8.6.3 平面与平面垂直 学案（含答案）

8.6.3 平面与平面垂直
——2022-2023学年高一数学
人教A版（2019）必修第二册课前导学
一、新知自学
1.二面角：从一条直线出发的两个 所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.棱为，面分别为的二面角记为 .也可在内（棱以外的半平面部分）分别取点，记作二面角 .
2.二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的 和，则射线和构成的叫做二面角的 .，，，，，是二面角的平面角.取值范围：
3.平面与平面垂直：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是 ，就说这两个平面互相垂直.平面与平面垂直，记作 .
4.平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面过另一个平面的 ，那么这两个平面垂直.， .
图形语言：
5.平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的 ，那么这条直线与另一个平面垂直.，，， .
图形语言：
二、问题思考
1.证明面面垂直的常用方法有哪些？
2.在应用面面垂直的性质定理时，要注意什么？
3.解决空间问题的原则是什么？
三、练习检测
1.在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是( )
A.平面PDF B.平面PAE
C.平面平面ABC D.平面平面ABC
2.（多选）已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列说法中正确的是( )
A.若，，，则
B.若m，，，，则
C.若，，，则
D.若，，，，则
3.在三棱锥中，，则二面角的大小为_________.
4.如图，在四棱锥中，，，，平面底面ABCD，，E和F分别是CD和PC的中点.
求证：
(1)底面ABCD.
(2)平面平面PCD.
【答案及解析】
一、新知自学
1.半平面
2.射线 平面角
3.直二面角
4.垂线
5.交线
二、问题思考
1.（1）定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角；
（2）判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为线面垂直；
（3）性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面.
2.（1）两个平面垂直是前提条件；
（2）直线必须在其中一个平面内；
（3）直线必须垂直于它们的交线.
3.空间问题转化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则，解题时，要抓住几何图形自身的特点，如等腰（边）三角形的三线合一、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等，还可以通过解三角形，产生一些题目所需要的条件，对于一些较复杂的问题，注意应用转化思想解决问题.
三、练习检测
1.答案：D
解析：如图，因为，所以平面PDF.由正四面体的性质知，，所以平面PAE，所以平面PAE，平面平面ABC.
2.答案：AD
解析：A选项，若，，则，，则，所以该选项正确；B选项，若m，，，，只有m与n相交，才能得出，所以该选项错误；C选项，若，，，则m，n可能平行也可能异面；D选项，根据面面垂直的性质可得，若，，，，则该选项正确.故选AD.
3.答案：60°
解析：取AB中点M，连接PM，MC，则，
所以就是二面角的平面角.
由已知易求得：，又，所以即为所求.
4.解析：(1)因为平面底面ABCD，
平面底面平面，
所以底面ABCD.
(2)因为，四边形ABED是平行四边形，
所以.
由(1)知底面ABCD，所以.
因为，所以平面PAD，所以.
因为E和F分别是CD和PC的中点，
所以，所以.
因为，所平面BEF.
因为平面PCD，所以平面平面PCD.
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