人教课标A版数学必修3第三章 第3节 几何概型 （含答案）

一、知识点：
1、几何概型的定义与特点：
①定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．
②特点：(ⅰ)可能出现的结果有无限多个；(ⅱ)每个结果发生的可能性相等．
2、几何概型中事件A的概率的计算公式：
P(A)＝.
一、典例讲解：
例1．取一根长为5 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于2 m的概率有多大？
变式1．(2016·全国乙卷)某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是(　　)
A. B. C. D.
例2．(2014·辽宁高考)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是(　　)
A. B. C. D.
变式2．如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是(　　)
A．1－ B.－1 C．2－ D.
例3．如图，在棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1 中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD A1B1C1D1 内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．
变式3．如图所示，有一瓶2升的水，其中含有1个细菌．用一小水杯从这瓶水中取出0.1升水，求小杯水中含有这个细菌的概率．
[学业水平达标练]
题组1　与长度有关的几何概型
1．在区间[－2,3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为(　　)
A. B. C. D.
2．已知地铁列车每10 min一班，在车站停1 min，则乘客到达站台立即乘上车的概率是(　　)
A. B. C. D.
3．在区间[－2,4]上随机取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m＝________.
4．如图所示，在单位圆O的某一直径上随机地取一点Q，求过点Q且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率．
题组2　与面积、体积有关的几何概型
5.在如图所示的正方形中随机撒入1 000粒芝麻，则撒入圆内的芝麻数大约为________(结果保留整数)．
6．一个球型容器的半径为3 cm，里面装有纯净水，因为实验人员不小心混入了一个H7N9 病毒，从中任取1 mL水，含有H7N9 病毒的概率是________．
7．(2015·西安质检)如图，在正方体ABCD A1B1C1D1 内随机取点，则该点落在三棱锥A1 ABC内的概率是________．
8．如图所示，图2中实线围成的部分是长方体(图1)的平面展开图，其中四边形ABCD是边长为1的正方形．若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是，则此长方体的体积是________．
9．在街道旁边有一游戏：在铺满边长为9 cm的正方形塑料板的宽广地面上，掷一枚半径为1 cm的小圆板．规则如下：每掷一次交5角钱，若小圆板压在边上，可重掷一次；若掷在正方形内，需再交5角钱才可玩；若压在正方形塑料板的顶点上，可获得一元钱．试问：
(1)小圆板压在塑料板的边上的概率是多少？
(2)小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少？
[能力提升综合练]
1．下列关于几何概型的说法中，错误的是(　　)
A．几何概型是古典概型的一种，基本事件都具有等可能性
B．几何概型中事件发生的概率与它的位置或形状无关
C．几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限多个
D．几何概型中每个结果的发生都具有等可能性
2．已有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是(　　)
3．如图，在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于的概率是(　　)
A. B. C. D.
4．已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机地取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为，则＝(　　)
A. B. C. D.
5．(2016·石家庄高一检测)如图，在平面直角坐标系内，射线OT落在60°角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠xOT内的概率为________．
6．一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中M是AB的中点．
一只苍蝇在几何体ADF BCE内自由飞行，求它飞入几何体F AMCD内的概率．
7．在长度为10 cm的线段AD上任取两点B，C.在B，C处折此线段而得一折线，求此折线能构成三角形的概率．
参考答案
一、知识点：
1、几何概型的定义与特点：
①定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．
②特点：(ⅰ)可能出现的结果有无限多个；(ⅱ)每个结果发生的可能性相等．
2、几何概型中事件A的概率的计算公式：
P(A)＝.
一、典例讲解：
例1．取一根长为5 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于2 m的概率有多大？
[尝试解答]　如图所示．
记“剪得两段绳长都不小于2 m”为事件A.把绳子五等分，当剪断位置处在中间一段上时，事件A发生．由于中间一段的长度等于绳长的，
所以事件A发生的概率P(A)＝.
变式1．(2016·全国乙卷)某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是(　　)
A. B. C. D.
解析：选B　如图，
7：50至8：30之间的时间长度为40 分钟，而小明等车时间不超过10 分钟是指小明在7：50至8：00之间或8：20至8：30之间到达发车站，此两种情况下的时间长度之和为20 分钟，由几何概型概率公式知所求概率为P＝＝.故选B.
例2．(2014·辽宁高考)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是(　　)
A. B. C. D.
[尝试解答]　由几何概型的概率公式可知，质点落在以AB为直径的半圆内的概率P＝＝＝，故选B.
答案：B
变式2．如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是(　　)
A．1－ B.－1 C．2－ D.
解析：选A　由几何概型知所求的概率P＝＝＝1－.
例3．如图，在棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1 中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD A1B1C1D1 内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．
[尝试解答]　点P到点O的距离大于1的点位于以O为球心，以1为半径的半球外．记点P到点O的距离大于1为事件A，则P(A)＝＝1－.
答案：1－
变式3．如图所示，有一瓶2升的水，其中含有1个细菌．用一小水杯从这瓶水中取出0.1升水，求小杯水中含有这个细菌的概率．
解：记“小杯水中含有这个细菌”为事件A，则事件A的概率只与取出的水的体积有关，符合几何概型的条件．
∵小水杯中有0.1升水，原瓶中有2升水，
∴由几何概型求概率的公式得P(A)＝＝0.05.
[学业水平达标练]
题组1　与长度有关的几何概型
1．在区间[－2,3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为(　　)
A. B. C. D.
解析：选B　在区间[－2,3]上随机选取一个数X，则X≤1，即－2≤X≤1的概率为P＝.
2．已知地铁列车每10 min一班，在车站停1 min，则乘客到达站台立即乘上车的概率是(　　)
A. B. C. D.
解析：选A　试验的所有结果构成的区域长度为10 min，而构成事件A的区域长度为1 min，故P(A)＝.
3．在区间[－2,4]上随机取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m＝________.
解析：由|x|≤m，得－m≤x≤m，当m≤2时，由题意得＝，解得m＝2.5，矛盾，舍去．
当2答案：3
4．如图所示，在单位圆O的某一直径上随机地取一点Q，求过点Q且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率．
解：弦长不超过1，即|OQ|≥，而Q点在直径AB上是随机的，记事件A＝{弦长超过1}．
由几何概型的概率公式得P(A)＝＝.
∴弦长不超过1的概率为1－P(A)＝1－.
题组2　与面积、体积有关的几何概型
5.在如图所示的正方形中随机撒入1 000粒芝麻，则撒入圆内的芝麻数大约为________(结果保留整数)．
解析：设正方形边长为2a，则S正＝4a2，S圆＝πa2.
因此芝麻落入圆内的概率为P＝＝，大约有1 000×≈785(粒)．
答案：785
6．一个球型容器的半径为3 cm，里面装有纯净水，因为实验人员不小心混入了一个H7N9 病毒，从中任取1 mL水，含有H7N9 病毒的概率是________．
解析：水的体积为πR3＝×π×33＝36π(cm3)＝36π(mL)．故含有病毒的概率为P＝.
答案：
7．(2015·西安质检)如图，在正方体ABCD A1B1C1D1 内随机取点，则该点落在三棱锥A1 ABC内的概率是________．
解析：设正方体的棱长为a，则所求概率
P＝
＝＝.
答案：
8．如图所示，图2中实线围成的部分是长方体(图1)的平面展开图，其中四边形ABCD是边长为1的正方形．若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是，则此长方体的体积是________．
解析：设长方体的高为h，由几何概型的概率计算公式可知，质点落在长方体的平面展开图内的概率P＝＝，解得h＝3或h＝－(舍去)，故长方体的体积为1×1×3＝3.
答案：3
9．在街道旁边有一游戏：在铺满边长为9 cm的正方形塑料板的宽广地面上，掷一枚半径为1 cm的小圆板．规则如下：每掷一次交5角钱，若小圆板压在边上，可重掷一次；若掷在正方形内，需再交5角钱才可玩；若压在正方形塑料板的顶点上，可获得一元钱．试问：
(1)小圆板压在塑料板的边上的概率是多少？
(2)小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少？
解：(1)如图(1)所示，因为O落在正方形ABCD内任何位置是等可能的，小圆板与正方形塑料板ABCD的边相交接是在圆板的中心O到与它靠近的边的距离不超过1 cm时，所以O落在图中阴影部分时，小圆板就能与塑料板ABCD的边相交接，这个范围的面积等于92－72＝32(cm2)，因此所求的概率是＝.
(2)小圆板与正方形的顶点相交接是在圆心O与正方形的顶点的距离不超过小圆板的半径1 cm时，如图(2)阴影部分，四块合起来面积为π cm2，故所求概率是.
[能力提升综合练]
1．下列关于几何概型的说法中，错误的是(　　)
A．几何概型是古典概型的一种，基本事件都具有等可能性
B．几何概型中事件发生的概率与它的位置或形状无关
C．几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限多个
D．几何概型中每个结果的发生都具有等可能性
解析：选A　几何概型和古典概型是两种不同的概率模型，故选A.
2．已有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是(　　)
解析：选A　利用几何概型的概率公式，得P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝，
∴P(A)＞P(C)＝P(D)＞P(B)，故选A.
3．如图，在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于的概率是(　　)
A. B. C. D.
解析：选C　因为△ABC与△PBC是等高的，所以事件“△PBC的面积大于”等价于事件“|BP|∶|AB|＞”．即P(△PBC的面积大于)＝＝.
4．已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机地取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为，则＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　依题可知，设E，F是CD上的四等分点，则P只能在线段EF上且BF＝AB.不妨设CD＝AB＝a，BC＝b，则有b2＋2＝a2，即b2＝a2，故＝.
5．(2016·石家庄高一检测)如图，在平面直角坐标系内，射线OT落在60°角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠xOT内的概率为________．
解析：记“射线OA落在∠xOT内”为事件A.构成事件A的区域最大角度是60°，所有基本事件对应的区域最大角度是360°，所以由几何概型的概率公式得P(A)＝＝.
答案：
6．一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中M是AB的中点．
一只苍蝇在几何体ADF BCE内自由飞行，求它飞入几何体F AMCD内的概率．
解：由三视图可得直观图为直三棱柱且底面ADF中AD⊥DF，DF＝AD＝DC＝a.
因为VF AMCD＝S四边形AMCD×DF＝×(a＋a)·a·a＝a3，
VADF BCE＝a2·a＝a3，
所以苍蝇飞入几何体F AMCD内的概率为＝.
7．在长度为10 cm的线段AD上任取两点B，C.在B，C处折此线段而得一折线，求此折线能构成三角形的概率．
解：设AB，AC的长度分别为x，y，由于B，C在线段AD上，因而应有0≤x，y≤10，由此可见，点对(B，C)与正方形K＝{(x，y)|0≤x≤10,0≤y≤10}中的点(x，y)是一一对应的，先设xCD，BC＋CD>AB，CD＋AB>BC，注意AB＝x，BC＝y－x，CD＝10－y，代入上面三式，得y>5，x<5，y－x<5，
符合此条件的点(x，y)必落在△GFE中(如图)．
同样地，当y利用几何概型可知，所求的概率为＝.