初中数学同步训练必刷题（北师大版七年级下册4.4 用尺规作三角形）
一、单选题（每题4分，共16分）
1．已知三边作三角形，用到的基本作图是（ ）
A．作一个角等于已知角
B．平分一个已知角
C．在射线上截取一线段等于已知线段
D．作一条直线的垂线
【答案】C
【知识点】作图-直线、射线、线段；作图-三角形
【解析】【分析】根据三边做三角形用到的基本作图方法即可判断。
【解答】根据三边做三角形用到的基本作图是：作一条线段等于已知线段．
故选C．
【点评】解答本题的关键是熟练掌握根据三边做三角形用到的基本作图是：作一条线段等于已知线段．
2．（2015七下·深圳期中）已知下列条件，不能作出唯一三角形的是（ ）
A．两边及其夹角 B．两角及其夹边
C．三边 D．两边及除夹角外的另一个角
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；作图-三角形
【解析】【解答】解：A、B、C分别符合全等三角形的判定SAS、ASA、SSS，故能作出唯一三角形；
D、已知两边及除夹角外的另一个角，不能作出唯一三角形，如等腰三角形底边上的任一点与顶点之间的线段两侧的三角形，错误；
故选D．
【分析】看是否符合所学的全等的公理或定理即可．
3．已知线段a、b和m，求作△ABC，使BC=a，AC=b，BC上的中线AD=m，作法的合理顺序为（ ）
①延长CD到B，使BD=CD；②连结AB；③作△ADC，使DC=a，AC=b，AD=m
A．③①② B．①②③ C．②③① D．③②①
【答案】A
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；作图-三角形
【解析】【分析】需先作△ADC，进而延长，连接即可．
【解答】根据已知条件，能够确定的三角形是△ADC，故先作△ADC，使DC=a，AC=b，AD=m；再延长CD到B，使BD=CD；连接AB；即可得△ABC，
则作法的合理顺序为③①②，
故选A．
【点评】解答本题的关键是熟练掌握已知三角形的两边和其中一边上的中线作三角形的做法．
4．（2022七下·本溪期末）在如图所示的网格中，是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【知识点】作图-三角形
【解析】【解答】解：如图所示，
以BC为公共边的全等三角形有三个分别为，，，
以AB为公共边的全等三角形有一个为，
∴共有4个三角形与△ABC有一条公共边且全等，
故答案为：A．
【分析】根据全等三角形的判定，结合图形求解即可。
二、填空题（共4分）
5．（2022七下·海陵期末）如图，在正方形方格中，各正方形的顶点叫做格点，三个顶点都在格点上的三角形称为格点三角形。图中 是格点三角形，请你找出方格中所有与 全等，且以A为顶点的格点三角形．这样的三角形共有 个（ 除外）．
【答案】5
【知识点】三角形全等的判定（SSS）；作图-三角形
【解析】【解答】解：如图，，AB=1.
一共有5个.
故答案为：5.
【分析】观察△ABC的三边长分别为1，，，利用SSS可得到与△ABC全等的格点三角形的个数.
三、作图题（共9题，共74分）
6．（2022七下·新城期末）如图，已知和线段，请用尺规作图法作等腰，使得，． （保留作图痕迹，不写作法）
【答案】解：如图，△ABC为所作．
【知识点】作图-三角形
【解析】【分析】首先利用作一个角等于已知角的方法作∠NAM=∠α，然后分别在AN、AM上截取AC=m，AB=m，然后连接BC即可.
7．（2022七下·神木期末）尺规作图，已知∠，线段a，b，求作△ABC，使得，，．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】解：即为所求作的三角形，
【知识点】作图-三角形
【解析】【分析】作∠B=∠α，然后截取AB=2a，BC=b，再连接AC即可.
8．（2021七下·青岛期末）已知：如图，线段 ，求作： ，使 ，且 ， ．
【答案】解：如图，△ABC即为所求．
【知识点】作图-三角形
【解析】【分析】作射线BM，在射线BM上截取BC=a，在线段BC的上方作∠EBC=∠FCB=β，BE与CF交于点A，则△ABC即为所求．
9．（2021七下·昌图期末）已知三角形的三条边，求作这个三角形．（不要求写做法）
已知：线段a，b，c．求作：△ABC，使AB＝c，AC＝b，BC＝a．
【答案】解：如图，△ABC为所作．
先在射线BM上截取BC＝a，再分别以B、C为圆心，c、b为半径画弧，两弧相交于点A，连接AB、AC即可．
【知识点】作图-三角形
【解析】【分析】根据要求作出三角形即可。
10．（2021七下·龙泉驿期末）已知∠α，线段m，n，求作：△ABC，使得∠A＝∠α，AB＝m，AC＝n.（要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法及证明，必须作答）
【答案】解：如图：
作图步骤：
①作射线 ，在射线 上截取 ，
②以角 的顶点为圆心，任意长度为半径作弧，交角 的两边于 ，然后以 点为圆心，同样长度为半径作弧，交 于点 ，
③以 为圆心， 的长度为半径作弧交已知弧于点 ，
④作射线 ，在射线 上截取 ，
⑤连接
则 即为所求作的三角形.
【知识点】作图-三角形
【解析】【分析】作射线AD ，在射线AD上截取AC=n ，以α的顶点为圆心，任意长度为半径作弧，交α的两边于M、N，然后以A点为圆心，同样长度为半径作弧，交AC于点P，以P为圆心，MN的长度为半径作弧交已知弧于点Q，作射线AQ，在射线AQ上截取AB=m，最后连接BC即可.
11．（2021七下·太原期末）如图，已知∠α，∠β和线段c。求作：△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β，AB=c。(要求：在指定的作图区域内用尺规作图，保留作图痕迹，不写画法)
【答案】解：如图，
结论：△ABC为所求作的图形
【知识点】作图-三角形
【解析】【分析】利用尺规作图作出∠A=∠α， AB=c，∠B=∠β ，再把两边的交点标注点C，即可求解.
12．（2022七下·南海期末）如图，在中，，D为AB边上一点、尺规作图．作，使，且，点E在外．
【答案】解：如图所示：在 ABC外作∠BCE=∠ACD，在CF上截取CE=CD
△BCE即为所求作
在 ADC与 BEC中，
，
∴ ADC BEC．
【知识点】作图-三角形
【解析】【分析】 在 ABC外作∠BCE=∠ACD，在CF上截取CE=CD ，连接BE，则△BCE即为所求 .
13．（2022七下·龙口期末）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）
已知：线段a，h（如图）.
求作：△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=h.
【答案】解：①以点B为端点画射线，以B为圆心，以a为半径画弧交射线于点C，
②以点B为圆心，以大于为半径画弧，以点C为圆心以相同长度为半径画弧，连接两个交点交于BC于点D，
③以点D为圆心，以h为半径画弧交直线于点A，
④连接AB，AC，BC，
∴△ABC就是即为所求，如图所示：
【知识点】作图-三角形
【解析】【分析】根据要求作出图象即可。
14．（2022七下·南京期末）如图，已知△ABC，用无刻度的直尺和圆规按以下要求作图（不写作法，保留作图痕迹）．
（1）在图①中作△BCD，使其面积与△ABC 的面积相等（作出一个满足条件的即可）；
（2）在图②中作△BCE，使其面积是△ABC 面积的2倍（作出一个满足条件的即可）．
【答案】（1）解：如图①，△BCD 即为所求
（2）解：如图②，△BCE 即为所求
【知识点】作图-三角形
【解析】【分析】(1)过A点作∠AMN等于∠ABC，则得AM∥BC，在AM上任取一点D，根据同底等高，则知 △BCD的面积等于△ABC 的面积 ；
(2)延长BA至AE，使BA=AE，根据等底同高，则知 △BCE的面积是△ABC 面积的2倍.
四、解答题（共2题，共26分）
15．（2022七下·太原期末）已知：如图，△ABC．
（1）求作：△DEF，使△DEF≌△ABC（要求：在指定区域尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）根据作图过程写出△DEF≌△ABC的依据： ．
【答案】（1）解：作直线EF，以E为圆心，BC为半径画弧交EF于点F点，再分别以E、F为圆心，以AB、AC为半径画弧，两弧交于点D，连接ED、DF，则△DEF即为所求，（方法不唯一）作图如下：
（2）SSS
【知识点】三角形全等的判定（SSS）；作图-三角形
【解析】【解答】解：（2）∵EF=BC，DF=AC，AB=DE，
∴根据SSS有：△DEF≌△ABC，
即依据为：SSS．
【分析】（1）分别作出三边等于已知三角形的三边即可；
（2）根据三边对应相等的两个三角形全等进行解答.
16．（2021七下·淮阴期末）定义：在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的图形能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.
（1）如图1， 是 的平分线，请你在图1中画出一对以 所在直线为对称轴的全等三角形.
（2）请你仿照这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
①如图2，在 中， ， ， 、 分别是 、 的平分线， 、 相交于点 .猜想 和 之间的数量关系，直接写出结论.
②如图3，在 中，如果 ，而①中的其它条件不变，请问①中结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.
【答案】（1）解：如图，△OQM与△OQN即为所求作，
∵OP是∠MON的平分线，
∴∠MOP=∠NOP，
∵OM=ON，OP= OP，
∴△OQM≌△OQN；
（2）解：①FE=FD.
如图，在AC上截取AG=AE，连接FG.
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠EAF=∠GAF，
在△EAF和△GAF中，
∵ ，
∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴FE=FG，
∵∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴∠FAC= ∠BAC，∠FCA= ∠ACB，且∠EAF=∠GAF，
∴∠FAC+∠FCA= （∠BAC+∠ACB）= （180°-∠B）=60°，
∴∠AFC=120°，
∴∠CFD=60°=∠CFG，
∴∠AFG=60°，
又∵∠EFA =∠CFD=60°，
∴∠EFA=∠GFA =60°，
在△FDC和△FGC中，
∵ ，
∴△FDC≌△FGC（ASA），
∴FD=FG.
∴FE=FD.
②结论FE=FD仍然成立.
在AC上截取 如图：
同①可得△EAF≌△HAF，
∴FE=FH，∠EFA=∠HFA.
∵∠FAC= ∠BAC，∠FCA= ∠ACB，
∴∠FAC+∠FCA= （∠BAC+∠ACB）= （180°-∠B）=60°.
∴∠AFC=180°-（∠FAC+∠FCA）=120°.
∴∠EFA=∠HFA=180°-120°=60°.
同①可得△FDC≌△FHC，
∴FD=FH.
∴FE=FD.
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定（SAS）；作图-三角形；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）作MQ⊥OP交OP于点Q，连接NQ即可；
（2）①在AC上截取AG=AE，连接FG，由角平分线的概念可得∠EAF=∠GAF，然后证明△EAF≌△GAF，得到FE=FG，由角平分线的概念结合三角形内角和定理可得∠AFC=120°，由邻补角的性质可得∠CFD=∠CFG=∠AFG=60°，进一步推出∠GFC=∠DFC，证明△FDC≌△FGC，据此可得结论；
②在AC上截取AH=AE，同①可得△EAF≌△HAF，△FDC≌△FHC，据此解答.
1 / 1初中数学同步训练必刷题（北师大版七年级下册4.4 用尺规作三角形）
一、单选题（每题4分，共16分）
1．已知三边作三角形，用到的基本作图是（ ）
A．作一个角等于已知角
B．平分一个已知角
C．在射线上截取一线段等于已知线段
D．作一条直线的垂线
2．（2015七下·深圳期中）已知下列条件，不能作出唯一三角形的是（ ）
A．两边及其夹角 B．两角及其夹边
C．三边 D．两边及除夹角外的另一个角
3．已知线段a、b和m，求作△ABC，使BC=a，AC=b，BC上的中线AD=m，作法的合理顺序为（ ）
①延长CD到B，使BD=CD；②连结AB；③作△ADC，使DC=a，AC=b，AD=m
A．③①② B．①②③ C．②③① D．③②①
4．（2022七下·本溪期末）在如图所示的网格中，是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（共4分）
5．（2022七下·海陵期末）如图，在正方形方格中，各正方形的顶点叫做格点，三个顶点都在格点上的三角形称为格点三角形。图中 是格点三角形，请你找出方格中所有与 全等，且以A为顶点的格点三角形．这样的三角形共有 个（ 除外）．
三、作图题（共9题，共74分）
6．（2022七下·新城期末）如图，已知和线段，请用尺规作图法作等腰，使得，． （保留作图痕迹，不写作法）
7．（2022七下·神木期末）尺规作图，已知∠，线段a，b，求作△ABC，使得，，．（不写作法，保留作图痕迹）
8．（2021七下·青岛期末）已知：如图，线段 ，求作： ，使 ，且 ， ．
9．（2021七下·昌图期末）已知三角形的三条边，求作这个三角形．（不要求写做法）
已知：线段a，b，c．求作：△ABC，使AB＝c，AC＝b，BC＝a．
10．（2021七下·龙泉驿期末）已知∠α，线段m，n，求作：△ABC，使得∠A＝∠α，AB＝m，AC＝n.（要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法及证明，必须作答）
11．（2021七下·太原期末）如图，已知∠α，∠β和线段c。求作：△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β，AB=c。(要求：在指定的作图区域内用尺规作图，保留作图痕迹，不写画法)
12．（2022七下·南海期末）如图，在中，，D为AB边上一点、尺规作图．作，使，且，点E在外．
13．（2022七下·龙口期末）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）
已知：线段a，h（如图）.
求作：△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=h.
14．（2022七下·南京期末）如图，已知△ABC，用无刻度的直尺和圆规按以下要求作图（不写作法，保留作图痕迹）．
（1）在图①中作△BCD，使其面积与△ABC 的面积相等（作出一个满足条件的即可）；
（2）在图②中作△BCE，使其面积是△ABC 面积的2倍（作出一个满足条件的即可）．
四、解答题（共2题，共26分）
15．（2022七下·太原期末）已知：如图，△ABC．
（1）求作：△DEF，使△DEF≌△ABC（要求：在指定区域尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）根据作图过程写出△DEF≌△ABC的依据： ．
16．（2021七下·淮阴期末）定义：在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的图形能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.
（1）如图1， 是 的平分线，请你在图1中画出一对以 所在直线为对称轴的全等三角形.
（2）请你仿照这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
①如图2，在 中， ， ， 、 分别是 、 的平分线， 、 相交于点 .猜想 和 之间的数量关系，直接写出结论.
②如图3，在 中，如果 ，而①中的其它条件不变，请问①中结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】作图-直线、射线、线段；作图-三角形
【解析】【分析】根据三边做三角形用到的基本作图方法即可判断。
【解答】根据三边做三角形用到的基本作图是：作一条线段等于已知线段．
故选C．
【点评】解答本题的关键是熟练掌握根据三边做三角形用到的基本作图是：作一条线段等于已知线段．
2．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；作图-三角形
【解析】【解答】解：A、B、C分别符合全等三角形的判定SAS、ASA、SSS，故能作出唯一三角形；
D、已知两边及除夹角外的另一个角，不能作出唯一三角形，如等腰三角形底边上的任一点与顶点之间的线段两侧的三角形，错误；
故选D．
【分析】看是否符合所学的全等的公理或定理即可．
3．【答案】A
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；作图-三角形
【解析】【分析】需先作△ADC，进而延长，连接即可．
【解答】根据已知条件，能够确定的三角形是△ADC，故先作△ADC，使DC=a，AC=b，AD=m；再延长CD到B，使BD=CD；连接AB；即可得△ABC，
则作法的合理顺序为③①②，
故选A．
【点评】解答本题的关键是熟练掌握已知三角形的两边和其中一边上的中线作三角形的做法．
4．【答案】A
【知识点】作图-三角形
【解析】【解答】解：如图所示，
以BC为公共边的全等三角形有三个分别为，，，
以AB为公共边的全等三角形有一个为，
∴共有4个三角形与△ABC有一条公共边且全等，
故答案为：A．
【分析】根据全等三角形的判定，结合图形求解即可。
5．【答案】5
【知识点】三角形全等的判定（SSS）；作图-三角形
【解析】【解答】解：如图，，AB=1.
一共有5个.
故答案为：5.
【分析】观察△ABC的三边长分别为1，，，利用SSS可得到与△ABC全等的格点三角形的个数.
6．【答案】解：如图，△ABC为所作．
【知识点】作图-三角形
【解析】【分析】首先利用作一个角等于已知角的方法作∠NAM=∠α，然后分别在AN、AM上截取AC=m，AB=m，然后连接BC即可.
7．【答案】解：即为所求作的三角形，
【知识点】作图-三角形
【解析】【分析】作∠B=∠α，然后截取AB=2a，BC=b，再连接AC即可.
8．【答案】解：如图，△ABC即为所求．
【知识点】作图-三角形
【解析】【分析】作射线BM，在射线BM上截取BC=a，在线段BC的上方作∠EBC=∠FCB=β，BE与CF交于点A，则△ABC即为所求．
9．【答案】解：如图，△ABC为所作．
先在射线BM上截取BC＝a，再分别以B、C为圆心，c、b为半径画弧，两弧相交于点A，连接AB、AC即可．
【知识点】作图-三角形
【解析】【分析】根据要求作出三角形即可。
10．【答案】解：如图：
作图步骤：
①作射线 ，在射线 上截取 ，
②以角 的顶点为圆心，任意长度为半径作弧，交角 的两边于 ，然后以 点为圆心，同样长度为半径作弧，交 于点 ，
③以 为圆心， 的长度为半径作弧交已知弧于点 ，
④作射线 ，在射线 上截取 ，
⑤连接
则 即为所求作的三角形.
【知识点】作图-三角形
【解析】【分析】作射线AD ，在射线AD上截取AC=n ，以α的顶点为圆心，任意长度为半径作弧，交α的两边于M、N，然后以A点为圆心，同样长度为半径作弧，交AC于点P，以P为圆心，MN的长度为半径作弧交已知弧于点Q，作射线AQ，在射线AQ上截取AB=m，最后连接BC即可.
11．【答案】解：如图，
结论：△ABC为所求作的图形
【知识点】作图-三角形
【解析】【分析】利用尺规作图作出∠A=∠α， AB=c，∠B=∠β ，再把两边的交点标注点C，即可求解.
12．【答案】解：如图所示：在 ABC外作∠BCE=∠ACD，在CF上截取CE=CD
△BCE即为所求作
在 ADC与 BEC中，
，
∴ ADC BEC．
【知识点】作图-三角形
【解析】【分析】 在 ABC外作∠BCE=∠ACD，在CF上截取CE=CD ，连接BE，则△BCE即为所求 .
13．【答案】解：①以点B为端点画射线，以B为圆心，以a为半径画弧交射线于点C，
②以点B为圆心，以大于为半径画弧，以点C为圆心以相同长度为半径画弧，连接两个交点交于BC于点D，
③以点D为圆心，以h为半径画弧交直线于点A，
④连接AB，AC，BC，
∴△ABC就是即为所求，如图所示：
【知识点】作图-三角形
【解析】【分析】根据要求作出图象即可。
14．【答案】（1）解：如图①，△BCD 即为所求
（2）解：如图②，△BCE 即为所求
【知识点】作图-三角形
【解析】【分析】(1)过A点作∠AMN等于∠ABC，则得AM∥BC，在AM上任取一点D，根据同底等高，则知 △BCD的面积等于△ABC 的面积 ；
(2)延长BA至AE，使BA=AE，根据等底同高，则知 △BCE的面积是△ABC 面积的2倍.
15．【答案】（1）解：作直线EF，以E为圆心，BC为半径画弧交EF于点F点，再分别以E、F为圆心，以AB、AC为半径画弧，两弧交于点D，连接ED、DF，则△DEF即为所求，（方法不唯一）作图如下：
（2）SSS
【知识点】三角形全等的判定（SSS）；作图-三角形
【解析】【解答】解：（2）∵EF=BC，DF=AC，AB=DE，
∴根据SSS有：△DEF≌△ABC，
即依据为：SSS．
【分析】（1）分别作出三边等于已知三角形的三边即可；
（2）根据三边对应相等的两个三角形全等进行解答.
16．【答案】（1）解：如图，△OQM与△OQN即为所求作，
∵OP是∠MON的平分线，
∴∠MOP=∠NOP，
∵OM=ON，OP= OP，
∴△OQM≌△OQN；
（2）解：①FE=FD.
如图，在AC上截取AG=AE，连接FG.
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠EAF=∠GAF，
在△EAF和△GAF中，
∵ ，
∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴FE=FG，
∵∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴∠FAC= ∠BAC，∠FCA= ∠ACB，且∠EAF=∠GAF，
∴∠FAC+∠FCA= （∠BAC+∠ACB）= （180°-∠B）=60°，
∴∠AFC=120°，
∴∠CFD=60°=∠CFG，
∴∠AFG=60°，
又∵∠EFA =∠CFD=60°，
∴∠EFA=∠GFA =60°，
在△FDC和△FGC中，
∵ ，
∴△FDC≌△FGC（ASA），
∴FD=FG.
∴FE=FD.
②结论FE=FD仍然成立.
在AC上截取 如图：
同①可得△EAF≌△HAF，
∴FE=FH，∠EFA=∠HFA.
∵∠FAC= ∠BAC，∠FCA= ∠ACB，
∴∠FAC+∠FCA= （∠BAC+∠ACB）= （180°-∠B）=60°.
∴∠AFC=180°-（∠FAC+∠FCA）=120°.
∴∠EFA=∠HFA=180°-120°=60°.
同①可得△FDC≌△FHC，
∴FD=FH.
∴FE=FD.
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定（SAS）；作图-三角形；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）作MQ⊥OP交OP于点Q，连接NQ即可；
（2）①在AC上截取AG=AE，连接FG，由角平分线的概念可得∠EAF=∠GAF，然后证明△EAF≌△GAF，得到FE=FG，由角平分线的概念结合三角形内角和定理可得∠AFC=120°，由邻补角的性质可得∠CFD=∠CFG=∠AFG=60°，进一步推出∠GFC=∠DFC，证明△FDC≌△FGC，据此可得结论；
②在AC上截取AH=AE，同①可得△EAF≌△HAF，△FDC≌△FHC，据此解答.
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