初中数学同步训练必刷题(北师大版七年级下册4.1 认识三角形)

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名称 初中数学同步训练必刷题(北师大版七年级下册4.1 认识三角形)
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资源类型 试卷
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科目 数学
更新时间 2023-03-18 17:43:56

文档简介

初中数学同步训练必刷题(北师大版七年级下册4.1 认识三角形)
一、单选题(每题3分,共30分)
1.(2022七下·宝安期末)某兴趣小组想用3根木棍组成一个三角形,3根木棍的长度不可能是(  )
A.2,3,4 B.3,4,5 C.2,5,7 D.4,7,7
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解:A、,能够成三角形,故本选项不符合题意;
B、,能够成三角形,故本选项不符合题意;
C、,不能够成三角形,故本选项符合题意;
D、,能够成三角形,故本选项不符合题意;
故答案为:C
【分析】利用三角形三边的关系逐项判断即可。
2.(2022七下·长治期末)如图,是钝角三角形,以下是同学们作出的边上的高,其中作法正确的是(  )
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解:BC边上的高是经过点A作BC的垂线,点A到垂足D的线段AD.
故答案为:D.
【分析】根据作高的方法对每个选项一一判断即可。
3.(2022七下·南山期末)长度为3,7,的三条线段构成三角形,则的值可能是(  )
A.3 B.4 C.8 D.12
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解:7 3<x<7+3,
即4<x<10,
只有选项C符合题意,
故答案为:C.
【分析】根据三角形三边的关系求解即可。
4.(2022七下·福州期末)如图表示的是三角形的分类,则正确的表示是(  )
A.M表示三边均不相等的三角形,N表示等腰三角形,P表示等边三角形
B.M表示三边均不相等的三角形,N表示等边三角形,P表示等腰三角形
C.M表示等腰三角形,N表示等边三角形,P表示三边均不相等的三角形
D.M表示等边三角形,N表示等腰三角形,P表示三边均不相等的三角形
【答案】B
【知识点】三角形相关概念
【解析】【解答】解:根据三角形的分类,三角形可以分为三边都不相等的三角形和等腰三角形,等腰三角形分为底边和腰不相等的三角形和等边三角形.
故答案为:B.
【分析】三角形按边分为:三边不相等的三角形与等腰三角形,而等腰三角形又可分为底和腰不相等的三角形和等边三角形,据此判断.
5.(2022七下·兰州期末)将一副三角板按如图所示放置,则下列结论:
①∠1=∠3;
②如果∠2=30°,则有AC∥DE;
③如果∠2=30°,则有BC∥AD;
④如果∠2=30°,必有∠4=∠C.其中正确的有(  )
A.①③ B.①②④ C.③④ D.①②③④
【答案】B
【知识点】平行线的判定;平行线的性质;直角三角形的性质
【解析】【解答】解:∵∠CAB=∠EAD=90°,
∴∠1=∠CAB-∠2,∠3=∠EAD-∠2,
∴∠1=∠3. ∴①符合题意.
∵∠2=30°,
∴∠1=90°-30°=60°,
∵∠E=60°,
∴∠1=∠E,
∴. ∴②符合题意.
∵∠2=30°,
∴∠3=90°-30°=60°,
∵∠B=45°,
∴BC不平行于AD.
∴③不符合题意.
由②得.
∴∠4=∠C. ∴④符合题意.
故答案为:B.
【分析】①由同角的余角相等可得∠1=∠3;
②由角的构成∠2+∠1=90°可求得∠1=60°=∠E,根据平行线的性质“内错角相等两直线平行”可得AC∥DE;
③同理可得∠3=60°,而∠B=45°,于是可得BC不平行于AD;
④结合②的结论可得∠4=∠C.
6.(2022七下·商河期末)在△ABC中,,则△ABC的形状是(  )
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.形状无法确定
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理;三角形相关概念
【解析】【解答】解:∵∠A=∠B=2∠C,∠A+∠B+∠C=180°,
∴2∠C+2∠C+∠C=180°,
∴∠C=36°,
∴∠A=∠B=2∠C=72°,
∴△ABC为锐角三角形,
故答案为:A.
【分析】先利用三角形的内角和及求出三个内角的度数,再判断即可。
7.(2022七下·镇巴期末)为估计池塘两岸间的距离,如图,小明在池塘一侧选取了一点,测得,那么之间的距离不可能是(  )
A.5m B.15m C.20m D.30m
【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解:由题意得:OA-OB即4∴30不符合题意.
故答案为:D.
【分析】根据三角形三边的关系求出AB的范围,然后判断即可.
8.(2022七下·华州期末)在中,如果,那么等于(  )
A. B. C. D.
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解:∠C=180°-(∠A+∠B)
=180°-105°
=75°.
故答案为:C.
【分析】根据三角形内角和定理列式计算,即可解答.
9.(2022七下·乐亭期末)如图,点D为的角平分线AE延长线上的一点,过点D作于点F,若,,则的度数是(  )
A. B. C. D.
【答案】C
【知识点】平行线的性质;三角形内角和定理;角平分线的定义
【解析】【解答】解:在△ABC中,∠BAC=180° ∠B ∠C=180° 50° 80°=50°,
∵AD是角平分线,
∴∠BAE=∠BAC=25°,
在△ABE中,∠AEB=180° ∠B ∠BAE=75°,
∴∠AEB=∠DEF=75°,
∵DF⊥BC,
∴∠DFE=90°,
∴∠D=180° ∠DFE ∠DEF
=180° 90° 75°
=15°
故答案为:C.
【分析】先利用三角形的内角和及角平分线的定义求出∠BAE=∠BAC=25°,再利用三角形的内角和求出∠D=180° ∠DFE ∠DEF=15°即可。
10.(2022七下·巴中期末)如图:已知,BD、CD、BE分别平分的内角、外角、外角,其中点D、C、E在同一条直线上,以下结论:错误的是(  )
A. B. C. D.
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理;对顶角及其性质;邻补角;角平分线的定义
【解析】【解答】解:在△ABC中,∠
∴∠
∵是∠ABC的平分线,CD是∠ACP的平分线,BE是∠MBC的平分线,
∴∠


∴∠
∵D、C、E在同一条直线上,
∴∠,
∵∠
∴∠
∵∠,
∴∠,
∴∠
∴选项A,B,D正确,选项C错误.
故答案为:C.
【分析】根据已知条件结合邻补角的性质可得∠MBP=∠ACP=130°,根据角平分线的概念可得∠DCP=∠ACP=65°,∠DBC=∠ABC=25°,∠EBC=∠MBC=65°,根据角的和差关系可得∠EBD=∠EBC+∠DBC=90°,由对顶角的性质可得∠BCE=∠DCP=65°,结合内角和定理可得∠E=50°,则∠BDE=40°,据此判断.
二、填空题(每题3分, 共27分)
11.(2022七下·乐亭期末)在中,若,,则是   三角形.(填“锐角”、“直角”、或“钝角”)
【答案】直角
【知识点】三角形内角和定理;三角形相关概念
【解析】【解答】解:∵,
∴,
设,则,根据题意得:

解得:,
则,
∴是直角三角形.
故答案为:直角.
【分析】先利用三角形的内角和及求出三角形的三个内角,再判断即可。
12.(2022七下·江源期末)在中,,,则   °,   °.
【答案】52;38
【知识点】角的运算;三角形内角和定理
【解析】【解答】解:在中,,
∴∠B+∠C=90°,
∴∠B=90°-∠C,
∵,
∴90°-∠C-∠C=14°,
解得∠C=38°,
∴∠B=52°,
故答案为:52,38.
【分析】先求出∠B=90°-∠C,再求出∠C=38°,最后计算求解即可。
13.(2022七下·东港期末)如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,AE是∠BAC的平分线,若∠B=70°,∠C=40°,则∠DAE的度数为   .
【答案】15°
【知识点】角的运算;三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解:∵∠B=70°,∠C=40°,
∴∠BAC=70°,
∵AD是BC边上的高,
∴∠CAD=50°,
∵AE是∠BAC的平分线,
∴∠CAE=∠BAC=35°,
∴∠DAE=∠CAD-∠CAE=15°.
故答案为:15°.
【分析】先求出∠CAD=50°,∠CAE=∠BAC=35°,再利用角的运算可得∠DAE=∠CAD-∠CAE=15°。
14.(2022七下·建平期末)三角形的两边长分别为2cm,5cm,第三边的长xcm也是整数,则当三角形的周长取最大值时,x的值是    .
【答案】6
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解:根据三角形的三边关系,得,即,
因为第三边x是整数,
所以第三边的值可能是4,5,6.
又要求周长最大,则第三边x=6,
故答案为:6.
【分析】利用三角形三边的关系可得,求出,再根据第三边x是整数,可得答案。
15.(2022七下·祥符期末)如图,若,且于点C,若,则的度数为   .
【答案】60°
【知识点】平行线的性质;三角形内角和定理
【解析】【解答】解:∵,
∴∠DAB+∠ABE=180°,
∵∠C=90°,
∴∠CAB+∠CBA=90°,
∴∠DAC+∠CBE=90°,
∵∠CBE=30°,
∴∠CAD=60°.
故答案为:60°
【分析】由平行线的性质可得∠DAB+∠ABE=180°,由三角形内角和可求出∠DAC+∠CBE=180°-∠C=90°,即得∠DAC+∠CBE=90°,从而求解.
16.(2022七下·秦淮期末)如图,在中,,M是射线上的一个动点,过点M作交射线于点N,连接,若中有两个角相等,则的度数可能是   .
【答案】25°
【知识点】平行线的性质;三角形内角和定理;邻补角
【解析】【解答】解:∵,,
∴,


∴只能是,
∴,
∴.
故答案为:25°.
【分析】根据平行线的性质可得∠AMN=∠ABC=50°,∠MNB=∠NBC,根据邻补角的性质可得∠NMB=180°-∠AMN=130°,根据内角和定理可得∠MNB+∠MBN=50°,据此求解.
17.(2022七下·南京期末)已知 AD、AE 分别是△ABC 的高和中线,若 BD=2,CD=1,则DE的长为   .
【答案】0.5或1.5
【知识点】三角形的角平分线、中线和高;线段的计算
【解析】【解答】解:①如图,当点D在BC之间时,
∵BC=BD+CD=3,
∵AE是△ABC的中线,
∴BE=CE=BC=1.5,
∴DE=BD-BE=2-1.5=0.5;
②如图,当点D在BC的延长线上时,
∵BC=BD-CD=2-1=1,
∴BE=CE=BC=0.5,
这时DE=CD+CE=1+0.5=1.5;
综上所述,DE的长为0.5或1.5.
故答案为:0.5或1.5.
【分析】分两种情况讨论,即①当点D在BC之间时,②当点D在BC的延长线上时,先根据线段的和差求出BC,再根据中线的定义求出CE,然后根据线段的和差求DE长即可.
18.(2022七下·长春期末)如图,AD是△ABC的中线,若AB=16,AC=10,则△ABD的周长与△ACD的周长的差为   .
【答案】6
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解:∵AD是△ABC的中线,
∴BD=CD,
∵AB=16,AC=10,
∴△ABD的周长和△ACD的周长差为:
AB+AD+DB-(AD+CD+AC)
=AB+AD+DB-AD-CD-AC
=AB-AC
=16-10
=6.
故答案为:6
【分析】根据三角形中线的性质可得BD=CD,再根据三角形周长的定义求出△ABD的周长和△ACD的周长差。
三、解答题(共8题,共63分)
19.(2022七下·泾阳期末)如图,已知△ABC,请利用尺规作图法在AC上求作一点P,使得BP平分∠ABC.(保留作图痕迹,不写作法)
【答案】解:如图,点P即为所求.
【知识点】作图-角的平分线
【解析】【分析】以B为圆心,以任意长为半径画弧分别交AB与BC点E和点F,再以E、F为圆心,以大于EF的一半长为半径分别画弧,交于一点M,连接BM,交AC于点P,即可解答.
20.(2022七下·建平期末)如图,在△ABC中,AD为∠BAC的角平分线,FE垂直平分AD,垂足为E,EF交BC的延长线于点F,若∠CAF=50°,求∠B的度数.
【答案】解:∵FE垂直平分AD
∴FA=FD
∴∠FAD=∠FDA
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠CAD
在△ABD中,∠B+∠BAD+∠BDA=180°
∠BDA+∠FDA=180°
∴∠B+∠BAD=∠FDA
∴∠B+∠BAD=∠FAD
∴∠B+∠BAD=∠CAF+∠CAD
∴∠B=∠CAF
∵∠CAF=50°
∴∠B=50°
【知识点】三角形的角平分线、中线和高;三角形内角和定理
【解析】【分析】利用角平分线的定义可得∠BAD=∠CAD,再利用三角的内角和及角的运算求出∠B=∠CAF,再结合∠CAF=50°,即可得到∠B=50°。
21.(2022七下·资阳期末)已知a、b、c为△ABC的三边长;
①b、c满足(b﹣2)2+|c﹣3|=0,且a为方程|a﹣4|=2的解,求出该三角形的周长,并判断△ABC的形状.
②若a=5,b=2,且c为整数,求△ABC的周长的最大值和最小值.
【答案】解:①∵(b﹣2)2+|c﹣3|=0,
∴b﹣2=0,c﹣3=0,
解得:b=2,c=3,
∵a为方程|a﹣4|=2的解,
∴a﹣4=±2,
解得:a=6或2,
∵a、b、c为△ABC的三边长,b+c<6,
∴a=6不合题意舍去,
∴a=2,
∴△ABC的周长为:2+2+3=7,
∴△ABC是等腰三角形.
②∵a=5,b=2,c为整数,
∴5﹣2<c<2+5,
∴c的最小值为4,c的最大值为6,
∴△ABC的周长的最大值=5+2+6=13,最小值=5+2+4=11.
【知识点】三角形三边关系;偶次幂的非负性;绝对值的非负性
【解析】【分析】(1)利用绝对值的性质(任何有理数的绝对值都是大于或等于0的数,这是绝对值的非负性)以及偶次方的性质(非负性)得出b和c的值,进而利用三角形三边关系(两边之和大于第三边,两边之差小于第三边)及方程解的定义确定a的值,最后求出该三角形的周长,并判断△ABC的形状;
(2)利用三角形三边关系(两边之和大于第三边,两边之差小于第三边)列不等式,得出c的取值范围,确定c的最大值和最小值,进而求出△ABC的周长的最大值和最小值 .
22.(2022七下·通州期末)如图,在△ABC中,∠ABC=∠ACB=2∠A,BD是边AC上的高.
(1)依题意补全图形;
(2)求∠DBC的度数.
【答案】(1)解:如图,为边上的高
(2)解:在△ABC中,∠A+∠ABC+∠ACB=180°
∵∠ABC=∠ACB=2∠A
∴5∠A=180°
∴ ∠A=36°
∴ ∠ABC=∠ACB=72°
在△BCD中,∵BD⊥AC
∴∠BDC=90°
∴ ∠ACB+∠DBC=90°
∵∠ACB=72°
∴∠DBC=18°
【知识点】三角形的角平分线、中线和高;三角形内角和定理;直角三角形的性质
【解析】【分析】(1)用直尺作出BD⊥AC于点D,则线段BD就是AC边上的高即可;
(2)根据三角形内角和定理,结合∠ABC=∠ACB=2∠A ,求出∠A的度数,从而求出∠ABC和∠ACB的度数,然后根据直角三角形的两锐角互余求∠DBC的度数即可.
23.(2019七下·丹阳月考)已知 为三角形三边的长, 化简: .
【答案】解:∵a、b、c为三角形三边的长,
∴a+b>c,a+c>b,
∴原式=
=a+b-c-b+c+a+c-a-b
= .
【知识点】绝对值及有理数的绝对值;三角形三边关系
【解析】【分析】根据三角形的三边关系得出a+b>c,a+c>b,再去绝对值符号,合并同类项即可.
24.(2017七下·扬州月考)如图,△ABC中,∠A=30°,∠B=70°,CE平分∠ACB,CD⊥AB于D,DF⊥CE,求∠CDF的度数.
【答案】解:∵∠A=30°,∠B=70°,
∴∠ACB=180°﹣∠A﹣∠B=80°.
∵CE平分∠ACB,
∴∠ACE= ∠ACB=40°.
∵CD⊥AB于D,
∴∠CDA=90°,
∠ACD=180°﹣∠A﹣∠CDA=60°.
∴∠ECD=∠ACD﹣∠ACE=20°.
∵DF⊥CE,
∴∠CFD=90°,
∴∠CDF=180°﹣∠CFD﹣∠ECD=70°
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【分析】首先根据三角形的内角和定理求得∠ACB的度数,以及∠BCD的度数,根据角的平分线的定义求得∠BCE的度数,则∠ECD可以求解,然后在△CDF中,利用内角和定理即可求得∠CDF的度数.
25.(2022七下·台江期末)如图,在中,已知,和的平分线相交于点.
(1)求的度数;
(2)试比较与的大小,写出推理过程.
【答案】(1)解:∵∠BAC=70°,
∴∠ABC+∠ACB=180°-70°=110°,
∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D,
∴∠ABD=∠CBD=∠ABC,∠ACD=∠BCD=∠ACB ,
∴∠CBD+∠BCD= (∠ABC+∠ACB) ==55°,
∴∠BDC=180°- (∠CBD+ ∠BCD)=180°- 55°=125°;
(2)解:DA+DB+DC> (AB+BC+AC) ,理由如下:
在△ABD中,由三角形的三边关系得: DA+DB>AB①,
同理∶ DB+DC> BC②,DA+DC> AC③,
+②+③得∶ 2 (DA+DB+DC) >AB+BC+AC,
∴DA+DB+DC> (AB+BC+AC) .
【知识点】三角形三边关系;三角形内角和定理
【解析】【分析】(1)由三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°-70°=110°,根据角平分线定义得∠ABD=∠CBD=∠ABC,∠ACD=∠BCD=∠ACB,于是∠CBD+∠BCD=(∠ABC+∠ACB),然后在三角形BCD中,用三角形内角和定理可求解;
(2)分别在三角形ABD、三角形ACD、三角形BCD中,由三角形三边关系定理“三角形任意两边之和大于第三边”可得 DA+DB>AB,DC+DB>BC,DA+DC>AC,将三个不等式相加即可求解.
26.(2022七下·崇川期末)定义:如果三角形的两个内角α与β满足α+2β=100°,那么我们称这样的三角形为“奇妙三角形”.
(1)如图1,中,∠ACB=80°,BD平分∠ABC.求证:为“奇妙三角形”;
(2)若为“奇妙三角形”,且∠C=80°.求证:是直角三角形;
(3)如图2,中,BD平分∠ABC,若为“奇妙三角形”,且∠A=40°,直接写出∠C的度数.
【答案】(1)证明:∵BD平分∠ABC,
∴∠ABC=2∠ABD.
∵∠ACB=80°,
∴∠A+∠ABC=100°.
∴∠A+2∠ABD=100°.
∴为“奇妙三角形”.
(2)证明:∵∠C=80°,
∴∠A+∠ABC=100°,
∵为“奇妙三角形”,
∴只能∠C+2∠ABC=100°(∠C+2∠A=100°).
∴∠ABC=10°(∠A=10°).
∴∠C+∠ABC=90°(∠C+∠A=90°),
∴是直角三角形.
(3)解:∵∠A=40°,
∴∠C+∠ABC=140°,
BD平分∠ABC,
为“奇妙三角形”,则只有以下两种情形,
①若
②若
综上所述,∠C的度数为:80°或100°.
【知识点】三角形内角和定理;直角三角形的性质;角平分线的定义
【解析】【分析】(1)根据角平分线的定义得出∠ABC=2∠ABD,由∠ACB=80°,根据三角形内角和定理得到∠A+∠ABC=100°,则可得出∠A+2∠ABD=100°,结合新定义,即可得出结论;
(2)根据三角形内角和定理求出 ∠A+∠ABC=100°, 根据新定义得出只能∠C+2∠ABC=100°(∠C+2∠A=100°) ,则得出∠ABC=10° (∠A=10°) ,从而得出∠C+∠ABC=90° (∠C+∠A=90°),即可得证;
(3)分两种情况讨论, 即①若, ②若 ,利用(2)的方法分别求解,即可解答.
1 / 1初中数学同步训练必刷题(北师大版七年级下册4.1 认识三角形)
一、单选题(每题3分,共30分)
1.(2022七下·宝安期末)某兴趣小组想用3根木棍组成一个三角形,3根木棍的长度不可能是(  )
A.2,3,4 B.3,4,5 C.2,5,7 D.4,7,7
2.(2022七下·长治期末)如图,是钝角三角形,以下是同学们作出的边上的高,其中作法正确的是(  )
A.
B.
C.
D.
3.(2022七下·南山期末)长度为3,7,的三条线段构成三角形,则的值可能是(  )
A.3 B.4 C.8 D.12
4.(2022七下·福州期末)如图表示的是三角形的分类,则正确的表示是(  )
A.M表示三边均不相等的三角形,N表示等腰三角形,P表示等边三角形
B.M表示三边均不相等的三角形,N表示等边三角形,P表示等腰三角形
C.M表示等腰三角形,N表示等边三角形,P表示三边均不相等的三角形
D.M表示等边三角形,N表示等腰三角形,P表示三边均不相等的三角形
5.(2022七下·兰州期末)将一副三角板按如图所示放置,则下列结论:
①∠1=∠3;
②如果∠2=30°,则有AC∥DE;
③如果∠2=30°,则有BC∥AD;
④如果∠2=30°,必有∠4=∠C.其中正确的有(  )
A.①③ B.①②④ C.③④ D.①②③④
6.(2022七下·商河期末)在△ABC中,,则△ABC的形状是(  )
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.形状无法确定
7.(2022七下·镇巴期末)为估计池塘两岸间的距离,如图,小明在池塘一侧选取了一点,测得,那么之间的距离不可能是(  )
A.5m B.15m C.20m D.30m
8.(2022七下·华州期末)在中,如果,那么等于(  )
A. B. C. D.
9.(2022七下·乐亭期末)如图,点D为的角平分线AE延长线上的一点,过点D作于点F,若,,则的度数是(  )
A. B. C. D.
10.(2022七下·巴中期末)如图:已知,BD、CD、BE分别平分的内角、外角、外角,其中点D、C、E在同一条直线上,以下结论:错误的是(  )
A. B. C. D.
二、填空题(每题3分, 共27分)
11.(2022七下·乐亭期末)在中,若,,则是   三角形.(填“锐角”、“直角”、或“钝角”)
12.(2022七下·江源期末)在中,,,则   °,   °.
13.(2022七下·东港期末)如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,AE是∠BAC的平分线,若∠B=70°,∠C=40°,则∠DAE的度数为   .
14.(2022七下·建平期末)三角形的两边长分别为2cm,5cm,第三边的长xcm也是整数,则当三角形的周长取最大值时,x的值是    .
15.(2022七下·祥符期末)如图,若,且于点C,若,则的度数为   .
16.(2022七下·秦淮期末)如图,在中,,M是射线上的一个动点,过点M作交射线于点N,连接,若中有两个角相等,则的度数可能是   .
17.(2022七下·南京期末)已知 AD、AE 分别是△ABC 的高和中线,若 BD=2,CD=1,则DE的长为   .
18.(2022七下·长春期末)如图,AD是△ABC的中线,若AB=16,AC=10,则△ABD的周长与△ACD的周长的差为   .
三、解答题(共8题,共63分)
19.(2022七下·泾阳期末)如图,已知△ABC,请利用尺规作图法在AC上求作一点P,使得BP平分∠ABC.(保留作图痕迹,不写作法)
20.(2022七下·建平期末)如图,在△ABC中,AD为∠BAC的角平分线,FE垂直平分AD,垂足为E,EF交BC的延长线于点F,若∠CAF=50°,求∠B的度数.
21.(2022七下·资阳期末)已知a、b、c为△ABC的三边长;
①b、c满足(b﹣2)2+|c﹣3|=0,且a为方程|a﹣4|=2的解,求出该三角形的周长,并判断△ABC的形状.
②若a=5,b=2,且c为整数,求△ABC的周长的最大值和最小值.
22.(2022七下·通州期末)如图,在△ABC中,∠ABC=∠ACB=2∠A,BD是边AC上的高.
(1)依题意补全图形;
(2)求∠DBC的度数.
23.(2019七下·丹阳月考)已知 为三角形三边的长, 化简: .
24.(2017七下·扬州月考)如图,△ABC中,∠A=30°,∠B=70°,CE平分∠ACB,CD⊥AB于D,DF⊥CE,求∠CDF的度数.
25.(2022七下·台江期末)如图,在中,已知,和的平分线相交于点.
(1)求的度数;
(2)试比较与的大小,写出推理过程.
26.(2022七下·崇川期末)定义:如果三角形的两个内角α与β满足α+2β=100°,那么我们称这样的三角形为“奇妙三角形”.
(1)如图1,中,∠ACB=80°,BD平分∠ABC.求证:为“奇妙三角形”;
(2)若为“奇妙三角形”,且∠C=80°.求证:是直角三角形;
(3)如图2,中,BD平分∠ABC,若为“奇妙三角形”,且∠A=40°,直接写出∠C的度数.
答案解析部分
1.【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解:A、,能够成三角形,故本选项不符合题意;
B、,能够成三角形,故本选项不符合题意;
C、,不能够成三角形,故本选项符合题意;
D、,能够成三角形,故本选项不符合题意;
故答案为:C
【分析】利用三角形三边的关系逐项判断即可。
2.【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解:BC边上的高是经过点A作BC的垂线,点A到垂足D的线段AD.
故答案为:D.
【分析】根据作高的方法对每个选项一一判断即可。
3.【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解:7 3<x<7+3,
即4<x<10,
只有选项C符合题意,
故答案为:C.
【分析】根据三角形三边的关系求解即可。
4.【答案】B
【知识点】三角形相关概念
【解析】【解答】解:根据三角形的分类,三角形可以分为三边都不相等的三角形和等腰三角形,等腰三角形分为底边和腰不相等的三角形和等边三角形.
故答案为:B.
【分析】三角形按边分为:三边不相等的三角形与等腰三角形,而等腰三角形又可分为底和腰不相等的三角形和等边三角形,据此判断.
5.【答案】B
【知识点】平行线的判定;平行线的性质;直角三角形的性质
【解析】【解答】解:∵∠CAB=∠EAD=90°,
∴∠1=∠CAB-∠2,∠3=∠EAD-∠2,
∴∠1=∠3. ∴①符合题意.
∵∠2=30°,
∴∠1=90°-30°=60°,
∵∠E=60°,
∴∠1=∠E,
∴. ∴②符合题意.
∵∠2=30°,
∴∠3=90°-30°=60°,
∵∠B=45°,
∴BC不平行于AD.
∴③不符合题意.
由②得.
∴∠4=∠C. ∴④符合题意.
故答案为:B.
【分析】①由同角的余角相等可得∠1=∠3;
②由角的构成∠2+∠1=90°可求得∠1=60°=∠E,根据平行线的性质“内错角相等两直线平行”可得AC∥DE;
③同理可得∠3=60°,而∠B=45°,于是可得BC不平行于AD;
④结合②的结论可得∠4=∠C.
6.【答案】A
【知识点】三角形内角和定理;三角形相关概念
【解析】【解答】解:∵∠A=∠B=2∠C,∠A+∠B+∠C=180°,
∴2∠C+2∠C+∠C=180°,
∴∠C=36°,
∴∠A=∠B=2∠C=72°,
∴△ABC为锐角三角形,
故答案为:A.
【分析】先利用三角形的内角和及求出三个内角的度数,再判断即可。
7.【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解:由题意得:OA-OB即4∴30不符合题意.
故答案为:D.
【分析】根据三角形三边的关系求出AB的范围,然后判断即可.
8.【答案】C
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解:∠C=180°-(∠A+∠B)
=180°-105°
=75°.
故答案为:C.
【分析】根据三角形内角和定理列式计算,即可解答.
9.【答案】C
【知识点】平行线的性质;三角形内角和定理;角平分线的定义
【解析】【解答】解:在△ABC中,∠BAC=180° ∠B ∠C=180° 50° 80°=50°,
∵AD是角平分线,
∴∠BAE=∠BAC=25°,
在△ABE中,∠AEB=180° ∠B ∠BAE=75°,
∴∠AEB=∠DEF=75°,
∵DF⊥BC,
∴∠DFE=90°,
∴∠D=180° ∠DFE ∠DEF
=180° 90° 75°
=15°
故答案为:C.
【分析】先利用三角形的内角和及角平分线的定义求出∠BAE=∠BAC=25°,再利用三角形的内角和求出∠D=180° ∠DFE ∠DEF=15°即可。
10.【答案】C
【知识点】三角形内角和定理;对顶角及其性质;邻补角;角平分线的定义
【解析】【解答】解:在△ABC中,∠
∴∠
∵是∠ABC的平分线,CD是∠ACP的平分线,BE是∠MBC的平分线,
∴∠


∴∠
∵D、C、E在同一条直线上,
∴∠,
∵∠
∴∠
∵∠,
∴∠,
∴∠
∴选项A,B,D正确,选项C错误.
故答案为:C.
【分析】根据已知条件结合邻补角的性质可得∠MBP=∠ACP=130°,根据角平分线的概念可得∠DCP=∠ACP=65°,∠DBC=∠ABC=25°,∠EBC=∠MBC=65°,根据角的和差关系可得∠EBD=∠EBC+∠DBC=90°,由对顶角的性质可得∠BCE=∠DCP=65°,结合内角和定理可得∠E=50°,则∠BDE=40°,据此判断.
11.【答案】直角
【知识点】三角形内角和定理;三角形相关概念
【解析】【解答】解:∵,
∴,
设,则,根据题意得:

解得:,
则,
∴是直角三角形.
故答案为:直角.
【分析】先利用三角形的内角和及求出三角形的三个内角,再判断即可。
12.【答案】52;38
【知识点】角的运算;三角形内角和定理
【解析】【解答】解:在中,,
∴∠B+∠C=90°,
∴∠B=90°-∠C,
∵,
∴90°-∠C-∠C=14°,
解得∠C=38°,
∴∠B=52°,
故答案为:52,38.
【分析】先求出∠B=90°-∠C,再求出∠C=38°,最后计算求解即可。
13.【答案】15°
【知识点】角的运算;三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解:∵∠B=70°,∠C=40°,
∴∠BAC=70°,
∵AD是BC边上的高,
∴∠CAD=50°,
∵AE是∠BAC的平分线,
∴∠CAE=∠BAC=35°,
∴∠DAE=∠CAD-∠CAE=15°.
故答案为:15°.
【分析】先求出∠CAD=50°,∠CAE=∠BAC=35°,再利用角的运算可得∠DAE=∠CAD-∠CAE=15°。
14.【答案】6
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解:根据三角形的三边关系,得,即,
因为第三边x是整数,
所以第三边的值可能是4,5,6.
又要求周长最大,则第三边x=6,
故答案为:6.
【分析】利用三角形三边的关系可得,求出,再根据第三边x是整数,可得答案。
15.【答案】60°
【知识点】平行线的性质;三角形内角和定理
【解析】【解答】解:∵,
∴∠DAB+∠ABE=180°,
∵∠C=90°,
∴∠CAB+∠CBA=90°,
∴∠DAC+∠CBE=90°,
∵∠CBE=30°,
∴∠CAD=60°.
故答案为:60°
【分析】由平行线的性质可得∠DAB+∠ABE=180°,由三角形内角和可求出∠DAC+∠CBE=180°-∠C=90°,即得∠DAC+∠CBE=90°,从而求解.
16.【答案】25°
【知识点】平行线的性质;三角形内角和定理;邻补角
【解析】【解答】解:∵,,
∴,


∴只能是,
∴,
∴.
故答案为:25°.
【分析】根据平行线的性质可得∠AMN=∠ABC=50°,∠MNB=∠NBC,根据邻补角的性质可得∠NMB=180°-∠AMN=130°,根据内角和定理可得∠MNB+∠MBN=50°,据此求解.
17.【答案】0.5或1.5
【知识点】三角形的角平分线、中线和高;线段的计算
【解析】【解答】解:①如图,当点D在BC之间时,
∵BC=BD+CD=3,
∵AE是△ABC的中线,
∴BE=CE=BC=1.5,
∴DE=BD-BE=2-1.5=0.5;
②如图,当点D在BC的延长线上时,
∵BC=BD-CD=2-1=1,
∴BE=CE=BC=0.5,
这时DE=CD+CE=1+0.5=1.5;
综上所述,DE的长为0.5或1.5.
故答案为:0.5或1.5.
【分析】分两种情况讨论,即①当点D在BC之间时,②当点D在BC的延长线上时,先根据线段的和差求出BC,再根据中线的定义求出CE,然后根据线段的和差求DE长即可.
18.【答案】6
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解:∵AD是△ABC的中线,
∴BD=CD,
∵AB=16,AC=10,
∴△ABD的周长和△ACD的周长差为:
AB+AD+DB-(AD+CD+AC)
=AB+AD+DB-AD-CD-AC
=AB-AC
=16-10
=6.
故答案为:6
【分析】根据三角形中线的性质可得BD=CD,再根据三角形周长的定义求出△ABD的周长和△ACD的周长差。
19.【答案】解:如图,点P即为所求.
【知识点】作图-角的平分线
【解析】【分析】以B为圆心,以任意长为半径画弧分别交AB与BC点E和点F,再以E、F为圆心,以大于EF的一半长为半径分别画弧,交于一点M,连接BM,交AC于点P,即可解答.
20.【答案】解:∵FE垂直平分AD
∴FA=FD
∴∠FAD=∠FDA
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠CAD
在△ABD中,∠B+∠BAD+∠BDA=180°
∠BDA+∠FDA=180°
∴∠B+∠BAD=∠FDA
∴∠B+∠BAD=∠FAD
∴∠B+∠BAD=∠CAF+∠CAD
∴∠B=∠CAF
∵∠CAF=50°
∴∠B=50°
【知识点】三角形的角平分线、中线和高;三角形内角和定理
【解析】【分析】利用角平分线的定义可得∠BAD=∠CAD,再利用三角的内角和及角的运算求出∠B=∠CAF,再结合∠CAF=50°,即可得到∠B=50°。
21.【答案】解:①∵(b﹣2)2+|c﹣3|=0,
∴b﹣2=0,c﹣3=0,
解得:b=2,c=3,
∵a为方程|a﹣4|=2的解,
∴a﹣4=±2,
解得:a=6或2,
∵a、b、c为△ABC的三边长,b+c<6,
∴a=6不合题意舍去,
∴a=2,
∴△ABC的周长为:2+2+3=7,
∴△ABC是等腰三角形.
②∵a=5,b=2,c为整数,
∴5﹣2<c<2+5,
∴c的最小值为4,c的最大值为6,
∴△ABC的周长的最大值=5+2+6=13,最小值=5+2+4=11.
【知识点】三角形三边关系;偶次幂的非负性;绝对值的非负性
【解析】【分析】(1)利用绝对值的性质(任何有理数的绝对值都是大于或等于0的数,这是绝对值的非负性)以及偶次方的性质(非负性)得出b和c的值,进而利用三角形三边关系(两边之和大于第三边,两边之差小于第三边)及方程解的定义确定a的值,最后求出该三角形的周长,并判断△ABC的形状;
(2)利用三角形三边关系(两边之和大于第三边,两边之差小于第三边)列不等式,得出c的取值范围,确定c的最大值和最小值,进而求出△ABC的周长的最大值和最小值 .
22.【答案】(1)解:如图,为边上的高
(2)解:在△ABC中,∠A+∠ABC+∠ACB=180°
∵∠ABC=∠ACB=2∠A
∴5∠A=180°
∴ ∠A=36°
∴ ∠ABC=∠ACB=72°
在△BCD中,∵BD⊥AC
∴∠BDC=90°
∴ ∠ACB+∠DBC=90°
∵∠ACB=72°
∴∠DBC=18°
【知识点】三角形的角平分线、中线和高;三角形内角和定理;直角三角形的性质
【解析】【分析】(1)用直尺作出BD⊥AC于点D,则线段BD就是AC边上的高即可;
(2)根据三角形内角和定理,结合∠ABC=∠ACB=2∠A ,求出∠A的度数,从而求出∠ABC和∠ACB的度数,然后根据直角三角形的两锐角互余求∠DBC的度数即可.
23.【答案】解:∵a、b、c为三角形三边的长,
∴a+b>c,a+c>b,
∴原式=
=a+b-c-b+c+a+c-a-b
= .
【知识点】绝对值及有理数的绝对值;三角形三边关系
【解析】【分析】根据三角形的三边关系得出a+b>c,a+c>b,再去绝对值符号,合并同类项即可.
24.【答案】解:∵∠A=30°,∠B=70°,
∴∠ACB=180°﹣∠A﹣∠B=80°.
∵CE平分∠ACB,
∴∠ACE= ∠ACB=40°.
∵CD⊥AB于D,
∴∠CDA=90°,
∠ACD=180°﹣∠A﹣∠CDA=60°.
∴∠ECD=∠ACD﹣∠ACE=20°.
∵DF⊥CE,
∴∠CFD=90°,
∴∠CDF=180°﹣∠CFD﹣∠ECD=70°
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【分析】首先根据三角形的内角和定理求得∠ACB的度数,以及∠BCD的度数,根据角的平分线的定义求得∠BCE的度数,则∠ECD可以求解,然后在△CDF中,利用内角和定理即可求得∠CDF的度数.
25.【答案】(1)解:∵∠BAC=70°,
∴∠ABC+∠ACB=180°-70°=110°,
∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D,
∴∠ABD=∠CBD=∠ABC,∠ACD=∠BCD=∠ACB ,
∴∠CBD+∠BCD= (∠ABC+∠ACB) ==55°,
∴∠BDC=180°- (∠CBD+ ∠BCD)=180°- 55°=125°;
(2)解:DA+DB+DC> (AB+BC+AC) ,理由如下:
在△ABD中,由三角形的三边关系得: DA+DB>AB①,
同理∶ DB+DC> BC②,DA+DC> AC③,
+②+③得∶ 2 (DA+DB+DC) >AB+BC+AC,
∴DA+DB+DC> (AB+BC+AC) .
【知识点】三角形三边关系;三角形内角和定理
【解析】【分析】(1)由三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°-70°=110°,根据角平分线定义得∠ABD=∠CBD=∠ABC,∠ACD=∠BCD=∠ACB,于是∠CBD+∠BCD=(∠ABC+∠ACB),然后在三角形BCD中,用三角形内角和定理可求解;
(2)分别在三角形ABD、三角形ACD、三角形BCD中,由三角形三边关系定理“三角形任意两边之和大于第三边”可得 DA+DB>AB,DC+DB>BC,DA+DC>AC,将三个不等式相加即可求解.
26.【答案】(1)证明:∵BD平分∠ABC,
∴∠ABC=2∠ABD.
∵∠ACB=80°,
∴∠A+∠ABC=100°.
∴∠A+2∠ABD=100°.
∴为“奇妙三角形”.
(2)证明:∵∠C=80°,
∴∠A+∠ABC=100°,
∵为“奇妙三角形”,
∴只能∠C+2∠ABC=100°(∠C+2∠A=100°).
∴∠ABC=10°(∠A=10°).
∴∠C+∠ABC=90°(∠C+∠A=90°),
∴是直角三角形.
(3)解:∵∠A=40°,
∴∠C+∠ABC=140°,
BD平分∠ABC,
为“奇妙三角形”,则只有以下两种情形,
①若
②若
综上所述,∠C的度数为:80°或100°.
【知识点】三角形内角和定理;直角三角形的性质;角平分线的定义
【解析】【分析】(1)根据角平分线的定义得出∠ABC=2∠ABD,由∠ACB=80°,根据三角形内角和定理得到∠A+∠ABC=100°,则可得出∠A+2∠ABD=100°,结合新定义,即可得出结论;
(2)根据三角形内角和定理求出 ∠A+∠ABC=100°, 根据新定义得出只能∠C+2∠ABC=100°(∠C+2∠A=100°) ,则得出∠ABC=10° (∠A=10°) ,从而得出∠C+∠ABC=90° (∠C+∠A=90°),即可得证;
(3)分两种情况讨论, 即①若, ②若 ,利用(2)的方法分别求解,即可解答.
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