8.6.1 直线与直线垂直+8.6.2 直线与平面垂直 学案（含答案）

8.6.1 直线与直线垂直+8.6.2 直线与平面垂直
——2022-2023学年高一数学
人教A版（2019）必修第二册课前导学
一、新知自学
1.异面直线所成的角：如图，已知两条异面直线，经过空间任一点分别作直线，直线与所成的角叫做异面直线与 （或夹角）.
2.异面直线所成的角的取值范围： .
3.两条异面直线互相垂直：两条异面直线所成的角是直角，即 时，直线与直线垂直，记作 .
4.直线与平面垂直：一般地，如果直线与平面内的 直线都垂直，就说直线与平面互相垂直，记作 .直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，它们唯一的公共点叫做垂足.
图形语言：
5.直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条 直线垂直，那么该直线与此平面垂直.，，，， .
图形语言：
6.直线和平面所成角的定义：如图，一条直线l与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做 ，过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影. 平面的一条斜线和它在平面上的 所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.取值范围： .
7.直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.， .
图形语言：
8.点到平面的距离：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的 ，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.
9.直线到平面的距离：一条直线与一个平面 时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离.
10.两平行平面间的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都 ，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.
二、问题思考
1.求两条异面直线所成的角的一般步骤？
2.证明线面垂直的方法？
3.求斜线与平面所成角的步骤？
三、练习检测
1.下列条件中,能使直线平面的是( )
A.
B.
C.
D.
2.在正方体中，E为棱的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为( )
A. B. C. D.
3.如图，在正方体中，M，N分别为AC，的中点，则下列说法中错误是( )
A.平面
B.
C.直线MN与平面ABCD所成的角为45°
D.异面直线MN与所成的角为60°
4.如图，在直三棱柱中，，P，Q分别为，的中点.求证：
（1）平面ABC；
（2）平面.
【答案及解析】
一、新知自学
1.所成的角
2.
3.
4.任意一条
5.相交
6.斜足 射影
7.
8.垂线段
9.平行
10.相等
二、问题思考
1.（1）构造：根据异面直线的定义，用平移法（常利用三角形中位线、平行四边形的性质）作出异面直线所成的角.
（2）证明：证明作出的角就是要求的角.
（3）计算：求角度（常利用三角形的有关知识）.
（4）结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角.
2.（1）线线垂直证明线面垂直：
①定义法，由线面垂直可得出线线垂直；
②判定定理，要着力寻找直线垂直于平面内哪两条相交直线（有时需作辅助线）；结合平面图形的性质（如勾股定理逆定理、等腰三角形底边中线等）及一条直线与两条平行线中的一条垂直，则也与另一条垂直等结论来论证线线垂直，再推出线面垂直.
（2）平行转化法（利用推论）：①，；②，.
3.（1）作图：作（或找）出斜线在平面内的射影，作射影
要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算.
（2）证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角.
（3）计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算.
三、练习检测
1.答案：D
解析：由线面垂直的判定定理易知D正确.
2.答案：C
解析：在正方体中，，所以异面直线AE与CD所成的角即为.设正方体的边长为2a，则由E为棱的中点，可得，所以.易知，则.故选C.
3.答案：D
解析：如图，连接BD，，由M，N分别为AC，的中点知.因为平面，平面，所以平面，故A正确.易知平面，平面，所以.又，所以，故B正确.易知MN与平面ABCD所成的角即为与平面ABCD所成的角，为45°，故C正确.易知MN与所成角即为与所成角，为45°，故D错误.故选D.
4.解析：（1）取AB的中点D，连接PD，CD.
在中，因为P，D分别为，AB的中点，
所以，.
在直三棱柱中，，.
因为Q为棱的中点，所以，且.
所以，且，
所以四边形PDCQ为平行四边形，从而.
又因为平面ABC，平面ABC，
所以平面ABC.
（2）在直三棱柱中，平面ABC.
因为平面ABC，所以.
在三角形ABC中，，D为AB的中点，所以.
因为，平面，平面，
所以平面.
又由（1）知，所以平面.
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