初中数学同步训练必刷题（北师大版七年级下册4.3 探索三角形全等的条件）
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022八上·文峰月考）下列生活实物中，没有用到三角形的稳定性的是（ ）
A． 太阳能热水器
B． 活动衣架
C． 三脚架
D． 篮球架
2．（2022八上·临县期末）下列各组图形中，是全等形的是（ ）
A．两个含30°角的直角三角形
B．一个钝角相等的两个等腰三角形
C．边长为5和6的两个等腰三角形
D．腰对应相等的两个等腰直角三角形
3．（2022八上·江宁月考）如图，已知∠CAE＝∠BAD，AC＝AD，增加下列条件：①AB＝AE；②BC＝ED；③∠C＝∠D；④∠B＝∠E.其中能使△ABC≌△AED的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2022八上·黄冈月考）如图，已知，添加下列条件后不能使的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022八上·蚌山月考）根据下列已知条件，能确定的形状和大小的是（ ）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
6．（2022八上·宝安期末）如图，∠A=∠B，AE=BE，点D在AC边上，∠1=∠2，AE和BD相交于点O，若∠1=38°，则∠BDE的度数为（ ）
A．71° B．76° C．78° D．80°
7．（2023八上·苍溪期末）如图，已知BF＝DE，AB∥DC，要使△ABF≌△CDE，添加的条件可以是（ ）
A．BE＝DF B．AF＝CE C．AB＝CD D．∠B＝∠D
8．（2022八上·霍邱月考）如图，在的正方形方格中，每个小正方形方格的边长都为1，则和的关系是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2023八上·吴忠期末）如图，A在上，F在上，且，，则的长等于（ ）
A． B． C． D．
10．（2022八上·江油月考）如图，AD平分∠BAC，AB＝AC，连接BD，CD并延长交AC，AB于E，F点，则此图中全等三角形共有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
二、填空题（每空3分，共24分）
11．（2022八上·滨海期中）来修理一条摇晃的凳子的数学原理是利用三角形的 ．
12．（2023八上·余姚期末）如图，已知，若以“”判定，需添加的条件是
13．（2023八上·平昌期末）如图，已知 AB//CF，E为DF的中点，若AB=13cm，CF=7cm，则BD= cm .
14．（2022八上·延庆期末）如图，和中，，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 ，使得和全等，（写出一个即可）
15．（2022八上·南昌期中）如图，在中，H是高和的交点，且，已知，则的长为 ．
16．（2022八上·温州期中）如图，，，是直线上的三个点，于点，于点，且，若，，则的长为 .
17．（2022八上·青田期中）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝6，则BC边上的中线AD的取值范围是 .
18．（2022八上·平城竞赛）如图，平分，，，垂足分别为，下列结论中成立的有 填写正确结论的序号．
；；平分．
三、解答题（共7题，共66分）
19．（2021八下·昭通期末）如图，F是AD上一点，AB＝DE，AB∥DE，AF＝CD，求证：△ABC≌△DEF．
20．（2021八上·花都期末）如图，AB⊥AC，CD⊥BD，AB＝DC，AC与BD交于点O．求证：OB＝OC．
21．（2023八上·金华期末）如图，在△ABC中，D是AB上一点，CF//AB，DF交AC于点E，.
（1）求证：
（2）若，，求BD的长.
22．（2022八上·松原期末）阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A=60°，CD平分∠ACB，试判断BC和AC、AD之间的数量关系．小明发现，在BC上截取CA′＝CA，连接DA′，从而将问题解决（如图2）．
（1）求证：△ADC≌△A′DC；
（2）试猜想写出BC和AC、AD之间的数量关系，并给出证明．
23．（2022八上·淮北月考）如图，在中，点D是延长线上一点，过点D作于点F，延长交于点E，交的平分线于点N，点M为与的交点，，.
（1）求的度数；
（2）证明：.
24．（2022八上·利辛月考）已知：∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CM，BE⊥CM，垂足分别为D，E．
（1）如图1，①线段CD和BE的数量关系是 ▲ ；②请写出线段AD，BE，DE之间的数量关系并证明．
（2）如图2，上述结论②还成立吗？如果不成立，请写出线段AD，BE，DE之间的数量关系并证明．
25．（2022八上·榆树期末）在中，，直线经过点C，且于D，于E．
（1）当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证：
①；
②．
（2）当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：；
（3）当直线绕点C旋转到图3的位置时，试问具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】A、太阳能热水器的支架是三角形，具有三角形的稳定性，不符合题意；
B、活动衣架是四边形，不具有三角形的稳定性，符合题意；
C、三脚架是三角形，具有三角形的稳定性，不符合题意；
D、篮球架是三角形，具有三角形的稳定性，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】观察各选项中的图形，利用三角形具有稳定性，可得到没有用到三角形稳定性的选项.
2．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、两个含30°角的直角三角形，缺少对应边相等，A不全等；
B、一个钝角相等的两个等腰三角形．缺少对应边相等，B不全等；
C、腰为5底为6的三角形和腰为6底为5的三角形不全等，C不全等；
D、腰对应相等，顶角是直角的两个三角形满足“边角边”，D是全等形．
故答案为：D．
【分析】利用全等三角形的判定方法逐项判断即可。
3．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：①由∠CAE＝∠BAD，得∠CAB＝∠DAE，增加AB＝AE，那么AB＝AE，∠CAB＝∠DAE，AC＝AD，根据“SAS”推出△ABC≌△AED，故①符合题意；
②由∠CAE＝∠BAD，得∠CAB＝∠DAE，添加BC＝ED，△ABC与△AED不一定全等，故②不符合题意；
③由∠CAE＝∠BAD，得∠CAB＝∠DAE，增加∠C＝∠D，那么∠C＝∠D，∠CAB＝∠DAE，AC＝AD，根据“ASA”推出△ABC≌△AED，故③符合题意；
④由∠CAE＝∠BAD，得∠CAB＝∠DAE，增加∠B＝∠E，那么∠B＝∠E，∠CAB＝∠DAE，AC＝AD，根据“AAS”推出△ABC≌△AED，故④符合题意；
综上分析可知：符合题意的有①③④，共3个，故C正确.
故答案为：C.
【分析】由∠CAE＝∠BAD推出∠CAB＝∠DAE，题干又给出了AC=AD，要判断△ABC≌△AED，如果利用SAS可以添加AE=AB，如果利用ASA可以添加∠C=∠D，如果利用AAS可以添加∠B=∠E，从而即可判断得出答案.
4．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵，，
A、若添加，则可以判定，故A不符合题意；
B、若添加，则可以判定，故B不符合题意；
C、若添加，不能判定，故C符合题意；
D、若添加，则可以判定，故D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】题干给出了∠ADB=∠BCA=90°，图形中有公共边AB=BA，要判断Rt△ABD≌Rt△BAC，利用AAS可以添加∠DAB=∠CBA或∠CAB=∠DBA，利用HL可以添加AD=BC或AC=BD，从而一一判断得出答案.
5．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90° ，△ABC 的形状和大小不能确定，故不符合题意；
B、∠A＝40°，∠B＝50°，AB＝5cm ，则利用“ASA ”可判断△ABC 是唯一的，故符合题意；
C、AB＝5cm，AC＝4cm，∠B＝30° ，△ABC 的形状和大小不能确定，故不符合题意；
D、AB＝6cm，BC＝4cm，∠A＝30° ，△ABC 的形状和大小不能确定，故不符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用全等三角形的判定方法逐项判断即可。
6．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：AE和BD相交于点O，
，
在和中，∠A=∠B，
，
，
，
，
即，
在和中，
，
，
，
，
，
即的度数为，
故答案为：A．
【分析】先利用“AAS”证明，可得CE=DE，再利用角的运算求出，即可得到的度数为。
7．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：应添加AB＝DC，理由如下：
∵AB∥DC，
∴∠B＝∠D.
在△ABF和△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（SAS），
故答案为：C.
【分析】根据二直线平行，内错角相等得∠B＝∠D，题干又给出了BF=DE，要使△ABF≌△CDE ，如果用SAS可以添加AB=CD，如果用ASA可以添加∠AFB=∠CED，如果用AAS可以添加∠A=∠C，从而一一判断得出答案.
8．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图，，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：D．
【分析】先利用“SAS”证明，可得，再利用等量代换可得。
9．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定（AAS）；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵，，，
∴.
∵，，，
∴.
在和中，，
∴，
∴.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件可得∠1=∠2，根据对顶角的性质可得∠AFD=∠CFB，结合内角和定理可得∠B=∠D，由角的和差关系可得∠BCA=∠DCE，利用AAS证明△ABC≌△EDC，据此解答.
10．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△ABD与△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
∴BD＝CD，∠B＝∠C，∠ADB＝∠ADC，
又∠EDB＝∠FDC，
∴∠ADE＝∠ADF，
∴△AED≌△AFD，△BDE≌△CDF，△ABF≌△ACE.
∴△AED≌△AFD，△ABD≌△ACD，△BDE≌△CDF，△ABF≌△ACE，共4对.
故答案为：C.
【分析】用SAS判断△ABD≌△ACD，得BD＝CD，∠B＝∠C，∠ADB＝∠ADC，结合对顶角相等及等式的性质可得∠ADE＝∠ADF，从而利用ASA判断出△AED≌△AFD，△BDE≌△CDF，△ABF≌△ACE，据此即可得出答案.
11．【答案】稳定性
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：用如图的方法（斜钉上一块木条）来修理一条摇晃的凳子的数学原理是利用三角形的稳定性，
故答案为：稳定性．
【分析】根据“三角形具有稳定性”解答即可.
12．【答案】AB=DC
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：添加条件，理由如下：
在和中，
，
∴，
故答案为：AB=DC.
【分析】由已知条件可知∠ABC=∠DCB，AC=AC，然后根据SAS进行解答.
13．【答案】6
【知识点】平行线的性质；线段的中点；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵ABCF，
∴∠ADE=∠CFE，
∵E为DF的中点，
∴DE=EF，
在△ADE和△CFE中，
∵，
∴△ADE≌△CFE（ASA），
∴AD=CF=7cm，
∵AB=13cm，
∴BD=13-7=6cm.
故答案为：6.
【分析】根据平行线的性质可得∠ADE=∠CFE，由中点的概念可得DE=EF，利用ASA证明△ADE≌△CFE，得到AD=CF=7cm，然后根据BD=AB-AD进行计算.
14．【答案】（答案不唯一）
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：当时满足条件；
在和中，
，
∴．
故答案是：（答案不唯一）．
【分析】利用全等三角形的判定方法求解即可。
15．【答案】4
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵H是高和的交点，
∴，，
∴，．
∵，
∴．
又∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：4．
【分析】利用“ASA”证明，所以，再利用线段的和差可得。
16．【答案】5
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解： 于点 ， 于点 ， ，
，
，
在 和 中，
，
≌ ，
， ，
，
的长为5，
故答案为：5.
【分析】根据同角的余角相等得∠AHC=∠BDH，从而利用AAS判断△AHC≌△BDH，根据全等三角形的对应边相等得AC=BH=2，AH=BD=3，进而根据AB=AH+BH算出答案.
17．【答案】2＜AD＜8
【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，如图1所示
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在△BDE和△CDA中，
，
∴△BDE≌△CDA（SAS），
∴BE＝AC＝6，
在△ABE中，由三角形的三边关系得：AB-BE＜AE＜AB+BE，
∴10-6＜AE＜10+6，即4＜AE＜16，
∴2＜AD＜8；
故答案为2＜AD＜8.
【分析】延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，证明△BDE≌△CDA（SAS），可得BE＝AC＝6，在△ABE中，由三角形的三边关系得AB-BE＜AE=2AD＜AB+BE，据此即可求解.
18．【答案】①②③
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：平分，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，，
平分，
故符合题意，
故答案为：①②③．
【分析】先利用“AAS”证明≌，再利用全等三角形的性质逐项判断即可。
19．【答案】证明：∵AB∥DE，
∴∠A＝∠D，
∵AF＝DC，
∴AF+FC＝DC+FC，即AC＝DF，
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】先求出 AC＝DF， 再利用SAS证明三角形全等即可。
20．【答案】证明：在Rt△ABC和Rt△DCB中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），
∴∠DBC=∠ACB，
∴OB=OC．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】利用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△DCB可得∠DBC=∠ACB，再利用等角对等边的性质可得OB=OC。
21．【答案】（1）证明：∵CF//AB，
∴，
在和中，
，
∴（AAS）；
（2）解：∵，CF=3，
∴，
∴
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）根据二直线平行，内错角相等得∠A=∠ECF，∠F=∠ADE，用AAS判断出△ADE≌△CFE；
（2）根据全等三角形的对应边相等得AD=CF=3，进而根据BD=AB-AD算出答案.
22．【答案】（1）证明：在BC上截取CA′＝CA，连接DA′，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
在△ACD和△A′DC中，
，
∴△ADC≌△A′DC（SAS）；
（2）解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A=60°，
∴∠B=90°-∠A=90°-60°=30°，
∵△ADC≌△A′DC，
∴∠A=∠CA′D=60°，AD=A′D，
∵∠CA′D是△A′DB的外角，
∴∠A′DB=∠CA′D-∠B=60°-30°=30°，
∴∠A′DB=∠B=30°，
∴A′D=A′B，
∴AD=A′B，
∴BC=A′C+A′B=AC+AD．
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）利用“SAS”证明△ADC≌△A′DC即可；
（2）根据全等三角形的性质可得∠A=∠CA′D=60°，AD=A′D，再求出∠A′DB=∠B=30°，可得A′D=A′B，最后利用线段的和差及等量代换可得BC=A′C+A′B=AC+AD。
23．【答案】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴
（2）证明：由（1）得，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【知识点】角的运算；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义可得，再利用角的运算求出即可；
（2）先利用“ASA”证明，再利用全等三角形的性质可得。
24．【答案】（1）解：①CD=BE②，理由如下，
即
（2）解：原来结论②不成立，，理由如下，
AD⊥CM，BE⊥CM，
∠ACB＝90°，
在与中
即
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】（1）①
AD⊥CM，BE⊥CM，
∠ACB＝90°，
在与中
故答案为：
【分析】（1）①先利用“AAS”证明，可得；
②利用全等三角形的性质可得，再利用线段的和差及等量代换可得；
（2）先利用“AAS”证明，可得，再利用线段的和差及等量代换可得。
25．【答案】（1）证明：如图
①∵，
∴，
∴．
又∵，，
∴．
②∵，
∴，，
∴．
（2）证明：
∵，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：当旋转到图3的位置时，所满足的等量关系是（或等）．
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）①利用“一线三等角”证明即可；
②根据全等三角形的性质可得，，再利用线段的和差及等量代换可得；
（2）利用“一线三等角”证明，可得，再利用线段的和差及等量代换可得；
（3）先证明，可得，再利用线段的和差及等量代换可得。
1 / 1初中数学同步训练必刷题（北师大版七年级下册4.3 探索三角形全等的条件）
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022八上·文峰月考）下列生活实物中，没有用到三角形的稳定性的是（ ）
A． 太阳能热水器
B． 活动衣架
C． 三脚架
D． 篮球架
【答案】B
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】A、太阳能热水器的支架是三角形，具有三角形的稳定性，不符合题意；
B、活动衣架是四边形，不具有三角形的稳定性，符合题意；
C、三脚架是三角形，具有三角形的稳定性，不符合题意；
D、篮球架是三角形，具有三角形的稳定性，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】观察各选项中的图形，利用三角形具有稳定性，可得到没有用到三角形稳定性的选项.
2．（2022八上·临县期末）下列各组图形中，是全等形的是（ ）
A．两个含30°角的直角三角形
B．一个钝角相等的两个等腰三角形
C．边长为5和6的两个等腰三角形
D．腰对应相等的两个等腰直角三角形
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、两个含30°角的直角三角形，缺少对应边相等，A不全等；
B、一个钝角相等的两个等腰三角形．缺少对应边相等，B不全等；
C、腰为5底为6的三角形和腰为6底为5的三角形不全等，C不全等；
D、腰对应相等，顶角是直角的两个三角形满足“边角边”，D是全等形．
故答案为：D．
【分析】利用全等三角形的判定方法逐项判断即可。
3．（2022八上·江宁月考）如图，已知∠CAE＝∠BAD，AC＝AD，增加下列条件：①AB＝AE；②BC＝ED；③∠C＝∠D；④∠B＝∠E.其中能使△ABC≌△AED的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：①由∠CAE＝∠BAD，得∠CAB＝∠DAE，增加AB＝AE，那么AB＝AE，∠CAB＝∠DAE，AC＝AD，根据“SAS”推出△ABC≌△AED，故①符合题意；
②由∠CAE＝∠BAD，得∠CAB＝∠DAE，添加BC＝ED，△ABC与△AED不一定全等，故②不符合题意；
③由∠CAE＝∠BAD，得∠CAB＝∠DAE，增加∠C＝∠D，那么∠C＝∠D，∠CAB＝∠DAE，AC＝AD，根据“ASA”推出△ABC≌△AED，故③符合题意；
④由∠CAE＝∠BAD，得∠CAB＝∠DAE，增加∠B＝∠E，那么∠B＝∠E，∠CAB＝∠DAE，AC＝AD，根据“AAS”推出△ABC≌△AED，故④符合题意；
综上分析可知：符合题意的有①③④，共3个，故C正确.
故答案为：C.
【分析】由∠CAE＝∠BAD推出∠CAB＝∠DAE，题干又给出了AC=AD，要判断△ABC≌△AED，如果利用SAS可以添加AE=AB，如果利用ASA可以添加∠C=∠D，如果利用AAS可以添加∠B=∠E，从而即可判断得出答案.
4．（2022八上·黄冈月考）如图，已知，添加下列条件后不能使的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵，，
A、若添加，则可以判定，故A不符合题意；
B、若添加，则可以判定，故B不符合题意；
C、若添加，不能判定，故C符合题意；
D、若添加，则可以判定，故D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】题干给出了∠ADB=∠BCA=90°，图形中有公共边AB=BA，要判断Rt△ABD≌Rt△BAC，利用AAS可以添加∠DAB=∠CBA或∠CAB=∠DBA，利用HL可以添加AD=BC或AC=BD，从而一一判断得出答案.
5．（2022八上·蚌山月考）根据下列已知条件，能确定的形状和大小的是（ ）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90° ，△ABC 的形状和大小不能确定，故不符合题意；
B、∠A＝40°，∠B＝50°，AB＝5cm ，则利用“ASA ”可判断△ABC 是唯一的，故符合题意；
C、AB＝5cm，AC＝4cm，∠B＝30° ，△ABC 的形状和大小不能确定，故不符合题意；
D、AB＝6cm，BC＝4cm，∠A＝30° ，△ABC 的形状和大小不能确定，故不符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用全等三角形的判定方法逐项判断即可。
6．（2022八上·宝安期末）如图，∠A=∠B，AE=BE，点D在AC边上，∠1=∠2，AE和BD相交于点O，若∠1=38°，则∠BDE的度数为（ ）
A．71° B．76° C．78° D．80°
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：AE和BD相交于点O，
，
在和中，∠A=∠B，
，
，
，
，
即，
在和中，
，
，
，
，
，
即的度数为，
故答案为：A．
【分析】先利用“AAS”证明，可得CE=DE，再利用角的运算求出，即可得到的度数为。
7．（2023八上·苍溪期末）如图，已知BF＝DE，AB∥DC，要使△ABF≌△CDE，添加的条件可以是（ ）
A．BE＝DF B．AF＝CE C．AB＝CD D．∠B＝∠D
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：应添加AB＝DC，理由如下：
∵AB∥DC，
∴∠B＝∠D.
在△ABF和△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（SAS），
故答案为：C.
【分析】根据二直线平行，内错角相等得∠B＝∠D，题干又给出了BF=DE，要使△ABF≌△CDE ，如果用SAS可以添加AB=CD，如果用ASA可以添加∠AFB=∠CED，如果用AAS可以添加∠A=∠C，从而一一判断得出答案.
8．（2022八上·霍邱月考）如图，在的正方形方格中，每个小正方形方格的边长都为1，则和的关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图，，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：D．
【分析】先利用“SAS”证明，可得，再利用等量代换可得。
9．（2023八上·吴忠期末）如图，A在上，F在上，且，，则的长等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定（AAS）；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵，，，
∴.
∵，，，
∴.
在和中，，
∴，
∴.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件可得∠1=∠2，根据对顶角的性质可得∠AFD=∠CFB，结合内角和定理可得∠B=∠D，由角的和差关系可得∠BCA=∠DCE，利用AAS证明△ABC≌△EDC，据此解答.
10．（2022八上·江油月考）如图，AD平分∠BAC，AB＝AC，连接BD，CD并延长交AC，AB于E，F点，则此图中全等三角形共有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△ABD与△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
∴BD＝CD，∠B＝∠C，∠ADB＝∠ADC，
又∠EDB＝∠FDC，
∴∠ADE＝∠ADF，
∴△AED≌△AFD，△BDE≌△CDF，△ABF≌△ACE.
∴△AED≌△AFD，△ABD≌△ACD，△BDE≌△CDF，△ABF≌△ACE，共4对.
故答案为：C.
【分析】用SAS判断△ABD≌△ACD，得BD＝CD，∠B＝∠C，∠ADB＝∠ADC，结合对顶角相等及等式的性质可得∠ADE＝∠ADF，从而利用ASA判断出△AED≌△AFD，△BDE≌△CDF，△ABF≌△ACE，据此即可得出答案.
二、填空题（每空3分，共24分）
11．（2022八上·滨海期中）来修理一条摇晃的凳子的数学原理是利用三角形的 ．
【答案】稳定性
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：用如图的方法（斜钉上一块木条）来修理一条摇晃的凳子的数学原理是利用三角形的稳定性，
故答案为：稳定性．
【分析】根据“三角形具有稳定性”解答即可.
12．（2023八上·余姚期末）如图，已知，若以“”判定，需添加的条件是
【答案】AB=DC
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：添加条件，理由如下：
在和中，
，
∴，
故答案为：AB=DC.
【分析】由已知条件可知∠ABC=∠DCB，AC=AC，然后根据SAS进行解答.
13．（2023八上·平昌期末）如图，已知 AB//CF，E为DF的中点，若AB=13cm，CF=7cm，则BD= cm .
【答案】6
【知识点】平行线的性质；线段的中点；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵ABCF，
∴∠ADE=∠CFE，
∵E为DF的中点，
∴DE=EF，
在△ADE和△CFE中，
∵，
∴△ADE≌△CFE（ASA），
∴AD=CF=7cm，
∵AB=13cm，
∴BD=13-7=6cm.
故答案为：6.
【分析】根据平行线的性质可得∠ADE=∠CFE，由中点的概念可得DE=EF，利用ASA证明△ADE≌△CFE，得到AD=CF=7cm，然后根据BD=AB-AD进行计算.
14．（2022八上·延庆期末）如图，和中，，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 ，使得和全等，（写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：当时满足条件；
在和中，
，
∴．
故答案是：（答案不唯一）．
【分析】利用全等三角形的判定方法求解即可。
15．（2022八上·南昌期中）如图，在中，H是高和的交点，且，已知，则的长为 ．
【答案】4
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵H是高和的交点，
∴，，
∴，．
∵，
∴．
又∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：4．
【分析】利用“ASA”证明，所以，再利用线段的和差可得。
16．（2022八上·温州期中）如图，，，是直线上的三个点，于点，于点，且，若，，则的长为 .
【答案】5
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解： 于点 ， 于点 ， ，
，
，
在 和 中，
，
≌ ，
， ，
，
的长为5，
故答案为：5.
【分析】根据同角的余角相等得∠AHC=∠BDH，从而利用AAS判断△AHC≌△BDH，根据全等三角形的对应边相等得AC=BH=2，AH=BD=3，进而根据AB=AH+BH算出答案.
17．（2022八上·青田期中）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝6，则BC边上的中线AD的取值范围是 .
【答案】2＜AD＜8
【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，如图1所示
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在△BDE和△CDA中，
，
∴△BDE≌△CDA（SAS），
∴BE＝AC＝6，
在△ABE中，由三角形的三边关系得：AB-BE＜AE＜AB+BE，
∴10-6＜AE＜10+6，即4＜AE＜16，
∴2＜AD＜8；
故答案为2＜AD＜8.
【分析】延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，证明△BDE≌△CDA（SAS），可得BE＝AC＝6，在△ABE中，由三角形的三边关系得AB-BE＜AE=2AD＜AB+BE，据此即可求解.
18．（2022八上·平城竞赛）如图，平分，，，垂足分别为，下列结论中成立的有 填写正确结论的序号．
；；平分．
【答案】①②③
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：平分，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，，
平分，
故符合题意，
故答案为：①②③．
【分析】先利用“AAS”证明≌，再利用全等三角形的性质逐项判断即可。
三、解答题（共7题，共66分）
19．（2021八下·昭通期末）如图，F是AD上一点，AB＝DE，AB∥DE，AF＝CD，求证：△ABC≌△DEF．
【答案】证明：∵AB∥DE，
∴∠A＝∠D，
∵AF＝DC，
∴AF+FC＝DC+FC，即AC＝DF，
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】先求出 AC＝DF， 再利用SAS证明三角形全等即可。
20．（2021八上·花都期末）如图，AB⊥AC，CD⊥BD，AB＝DC，AC与BD交于点O．求证：OB＝OC．
【答案】证明：在Rt△ABC和Rt△DCB中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），
∴∠DBC=∠ACB，
∴OB=OC．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】利用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△DCB可得∠DBC=∠ACB，再利用等角对等边的性质可得OB=OC。
21．（2023八上·金华期末）如图，在△ABC中，D是AB上一点，CF//AB，DF交AC于点E，.
（1）求证：
（2）若，，求BD的长.
【答案】（1）证明：∵CF//AB，
∴，
在和中，
，
∴（AAS）；
（2）解：∵，CF=3，
∴，
∴
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）根据二直线平行，内错角相等得∠A=∠ECF，∠F=∠ADE，用AAS判断出△ADE≌△CFE；
（2）根据全等三角形的对应边相等得AD=CF=3，进而根据BD=AB-AD算出答案.
22．（2022八上·松原期末）阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A=60°，CD平分∠ACB，试判断BC和AC、AD之间的数量关系．小明发现，在BC上截取CA′＝CA，连接DA′，从而将问题解决（如图2）．
（1）求证：△ADC≌△A′DC；
（2）试猜想写出BC和AC、AD之间的数量关系，并给出证明．
【答案】（1）证明：在BC上截取CA′＝CA，连接DA′，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
在△ACD和△A′DC中，
，
∴△ADC≌△A′DC（SAS）；
（2）解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A=60°，
∴∠B=90°-∠A=90°-60°=30°，
∵△ADC≌△A′DC，
∴∠A=∠CA′D=60°，AD=A′D，
∵∠CA′D是△A′DB的外角，
∴∠A′DB=∠CA′D-∠B=60°-30°=30°，
∴∠A′DB=∠B=30°，
∴A′D=A′B，
∴AD=A′B，
∴BC=A′C+A′B=AC+AD．
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）利用“SAS”证明△ADC≌△A′DC即可；
（2）根据全等三角形的性质可得∠A=∠CA′D=60°，AD=A′D，再求出∠A′DB=∠B=30°，可得A′D=A′B，最后利用线段的和差及等量代换可得BC=A′C+A′B=AC+AD。
23．（2022八上·淮北月考）如图，在中，点D是延长线上一点，过点D作于点F，延长交于点E，交的平分线于点N，点M为与的交点，，.
（1）求的度数；
（2）证明：.
【答案】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴
（2）证明：由（1）得，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【知识点】角的运算；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义可得，再利用角的运算求出即可；
（2）先利用“ASA”证明，再利用全等三角形的性质可得。
24．（2022八上·利辛月考）已知：∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CM，BE⊥CM，垂足分别为D，E．
（1）如图1，①线段CD和BE的数量关系是 ▲ ；②请写出线段AD，BE，DE之间的数量关系并证明．
（2）如图2，上述结论②还成立吗？如果不成立，请写出线段AD，BE，DE之间的数量关系并证明．
【答案】（1）解：①CD=BE②，理由如下，
即
（2）解：原来结论②不成立，，理由如下，
AD⊥CM，BE⊥CM，
∠ACB＝90°，
在与中
即
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】（1）①
AD⊥CM，BE⊥CM，
∠ACB＝90°，
在与中
故答案为：
【分析】（1）①先利用“AAS”证明，可得；
②利用全等三角形的性质可得，再利用线段的和差及等量代换可得；
（2）先利用“AAS”证明，可得，再利用线段的和差及等量代换可得。
25．（2022八上·榆树期末）在中，，直线经过点C，且于D，于E．
（1）当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证：
①；
②．
（2）当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：；
（3）当直线绕点C旋转到图3的位置时，试问具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．
【答案】（1）证明：如图
①∵，
∴，
∴．
又∵，，
∴．
②∵，
∴，，
∴．
（2）证明：
∵，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：当旋转到图3的位置时，所满足的等量关系是（或等）．
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）①利用“一线三等角”证明即可；
②根据全等三角形的性质可得，，再利用线段的和差及等量代换可得；
（2）利用“一线三等角”证明，可得，再利用线段的和差及等量代换可得；
（3）先证明，可得，再利用线段的和差及等量代换可得。
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