】三角形按边分为：三边不相等的三角形与等腰三角形，而等腰三角形又可分为底和腰不相等的三角形和等边三角形，据此判断.
5．【答案】B
【知识点】平行线的判定；平行线的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵∠CAB=∠EAD=90°，
∴∠1=∠CAB-∠2，∠3=∠EAD-∠2，
∴∠1=∠3． ∴①符合题意．
∵∠2=30°，
∴∠1=90°-30°=60°，
∵∠E=60°，
∴∠1=∠E，
∴． ∴②符合题意．
∵∠2=30°，
∴∠3=90°-30°=60°，
∵∠B=45°，
∴BC不平行于AD．
∴③不符合题意．
由②得．
∴∠4=∠C． ∴④符合题意．
故答案为：B．
【分析】①由同角的余角相等可得∠1=∠3；
②由角的构成∠2+∠1=90°可求得∠1=60°=∠E，根据平行线的性质“内错角相等两直线平行”可得AC∥DE；
③同理可得∠3=60°，而∠B=45°，于是可得BC不平行于AD；
④结合②的结论可得∠4=∠C.
6．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形相关概念
【解析】【解答】解：∵∠A=∠B=2∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴2∠C+2∠C+∠C=180°，
∴∠C=36°，
∴∠A=∠B=2∠C=72°，
∴△ABC为锐角三角形，
故答案为：A．
【分析】先利用三角形的内角和及求出三个内角的度数，再判断即可。
7．【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：由题意得：OA-OB即4∴30不符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据三角形三边的关系求出AB的范围，然后判断即可.
8．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∠C=180°-（∠A+∠B）
=180°-105°
=75°.
故答案为：C.
【分析】根据三角形内角和定理列式计算，即可解答.
9．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠BAC＝180° ∠B ∠C＝180° 50° 80°＝50°，
∵AD是角平分线，
∴∠BAE＝∠BAC＝25°，
在△ABE中，∠AEB＝180° ∠B ∠BAE＝75°，
∴∠AEB＝∠DEF＝75°，
∵DF⊥BC，
∴∠DFE＝90°，
∴∠D＝180° ∠DFE ∠DEF
＝180° 90° 75°
＝15°
故答案为：C．
【分析】先利用三角形的内角和及角平分线的定义求出∠BAE＝∠BAC＝25°，再利用三角形的内角和求出∠D＝180° ∠DFE ∠DEF＝15°即可。
10．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；对顶角及其性质；邻补角；角平分线的定义
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠
∴∠
∵是∠ABC的平分线，CD是∠ACP的平分线，BE是∠MBC的平分线，
∴∠
∠
∠
∴∠
∵D、C、E在同一条直线上，
∴∠，
∵∠
∴∠
∵∠，
∴∠，
∴∠
∴选项A，B，D正确，选项C错误.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件结合邻补角的性质可得∠MBP=∠ACP=130°，根据角平分线的概念可得∠DCP=∠ACP=65°，∠DBC=∠ABC=25°，∠EBC=∠MBC=65°，根据角的和差关系可得∠EBD=∠EBC+∠DBC=90°，由对顶角的性质可得∠BCE=∠DCP=65°，结合内角和定理可得∠E=50°，则∠BDE=40°，据此判断.
11．【答案】直角
【知识点】三角形内角和定理；三角形相关概念
【解析】【解答】解：∵，
∴，
设，则，根据题意得：
，
解得：，
则，
∴是直角三角形．
故答案为：直角．
【分析】先利用三角形的内角和及求出三角形的三个内角，再判断即可。
12．【答案】52；38
【知识点】角的运算；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：在中，，
∴∠B+∠C=90°，
∴∠B=90°-∠C，
∵，
∴90°-∠C-∠C=14°，
解得∠C=38°，
∴∠B=52°，
故答案为：52，38．
【分析】先求出∠B=90°-∠C，再求出∠C=38°，最后计算求解即可。
13．【答案】15°
【知识点】角的运算；三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：∵∠B=70°，∠C=40°，
∴∠BAC=70°，
∵AD是BC边上的高，
∴∠CAD=50°，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠CAE=∠BAC=35°，
∴∠DAE=∠CAD-∠CAE=15°．
故答案为：15°．
【分析】先求出∠CAD=50°，∠CAE=∠BAC=35°，再利用角的运算可得∠DAE=∠CAD-∠CAE=15°。
14．【答案】6
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：根据三角形的三边关系，得，即，
因为第三边x是整数，
所以第三边的值可能是4，5，6．
又要求周长最大，则第三边x=6，
故答案为：6．
【分析】利用三角形三边的关系可得，求出，再根据第三边x是整数，可得答案。
15．【答案】60°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵，
∴∠DAB+∠ABE=180°，
∵∠C=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
∴∠DAC+∠CBE=90°，
∵∠CBE=30°，
∴∠CAD=60°.
故答案为：60°
【分析】由平行线的性质可得∠DAB+∠ABE=180°，由三角形内角和可求出∠DAC+∠CBE=180°-∠C=90°，即得∠DAC+∠CBE=90°，从而求解.
16．【答案】25°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；邻补角
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵
∴
∴只能是，
∴，
∴.
故答案为：25°.
【分析】根据平行线的性质可得∠AMN=∠ABC=50°，∠MNB=∠NBC，根据邻补角的性质可得∠NMB=180°-∠AMN=130°，根据内角和定理可得∠MNB+∠MBN=50°，据此求解.
17．【答案】0.5或1.5
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；线段的计算
【解析】【解答】解：①如图，当点D在BC之间时，
∵BC=BD+CD=3，
∵AE是△ABC的中线，
∴BE=CE=BC=1.5，
∴DE=BD-BE=2-1.5=0.5；
②如图，当点D在BC的延长线上时，
∵BC=BD-CD=2-1=1，
∴BE=CE=BC=0.5，
这时DE=CD+CE=1+0.5=1.5；
综上所述，DE的长为0.5或1.5.
故答案为：0.5或1.5.
【分析】分两种情况讨论，即①当点D在BC之间时，②当点D在BC的延长线上时，先根据线段的和差求出BC，再根据中线的定义求出CE，然后根据线段的和差求DE长即可.
18．【答案】6
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
∵AB=16，AC=10，
∴△ABD的周长和△ACD的周长差为：
AB+AD+DB-（AD+CD+AC）
=AB+AD+DB-AD-CD-AC
=AB-AC
=16-10
=6．
故答案为：6
【分析】根据三角形中线的性质可得BD=CD，再根据三角形周长的定义求出△ABD的周长和△ACD的周长差。
19．【答案】解：如图，点P即为所求.
【知识点】作图-角的平分线
【解析】【分析】以B为圆心，以任意长为半径画弧分别交AB与BC点E和点F，再以E、F为圆心，以大于EF的一半长为半径分别画弧，交于一点M，连接BM，交AC于点P，即可解答.
20．【答案】解：∵FE垂直平分AD
∴FA=FD
∴∠FAD=∠FDA
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠CAD
在△ABD中，∠B+∠BAD+∠BDA=180°
∠BDA+∠FDA=180°
∴∠B+∠BAD=∠FDA
∴∠B+∠BAD=∠FAD
∴∠B+∠BAD=∠CAF+∠CAD
∴∠B=∠CAF
∵∠CAF=50°
∴∠B=50°
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【分析】利用角平分线的定义可得∠BAD=∠CAD，再利用三角的内角和及角的运算求出∠B=∠CAF，再结合∠CAF=50°，即可得到∠B=50°。
21．【答案】解：①∵（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，
∴b﹣2＝0，c﹣3＝0，
解得：b＝2，c＝3，
∵a为方程|a﹣4|＝2的解，
∴a﹣4＝±2，
解得：a＝6或2，
∵a、b、c为△ABC的三边长，b+c＜6，
∴a＝6不合题意舍去，
∴a＝2，
∴△ABC的周长为：2+2+3＝7，
∴△ABC是等腰三角形．
②∵a＝5，b＝2，c为整数，
∴5﹣2＜c＜2+5，
∴c的最小值为4，c的最大值为6，
∴△ABC的周长的最大值＝5+2+6＝13，最小值＝5+2+4＝11．
【知识点】三角形三边关系；偶次幂的非负性；绝对值的非负性
【解析】【分析】（1）利用绝对值的性质（任何有理数的绝对值都是大于或等于0的数，这是绝对值的非负性）以及偶次方的性质（非负性）得出b和c的值，进而利用三角形三边关系（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）及方程解的定义确定a的值，最后求出该三角形的周长，并判断△ABC的形状；
（2）利用三角形三边关系（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）列不等式，得出c的取值范围，确定c的最大值和最小值，进而求出△ABC的周长的最大值和最小值 .
22．【答案】（1）解：如图，为边上的高
（2）解：在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°
∵∠ABC=∠ACB=2∠A
∴5∠A=180°
∴ ∠A=36°
∴ ∠ABC=∠ACB=72°
在△BCD中，∵BD⊥AC
∴∠BDC=90°
∴ ∠ACB+∠DBC=90°
∵∠ACB=72°
∴∠DBC=18°
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；直角三角形的性质
【解析】【分析】（1）用直尺作出BD⊥AC于点D，则线段BD就是AC边上的高即可；
（2）根据三角形内角和定理，结合∠ABC=∠ACB=2∠A ，求出∠A的度数，从而求出∠ABC和∠ACB的度数，然后根据直角三角形的两锐角互余求∠DBC的度数即可.
23．【答案】解：∵a、b、c为三角形三边的长，
∴a+b＞c，a+c＞b，
∴原式=
=a+b-c-b+c+a+c-a-b
= .
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；三角形三边关系
【解析】【分析】根据三角形的三边关系得出a+b＞c，a+c＞b，再去绝对值符号，合并同类项即可.
24．【答案】解：∵∠A=30°，∠B=70°，
∴∠ACB=180°﹣∠A﹣∠B=80°．
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE= ∠ACB=40°．
∵CD⊥AB于D，
∴∠CDA=90°，
∠ACD=180°﹣∠A﹣∠CDA=60°．
∴∠ECD=∠ACD﹣∠ACE=20°．
∵DF⊥CE，
∴∠CFD=90°，
∴∠CDF=180°﹣∠CFD﹣∠ECD=70°
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【分析】首先根据三角形的内角和定理求得∠ACB的度数，以及∠BCD的度数，根据角的平分线的定义求得∠BCE的度数，则∠ECD可以求解，然后在△CDF中，利用内角和定理即可求得∠CDF的度数．
25．【答案】（1）解：∵∠BAC=70°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-70°=110°，
∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，
∴∠ABD=∠CBD=∠ABC，∠ACD=∠BCD=∠ACB ，
∴∠CBD+∠BCD= （∠ABC+∠ACB） ==55°，
∴∠BDC=180°- （∠CBD+ ∠BCD）=180°- 55°=125°；
（2）解：DA+DB+DC> （AB+BC+AC） ，理由如下：
在△ABD中，由三角形的三边关系得： DA+DB>AB①，
同理∶ DB+DC> BC②，DA+DC> AC③，
+②+③得∶ 2 （DA+DB+DC） >AB+BC+AC，
∴DA+DB+DC> （AB+BC+AC） ．
【知识点】三角形三边关系；三角形内角和定理
【解析】【分析】（1）由三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°-70°=110°，根据角平分线定义得∠ABD=∠CBD=∠ABC，∠ACD=∠BCD=∠ACB，于是∠CBD+∠BCD=（∠ABC+∠ACB），然后在三角形BCD中，用三角形内角和定理可求解；
（2）分别在三角形ABD、三角形ACD、三角形BCD中，由三角形三边关系定理“三角形任意两边之和大于第三边”可得 DA+DB>AB，DC+DB>BC，DA+DC>AC，将三个不等式相加即可求解.
26．【答案】（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABD．
∵∠ACB＝80°，
∴∠A＋∠ABC＝100°．
∴∠A＋2∠ABD＝100°．
∴为“奇妙三角形”．
（2）证明：∵∠C＝80°，
∴∠A＋∠ABC＝100°，
∵为“奇妙三角形”，
∴只能∠C＋2∠ABC＝100°（∠C＋2∠A＝100°）．
∴∠ABC＝10°（∠A＝10°）．
∴∠C＋∠ABC＝90°（∠C＋∠A＝90°），
∴是直角三角形．
（3）解：∵∠A＝40°，
∴∠C＋∠ABC＝140°，
BD平分∠ABC，
为“奇妙三角形”，则只有以下两种情形，
①若
②若
综上所述，∠C的度数为：80°或100°．
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得出∠ABC=2∠ABD，由∠ACB=80°，根据三角形内角和定理得到∠A+∠ABC=100°，则可得出∠A＋2∠ABD＝100°，结合新定义，即可得出结论；
（2）根据三角形内角和定理求出 ∠A＋∠ABC＝100°， 根据新定义得出只能∠C＋2∠ABC＝100°（∠C＋2∠A＝100°） ，则得出∠ABC=10° (∠A=10°) ，从而得出∠C+∠ABC=90° (∠C+∠A=90°)，即可得证；
（3）分两种情况讨论， 即①若， ②若 ，利用（2）的方法分别求解，即可解答.
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