数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.1数列的概念及简单表示 课件（共41张ppt）

(共41张PPT)
4.1 数列的概念与简单表示
数列
概念
表示
表格
图象
通项公式
递推公式
特殊数列
等差数列
等比数列
类比
概念
前n项和
通项公式
应用
知识框图
1.王芳从1岁到17岁，每年生日那天测量身高，将这些身高数据(单位：cm)依次排成一列数：
75，87，96，103，110，116，120，128，138，145，153，158，160，162，163，165，168． ①
实例引入
这些数之间能交换位置吗？
2.在两河流域发掘的一块泥版(编号 K90,约产生于公元前 7 世纪)上，有一列依次表示一个月中从第 1 天到第 15 天每天月亮可见部分的数：
5，10，20，40，80，96，112，128，144，160，176，192，208，224，240． ②
注：把满月分成240份，从初一到十五每天月亮的可见部分可用一个代表份数的数来表示.
9
10
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13
12
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15
1
2
4
5
6
7
8
3
这些数之间能交换位置吗？
③
归纳: 上面三个例子的共同特征是什么？
你能仿照上面的叙述，说明③也是具有确定顺序的一列数吗？
定义：
按照一定顺序排列的一列数叫做 数列
数列中的每一个数叫做这个数列的______.
项
排在第一位的数称为这个数列的第1项（ ），排在第二位的数称为这个数列的第2项，
···，排在第n位的数称为这个数列这个数列的第n项.
首项
探究新知
数列的一般形式可以写成：
注: 右下角标表示这一项在数列中的位置序号
数列与集合之间有怎样的区别与联系
提示 (1)集合中的元素具有确定性、无序性、互异性,而数列中的项具有确定性、有序性、可重复性;
(2)集合中的元素可以是数,也可以是点、方程以及其他事物等,但数列中的每一项必须是数;
(3)数列{an}不是集合,它是数列的一个整体符号,{an}表示数列a1,a2,a3,…,an,…,而an表示数列的第n项.
思考
1．下列说法中，正确的是(　　)
A．数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}
B．数列1，0，－1，－2与数列－2，－1，0，1是相同的数列
C．数列的项可以相等
D．数列a，b，c和数列c，b，a一定不是同一数列
C
练习：
序号
项
数列与函数的关系
探究新知
想一想：数列作为一种特殊的函数，它与以前我们学过的函数有什么区别？
f(1) f(2) f(3) … f(n) …
另一方面，对于函数y=f(x)，如果f(n) (n∈N*)有意义，那么f(1)， f(2) , ··· , f(n), ···构成了一个数列{f(n)}.
与其它函数一样，数列可以用表格和图象来表示．
例如数列①：
思考：数列中的项的大小随序号的变化趋势如何？
探究新知
分类依据 类型 含义
按项的个数 有穷数列 项数有限的数列
无穷数列 项数无限的数列
按项的变 化趋势 递增数列 从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列
an+1>an
递减数列 从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列
an+1常数列 各项都相等的数列
摆动数列 从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列
数列的分类
探究一
数列的概念及分类
变式训练 1下列数列既是递增数列又是无穷数列的是(　　)
A.-1,-2,-3,-4,…
C.-1,-2,-4,-8,… D.5,6,7,8
答案 B
解析 A,B,C中的数列都是无穷数列,A,C中的数列都是递减数列,虽然D中的数列是递增数列,但是该数列只有四项,是一个有穷数列,故只有B中的数列既是递增数列又是无穷数列.
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式．
通项公式
探究新知
显然，通项公式就是数列的函数解析式，根据通项公式可以写出数列的各项.
微练习
若数列{an}的通项公式是an=n2-1,则该数列的第10项a10=　　　　　,224是该数列的第　　　　　项.
答案 99　15
解析 a10=102-1=99.令an=n2-1=224,解得n=15,即224是该数列的第15项.
解:
(1)
(2)
探究二
根据数列的前几项求通项公式
1.通项公式能够很清楚的表示数列中项数和项的关系;
2.由通项公式可以求出数列中的每一项；
3.检验某数是否是该数列中的一项.
通项公式的作用：
注意：
① 有些数列的通项公式不是唯一的；如：数列1，-1，1，-1，…
②不是每一个数列都能写出它的通项公式. 如：1，24，8，3，19
规律方法 (1)根据数列的前几项写通项公式的具体思路为:
①先统一项的结构,如都化成分数、根式等.
②分析这一结构中变化的部分与不变的部分,探索变化部分的规律与对应序号间的关系.
③对于符号交替出现的情况,可先观察其绝对值,再用(-1)k处理符号.
④对于周期出现的数列,考虑利用周期函数的知识解答.
(2)常见数列的通项公式如下:
①数列-1,1,-1,1,…的一个通项公式是an=(-1)n,数列1,-1,1,-1,…的一个通项公式是an=(-1)n+1或(-1)n-1.
②数列1,2,3,4,…的一个通项公式是an=n.
③数列1,3,5,7,…的一个通项公式是an=2n-1.
④数列2,4,6,8,…的一个通项公式是an=2n.
⑤数列1,2,4,8,…的一个通项公式是an=2n-1.
⑥数列1,4,9,16,…的一个通项公式是an=n2.
探究三
数列通项公式的应用
方法技巧(1)利用数列的通项公式求某项的方法
数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系,只要用序号代替公式中的n,就可以求出数列的相应项.
(2)判断某数值是否为该数列的项的方法
先假定它是数列中的第n项,然后列出关于n的方程.若方程解为正整数,则是数列中的项;若方程无解或解不是正整数,则不是该数列中的项.
探究四
数列的单调性及其应用
角度1　数列单调性判断
例4已知数列{an}的通项公式 (k∈R).
(1)当k=1时,判断数列{an}的单调性;
(2)若数列{an}是递减数列,求实数k的取值范围.
分析(1)由于数列的通项公式已知,因此可以通过比较数列的相邻两项an与an+1的大小来确定数列的单调性;(2)可根据数列是递减数列,得出an与an+1的大小关系,从而确定k的取值范围.
反思感悟 判断数列的单调性,一般是将其转化为比较相邻两项的大小,常用的方法有作差法、作商法.作差法判断数列单调性的步骤为先作差,再变形、定号,最后下结论.作商法适用于各项都是同号的数列,且应比较比值与1的大小关系.
A.递增数列 B.递减数列
C.常数列 D.摆动数列
答案 B
角度2　利用数列单调性求数列最大(小)项
例5(1)已知数列{an}满足an=n2-5n-6,n∈N*.
①数列中有哪些项是负数
②当n为何值时,an取得最小值 求出此最小值.
(2)已知数列{an}的通项公式an=(n+1) (n∈N*),试问数列{an}有没有最大项 若有,求出最大项和最大项的项数;若没有,请说明理由.
分析(1)①根据数列的函数的特征,以及不等式的解法,即可求出;②根据二次函数的性质即可求出.
∴当n<9时,an+1-an>0,即an+1>an;
当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an;当n>9时,an+1-an<0,即an+1故a1a11>a12>…,
∴数列中有最大项,最大项为第9,10项,
方法技巧求数列的最大(小)项的两种方法
(1)由于数列是特殊的函数,所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质,如单调性、最大值、最小值等,此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集{1,2,…,n}这一条件.
素养形成
归纳法求数列的通项公式
典例 观察下列5个图形的相应小圆圈的个数的变化规律,猜想第n个图形中有　　　　　个小圆圈.
分析仔细观察每个图形中小圆圈的个数与对应顺序之间的关系,从而归纳出第n个图形中小圆圈的个数.
解析 5个图形中小圆圈的个数分别为1,1×2+1,2×3+1,3×4+1,4×5+1,…,故第n个图形中小圆圈的个数为(n-1)·n+1=n2-n+1.
答案 n2-n+1
反思感悟 归纳是逻辑推理的一类,可以发现新命题.本例完美诠释了“观察现象,归纳规律,大胆猜想,小心求证”这一认识发展规律.
1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数.（离散的数的函数）
2.数列的分类：
（1）按项的大小：递增数列、递减数列、常数列
（2）按项的个数：有穷数列、无穷数列
3.数列的通项公式（不唯一）
课堂小结