复数的乘除运算
一、单选题
1．已知i为虚数单位，纯虚数z满足，则实数a=（ ）
A．-1 B．1 C．0 D．2
2．已知复数z满足，则（ ）
A．1 B． C． D．2
3．已知复数与为共轭复数，其中，i为虚数单位，则（ ）
A．1 B．5 C． D．
4．已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．复数的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
6．已知复数满足（是虚数单位），则复数在复平面内对应的点所在象限为
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．若（是虚数单位），则
A． B．2 C． D．3
8．已知为虚数单位，且复数满足，则下面关于复数的三个命题：
①复数的虚部为；
②
③复数的共轭复数对应的点在第一象限．
其中正确命题的个数为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列命题中的真命题有（ ）
A．复数的虚部是 B．
C．复数的模为5时实数 D．若z的共轭复数仍是z，则
10．有下列四个命题，其中正确的是（ ）
①方程2x－5＝0在自然数集N中无解；
②方程2x2＋9x－5＝0在整数集Z中有一解，在有理数集Q中有两解；
③x＝i是方程x2＋1＝0在复数集C中的一个解；
④x4＝1在R中有两解，在复数集C中也有两解.
A．① B．②
C．③ D．④
11．已知复数是关于x的方程的两根，则下列说法中正确的是（ ）
A． B． C． D．若，则
12．设z为复数，则下列命题中正确的是（ ）
A．z2＝|z|2 B． C．若|z|＝1，则|z+i|的最大值为2 D．若|z﹣1|＝1，则0<|z|<2
三、填空题
13．复数的共轭复数是________.
14．复数，，若为实数，则________．
15．设是虚数单位，是复数的共轭复数，若，则_________．
16．已知复数是关于x的方程的一个根，若，且，则_______．
四、解答题
17．已知复数z满足：．
(1)求；
(2)求的模．
18．已知关于的方程的两根为，求.
19．已知复数．
（1）若，求；
（2）求的最小值．
20．设虚数、满足．
（1）若、又是一个实系数一元二次方程的两个根，求、．
（2）若，，的辐角主值为，求的取值范围．
21．已知复数，，其中是实数．
(1)若，求实数的值；
(2)若是纯虚数，是正实数，求．
22．已知复数的共轭复数为，且.
（1）求；
（2）若，求实数的取值范围.复数的乘除运算（解析版）
一、单选题
1．已知i为虚数单位，纯虚数z满足，则实数a=（ ）
A．-1 B．1 C．0 D．2
【答案】B
【分析】.设，利用复数相等的条件即可求解.
【详解】设，可得，即，那么.
故选：B
2．已知复数z满足，则（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【分析】利用复数的除法化简复数，利用复数的模长公式可求得结果.
【详解】由已知可得，因此，.
故选：B.
3．已知复数与为共轭复数，其中，i为虚数单位，则（ ）
A．1 B．5 C． D．
【答案】B
【分析】根据复数与为共扼复数，由，求得m，n，再利用复数的乘法求解.
【详解】因为复数与为共扼复数，
所以，
解得，，
所以，，
所以.
故选：B.
4．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求，再进行复数的乘法运算即可求解.
【详解】因为，所以，
所以，
故选：A.
5．复数的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】对先化简，在求其共轭复数.
【详解】，
所以复数的共轭复数为.
故选：C
6．已知复数满足（是虚数单位），则复数在复平面内对应的点所在象限为
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【详解】由，得，∴在复平面内对应的点的坐标为，位于第二象限，故选B.
7．若（是虚数单位），则
A． B．2 C． D．3
【答案】C
【分析】结合复数的四则运算,计算z，结合复数模长计算公式，计算，即可．
【详解】,化简,得到,因此,故选C.
【点睛】考查了复数的四则运算，考查了复数的模长计算公式，难度中等．
8．已知为虚数单位，且复数满足，则下面关于复数的三个命题：
①复数的虚部为；
②
③复数的共轭复数对应的点在第一象限．
其中正确命题的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先由复数的四则运算化简复数，再逐项判断即可．
【详解】，
，即，
故．
对于①，复数的虚部为，故①错误；
对于②， ，故②错误；
对于③，，复数的共轭复数对应的点为，
则复数的共轭复数对应的点在第一象限，故③正确；
因此，三个命题中正确命题的个数为1．
故选：D．
二、多选题
9．下列命题中的真命题有（ ）
A．复数的虚部是 B．
C．复数的模为5时实数 D．若z的共轭复数仍是z，则
【答案】BD
【分析】根据复数的基本概念对选项一一分析即可得出结果．
【详解】由复数虚部概念知的虚部是，排除A；
由复数乘法法则计算知B正确；
复数的模为5时实数，排除C；
若z的共轭复数仍是z，则z的虚部为0，所以D中的命题为真．
故选：BD．
10．有下列四个命题，其中正确的是（ ）
①方程2x－5＝0在自然数集N中无解；
②方程2x2＋9x－5＝0在整数集Z中有一解，在有理数集Q中有两解；
③x＝i是方程x2＋1＝0在复数集C中的一个解；
④x4＝1在R中有两解，在复数集C中也有两解.
A．① B．②
C．③ D．④
【答案】ABC
【分析】根据方程的解的情况逐一判断选项的正误即可.
【详解】①方程2x－5＝0根为，故方程在自然数集N中无解，正确；
②方程2x2＋9x－5＝0即，故在整数集Z中有一解-5，在有理数集Q中有两解-5和，正确；
③x＝i代入方程x2＋1＝0成立，故x＝i是方程x2＋1＝0在复数集C中的一个解；
④x4＝1在R中有两解，在复数集C中也有四解，，故错误.
故选：ABC.
11．已知复数是关于x的方程的两根，则下列说法中正确的是（ ）
A． B． C． D．若，则
【答案】ACD
【分析】在复数范围内解方程得，然后根据复数的概念、运算判断各选项．
【详解】，∴，不妨设，，
，A正确；
，C正确；
，∴，时，，B错；
时，，，计算得，
，，同理，D正确．
故选：ACD．
12．设z为复数，则下列命题中正确的是（ ）
A．z2＝|z|2 B． C．若|z|＝1，则|z+i|的最大值为2 D．若|z﹣1|＝1，则0<|z|<2
【答案】BC
【分析】设，则，通过计算可证明选项A错误选项B正确；利用数形结合可以证明选项C正确选项D错误.
【详解】解：设，则，
对A：，故A错误；
对B：，故B正确；
对C：若，则该复数对应点为以原点为圆心，半径为1的圆上的点，
而表示复数对应点到的距离，
故当且仅当对应点为时，取得最大值2，故C正确；
对D：若，其表示复数对应的点是以为圆心，为半径的圆上的点，
又表示复数对应点到原点的距离，显然，故D错误.
故选：BC.
三、填空题
13．复数的共轭复数是________.
【答案】##
【分析】由复数的除法法则与共轭复数的定义求解即可
【详解】因为，
所以复数的共轭复数是，
故答案为：
14．复数，，若为实数，则________．
【答案】
【分析】由复数的运算法则化简复数，然后由复数的定义求解．
【详解】∵，∵
∴，即．
故答案为：．
15．设是虚数单位，是复数的共轭复数，若，则_________．
【答案】
【详解】试题分析：,所以 ．
考点：1．复数的运算；2．复数相关概念．
16．已知复数是关于x的方程的一个根，若，且，则_______．
【答案】
【分析】根据已知条件设出复数，根据复数的模及一元二次方程在复数域存在互为共轭复数的两个虚根，再结合韦达定理即可求解.
【详解】设，，
，解得或（舍）.
.
因为复数是关于x的方程的一个根，
所以方程的两根分别为，，则
，解得.
所以.
故答案为：.
四、解答题
17．已知复数z满足：．
(1)求；
(2)求的模．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出，再求出；（2）先利用复数除法法则化简得，从而求出模长.
(1)
，
(2)
，故
.
18．已知关于的方程的两根为，求.
【答案】
【分析】由方程有两根得到的范围，然后分类把中的绝对值去掉，再结合根与系数的关系得到答案．
【详解】解：因为关于的方程
所以.
当，即时，为实数，
则，
当，即时，为一对共轭虚数，且，.
综上，
19．已知复数．
（1）若，求；
（2）求的最小值．
【答案】（1）或；（2）．
【分析】（1）由，解出方程得到答案.
（2）由可得其最小值.
【详解】解：（1）因为，
所以，
所以或．
（2）
所以时，的最小值为
20．设虚数、满足．
（1）若、又是一个实系数一元二次方程的两个根，求、．
（2）若，，的辐角主值为，求的取值范围．
【答案】（1），或，；（2）．
【分析】（1）由题意可得，设，则，再由，可得从而可求出的值，进而可得、；
（2）由，可得，则，所以，从而可求出的范围，进而可得的取值范围
【详解】（1）∵、是实系数一元二次方程的两个根，
∴．设，则．
又∵，∴，
∴解得
∴，或，．
（2）∵，∴，
∴．
∴．
∵，∴，∴．
又∵，，∴，
即的取值范围是．
21．已知复数，，其中是实数．
(1)若，求实数的值；
(2)若是纯虚数，是正实数，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用复数的乘法运算及复数相等的概念求解；
（2）利用为纯虚数求，从而得，然后通过复数的周期性进行求解即可.
【详解】（1）∵，，
∴
从而，解得，
所以实数a的值为．
（2）依题意得：
因为是纯虚数，所以：，从而或；
又因为a是正实数，所以．
当时，，所以，
因为，，，，……，，，，，（）
所以
所以.
22．已知复数的共轭复数为，且.
（1）求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）设，求其共轭复数，再复数相等的条件建立方程组，解之可求得答案.
（2）由已知建立不等式，解之可求得实数的取值范围.
【详解】（1）设，则，
由可得，即，
即，故，解得，，
；
（2）由可得，，
由可得，即，
即，故，
即实数的取值范围为.
