人教版数学八年级下册18.2.1 矩形 同步练习（含解析）

18.2.1 矩形 同步练习
一、单选题
1．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1，则AB边上的中线长为（ ）
A．1 B．2 C．1.5 D．
2．直角三角形的两条直角边长为3和4,则它斜边上的中线长为（ ）
A．5 B．2 C．2.5 D．1.5
3．关于矩形的性质，以下说法不正确的是（ ）
A．对边平行且相等 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．是轴对称图形
4．如图，在中，平分交于点为的中点，连结，则的周长是（ ）
A．23 B．25 C． D．22
5．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上，将△DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点A′处，则AE的长为（ ）
A． B． C．3 D．4
6．如图，矩形的对角线，交于点，且，以为斜边作等腰直角三角形，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，矩形的边，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，连接，则的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
8．如图，在矩形ABCD中，AD＝AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①AE＝AD；②∠AED＝∠CED；③BH＝HF；④CF＝DF；⑤BC﹣CF＝2HE，其中正确的有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
9．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，顶点， ，连接，按下列方法作图：
（1）以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点，；
（2）分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧两弧交于点；
（3）作射线交于点，则点的横坐标为（ ）
A． B． C．1 D．
10．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，点P在边AD上从点A到点D运动，过点P作PE⊥AC于点E，作PF⊥BD于点F，已知AB=3，AD=4，随着点P的运动，关于PE+PF的值，下面说法正确的是（ ）
A．先增大，后减小 B．先减小，后增大 C．始终等于2.4 D．始终等于3
二、填空题
11．在中，是斜边上的中线，若，则 _________．
12．如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝4，BC＝10，则EF的长为_____．
13．如图，在中，点分别是的中点，点是上一点，，，，则_______．
14．如图，矩形的对角线，相交于点，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点．若，，则的长为_____．
15．如图，在平面直角坐标系中有一个长方形ABCO，C点在x轴上，A点在y轴上，B点坐标(8，4)，将长方形沿EF折叠，使点B落到原点O处，点C落到点D处，则OF的长度是_____.
三、解答题
16．如图，将长方形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点上．若，，求BF的长．
17．如图，在平行四边形ABCD中，DE⊥BC于点E，过点A作AFDE，交CB的延长线于点F，连接DF，交AB于点P．
（1）若AD＝4，DE=3CE，BF＝1，求DF的长；
（2）若∠APD＝2∠ADP，求证：DF＝2AP．
参考答案
1．A
【详解】∵∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1，
∴AB=2BC=2×1=2，
∴AB边上的中线长= AB＝.
故选A.
2．C
【详解】解：由勾股定理得，斜边=，
所以，斜边上中线长.
故选C．
3．C
【详解】矩形是特殊的平行四边形，矩形的对边平行且相等，对角线相等，是轴对称图形，故A,B,D选项正确，不符合题意，
对角线互相垂直是菱形的性质，故C不正确，符合题意．
故选C．
4．B
【详解】解：∵AB=AC，AE平分∠BAC交BC于点E，
∴BE=CE=5，AE⊥BC．
∴在直角△ABE中，由勾股定理知，AE==12，
又∵D为AB的中点，
∴DE=AD=AB=，
∴△ADE的周长=++12=25，
故选：B．
5．A
【详解】解：∵AB=12，BC=5，
∴AD=5，
∴BD==13，
根据折叠可得：AD=A′D=5，
∴A′B=13-5=8，
设AE=x，则A′E=x，BE=12-x，
在Rt△A′EB中：（12-x）2=x2+82，
解得：x=．
故选：A．
6．C
【详解】解：连接OE，∵在矩形中，∠BAD＝90°，，OA＝OB＝OC＝OD，
∴∠ADB＝30°，
∴∠OAD＝∠ADB＝30°，
∴∠AOB＝60°，
∵△AEC是等腰直角三角形，OA＝OC，
∴EO⊥AC，OE＝OA＝OC，
∴∠AOE＝90°，OE＝OB，
∴∠BOE＝90°－60°＝30°，
∴∠OBE＝∠OEB＝，
∵AD∥BC，
∴∠OBC＝∠ADB＝30°，
∴∠CBE＝∠OBE－∠OBC＝75°－30°＝45°，
故选：C．
7．B
【详解】解：如图，过点G作GH⊥AB于H，过点G作MN∥AB，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝，BC＝3，
∴∠B＝90°，CD＝，AD＝3，
∵AE＝1，
∴BE＝，
∵∠GHE＝∠A＝∠GEF＝90°，
∴∠GEH＋∠EGH＝90°，∠GEH＋∠FEA＝90°，
∴∠EGH＝∠FEA，
又∵GE＝EF，
∴△GEH≌△EFA（AAS），
∴GH＝AE＝1，
∴点G在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动，
∴当F与D重合时，CG有最小值，此时AF＝EH＝3，
∴CG的最小值＝，
故选B．
8．A
【详解】解：①设AB＝a，则AD＝，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝45°，
∴BA＝BE．
∴在Rt△ABE中，AB＝BE＝a，
∴AE＝，
∴AE＝AD，故①正确；
②∵DH⊥AH，∠DAE＝45°，AD＝，
∴DH＝AH＝a，
∴DH＝DC，
∴ED平分∠AEC，
∴∠AED＝∠CED，故②正确；
③∵AH＝AB＝a，
∴∠ABH＝∠AHB，
∵AB∥CD，
∴∠ABF＋∠DFB＝180°，
又∠AHB＋∠BHE＝180°，
∴∠BHE＝∠HFD，
在△DHF和△EBH中，，
∴△DHF≌△EBH（AAS），
∴BH＝HF，故③正确；
④∵△BHE≌△HFD，
∴HE＝DF，
∵HE＝AE AH＝，
∴DF＝，
∵CD＝a，
∴CF＝，
∴CF＝DF，故④正确；
⑤∵BC＝AD＝，CF＝，HE＝，
∴BC CF＝，
∴BC﹣CF＝2HE，故⑤正确；
故选：A．
9．A
【详解】解：过点作于，如图，
由作法得平分，
，
矩形的顶点的坐标为， 点坐标为，
，，
在中，，
在和中，
，
∴，
，
，
设，则，，
在中，，
解得，
即，
点的横坐标为．
故选：A．
10．C
【详解】解：连接PO，如下图：
∵在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，
∴,
，，，
，
∴,
，
，
∴；
故选C．
11．
【详解】解：∵是中的斜边，是斜边上的中线，
∴，
故答案为：6．
12．
【详解】解：∵DE为△ABC的中位线，
∴DE＝BC＝5，
∵∠AFB＝90°，D是AB 的中点，
∴DF＝AB＝2，
∴EF＝DE﹣DF＝3．
故答案为3．
13．
【详解】解：∵点分别是的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=，
又∵，，
∴，
∴DF=DE-EF=8-5=3cm
故答案为：3．
14．
【详解】解：∵在矩形中，
∴AO=CO=BO=DO=6，
∵，
∴BC=2BE，
∵，
∴BE=AF，
∵∠OBE+∠ABF=∠ABF+∠BAF =90°，
∴∠OBE=∠BAF，
∵
又∵∠AFB=∠BEO=90°，
∴，
∴AB=BO，
∴AB=BO=AO，
∴是等边三角形，
∴∠ABO=60°，
∴∠OBE=30°，
∴OE=3 ，，
故答案是：．
15．
【详解】连接，如图所示：
设
根据翻折原理可得：
∵B点坐标(8，4)
∴
∴
∵长方形ABCO
∴
∴
∴
解得：，即
∴OF的长度是
故填：5.
16．
【详解】解：∵将长方形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上
∴BC'=AB=3，CF=C'F
在Rt△BC'F中，C'F2=BF2+C'B2，
∴CF2=（9-CF）2+9
∴CF=5
∴BF=4．
17．
【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴ADBC，AD=BC
∵AFDE
∴四边形ADEF是平行四边形
∴AD=EF
∴BC=EF
∴BF=CE
∵BF=1
∴CE=1
∵DE=3CE
∴DE=3
∵DE⊥BC
∴在Rt△DEF中 =+=9+16=25
∴DF=5
（2）证明：连接AE交DF于点O
∵四边形ADEF为平行四边形且DE⊥BC
∴四边形ADEF为矩形
∴AE=DF，AE与DF互相平分
∴AO=DO
∴∠ADO=∠DAO
在△AOD中，∠AOP是外角
∴∠AOP=∠ADP+∠DAO=2∠ADP
∵∠APD=2∠ADP
∴∠AOP=∠APD
∴AO=AP
∵DF=AE=2AO
∴DF=2AP．