人教版数学八年级下册18.2.3 正方形 同步练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 人教版数学八年级下册18.2.3 正方形 同步练习（含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-03-24 21:35:29 | ||
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文档简介
18.2.3 正方形 同步练习
一、单选题
1．七巧板是我国古代的一种拼板玩具，它已经有两千五百多年的历史了．如图所示的七巧板中，若平行四边形BEFG的周长等于10，则△BCD的周长等于（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
2．如图，三个边长均为4的正方形重叠在一起，，是其中两个正方形的对角线交点，则阴影部分面积是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
3．下列说法正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．由两个全等的三角形拼成的四边形是矩形
C．四个角都是直角的平行四边形是正方形
D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形
4．下列说法正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形是正方形
C．矩形的对角线一定互相垂直 D．四条边相等的四边形是菱形
5．如图，在正方形中，是上任一点，，，点、分别是垂足，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
6．如图所示，正方形的面积为9，是等边三角形，点E在正方形内，在对角线上有一点P，使的和最小，则这个最小值为（ ）
A．4.5 B．9 C．2.5 D．3
7．如图，已知点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是( )
A．48 B．60
C．76 D．80
8．如图，正方形的边长为4，点分别在上，若,且，则的长为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，正方形的边长为4，两动点分别从正方形的顶点同时沿正方形的边开始移动，点依顺时针方向环行，点依逆时针方向环行．若的速度是的速度的3倍，则它们第2020次相遇在（ ）
A．边上 B．边上 C．边上 D．边上
10．“囧”原是一个今已罕见的文字，因其貌似失意的表情，近年在网络上成为一个流行的表情符号．如图是一个近似“囧”字的图形，四边形和四边形均为正方形，，连接并延长，交的延长线于点P，则三角形的面积是正方形面积的（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．边长为5的正方形的对角线长是_____________ ．
12．如图，、分别是正方形边、的中点，分别以、为折痕，使点、点落在的点处，则是_______________三角形．
13．如图所示，在平面直角坐标系中有两个边长均为的正方形和正方形，边与边与轴重合，连接，点关于的对称点为点，连接，与边相交于点，则点的坐标是________．
14．正方形ABCD的边长为4，点P在DC边上，且DP＝1，点Q是AC上一动点，则DQ＋PQ的最小值为______．
15．如图 ，正方形 ABCD 中，AC 、BD 交于O ，EOF 90 ，已知 AE 3, CF 4 ，则 EF的长为_____．
三、解答题
16．如图，在四边形AECF中，．CE、CF分别是△ABC的内，外角平分线．
（1）求证：四边形AECF是矩形．
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？请说明理由．
17．如图，正方形ABCD的右侧作等边△ABE，连接DE、AC交于点F，连接BF，
(1)求证：
(2)求证：∠AFE＝60°
18．如图，点，分别在正方形的边，上，且，点在射线上（点不与点重合）．将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线，垂足为点，交射线于点．
（1）如图1，若点是的中点，点在线段上，线段，，的数量关系为 ．
（2）如图2，若点不是的中点，点在线段上，判断（1）中的结论是否仍然成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
（3）正方形的边长为6，，，请直接写出线段的长．
参考答案
1．C
【详解】解：∵平行四边形BGFE是七巧板中的平行四边形，
∴BC＝2BG，BD＝4BE，BC＝CD，
∵平行四边形BEFG的周长等于10，
∴2（BE+BG）＝10，
∴△BCD的周长＝BC+CD+BD＝2BG+2BG+4BE＝4（BE+BG）＝20，
故选：C．
2．D
【详解】连接O1B，O1C，如图：
∵∠BO1F＋∠FO1C＝90°，∠FO1C＋∠CO1G＝90°，
∴∠BO1F＝∠CO1G，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠O1BF＝∠O1CG＝45°，
在△O1BF和△O1CG中
，
∴△O1BF≌△O1CG（ASA），
∴O1、O2两个正方形阴影部分的面积是S正方形，
同理另外两个正方形阴影部分的面积也是S正方形，
∴S阴影＝S正方形＝8．
故选D．
3．D
【详解】解：A．对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故A错误；
B．由两个全等的直角三角形拼成的四边形是矩形，故B错误；
C．四个角都是直角的菱形是正方形，故C错误；
D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形，正确；
故选：D．
4．D
【详解】解：、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故选项说法错误，不符合题意；
、对角线相等，互相垂直平分的四边形是正方形，故选项说法错误，不符合题意；
、矩形的对角线相等，故选项说法错误，不符合题意；
、四条边相等的四边形是菱形，说法正确，
故选：D．
5．B
【详解】解：如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠PAE=45°，OA=AC=5，AC⊥BD，
∴∠AOD=90°，
∵PE⊥AC，PF⊥BD，
∴∠PEA=∠PEO=∠PFO=90°，
∴四边形OEPF是矩形，△PAE是等腰直角三角形，
∴PF=OE，PE=AE，
∴PE+PF=AE+OE=OA=5；
故选B．
6．D
【详解】解：设BE与交于点，连接，，
∵点B与D关于对称，
∴，
∴最小．
∵正方形的面积为9，
∴，
又∵是等边三角形，
∴．
故选：D
7．C
【详解】解：∵∠AEB=90°，AE=6，BE=8，
∴AB=
∴S阴影部分=S正方形ABCD-SRt△ABE=102-
=100-24
=76.
故选：C.
8．A
【详解】解： 正方形,
把绕点C逆时针旋转90°得，
此时E，B，三点共线，则，连接EF．
∴，
∵，∠ECF=45°，
∴
∵CE=CE，
∴（SAS），
∴．
在Rt中，
∴AE=AB-BE=2．
设DF=x，则AF=4-x．
∵
∴，
在Rt中，
∴
解得：．
在Rt中，
∴
解得：
故选：A．
9．A
【详解】正方形的边长为4，因为乙的速度是甲的速度的3倍，时间相同，甲乙所行的路程比为1：3，把正方形的每一条边平均分成2份，由题意知：
①第一次相遇甲乙行的路程和为8，甲行的路程为8×＝2，乙行的路程为8 2＝6，在AD边相遇；
②第二次相遇甲乙行的路程和为16，甲行的路程为16×＝4，乙行的路程为16 4＝12，在DC边相遇；
③第三次相遇甲乙行的路程和为16，甲行的路程为16×＝4，乙行的路程为16 4＝12，在CB边相遇；
④第四次相遇甲乙行的路程和为16，甲行的路程为16×＝4，乙行的路程为16 4＝12，在AB边相遇；
…
∵2020＝505×4，
∴甲、乙第2017次相遇在边AB上．
故选：A．
10．C
【详解】解：连接MN，MN分别交HE，GF于点L，K，如图，
设正方形ABCD的边长为a，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B=∠C=90°，BM∥CN，
∵BM=CN，
∴四边形MBCN为矩形，
∴MN=BC=a．
∵四边形ABCD为正方形，BM=BE=CF=CN=AB=a，
∴四边形MBEL和四边形KFCN为正方形，
∴ML=LE=KF=KN=a．
∴EF=EH=HG=BC-BE-CF=a．
∴HL=HE-LE=a，
∴ML=HL，
∴△MHL为等腰直角三角形，
同理：△KNG为等腰直角三角形，
∴∠MHL=∠NGK=45°，
∵∠EHG=∠HGF=90°，
∴∠PHG=∠PGH=45°，
∴△PHG为等腰直角三角形，
∴PH=PG=HG=a，
∴S△PGH=×PH PG=a2，
∵S正方形ABCD=a2，
∴三角形PHG的面积是正方形ABCD面积的，
故选：C．
11．
【详解】如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，AB＝BC＝5，AC＝BD，
∴BD＝AC＝＝＝5．
12．
【详解】解：四边形是正方形，
AD=AB=BC，
以、为折痕，使点、点落在的点处，
AG=AD，BG=BC，
AG=AB=BG，
△ABG是等边三角形；
故答案为等边．
13．
【详解】解：∵正方形和正方形的边长为4，
∴EF=AB=BC=4， ，
∴ ， ，
∵点关于的对称点为点，
∴ ，
∴，
∴ ，
设 ，则 ， ，
在 中，由勾股定理得
，
解得： ，
∴PB=5，
∴PC=1，
∴点的坐标是（-1，4）．
故答案为：．
14．
【详解】解：如图，连接BP，
由正方形ABCD的性质可知点B和点D关于直线AC对称，
∴QB=QD，
则BP就是DQ+PQ的最小值，
∵正方形ABCD的边长是4，DP=1，
∴CP=3，
∴BP=，
∴DQ+PQ的最小值是5．
故答案为5．
15．
【详解】解：如图所示，
∵∠1+∠2=90°,∠2+∠3=90°,
∴∠1=∠3,
∵AC,BD为正方形的对角线,
∴∠OAE=∠OBF,OA=OB,
在△AOE和△BOF中,
,
△AOE≌△BOF,
∴AE=BF=3, 同理可证：△BOE≌△COF, 即CF=BE=4,
∴EF= =5． 故答案为5．
16．
【详解】（1）证明：∵CE、CF分别是的内、外角平分线，
，．
，即．
，
∴四边形AECF是矩形．
（2）解：当满足时，四边形AECF是正方形．
理由：
．．
∵四边形AECF是矩形，∴四边形AECF是正方形．
故答案为（1）见解析；（2）当满足时，四边形AECF是正方形，见解析.
17．
（1）
证明：在正方形ABCD中，DA=BA，∠DAF=∠BAF=45°，
在△BAF与△DAF中，
∵，
∴（SAS）；
（2）
∵△ABE是等边三角形，
∴AD=AB=AE，∠BAE＝60°，
∴∠DAE＝∠DAB+∠BAE=90°+60°=150°，
∴∠ADF=，
∵∠DAC=45°，
∴∠AFE＝∠ADF+∠DAC=15°+45°=60°．
18．
【详解】（1）；理由如下：
四边形是正方形，
，，
由旋转的性质得：，，
，
，
，，
，
又，，
，
在和中，，
，
，
，即；
故答案为；
（2）（1）中的结论仍然成立，理由如下：
由题意得：，，
，
，
，，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
在和中，，
，
，
，即；
（3）分两种情况：
①当点在线段上时，点在线段上，
由（2）可知：，
，
，，
；
②当点在射线上时，点在线段的延长线上，如图3所示：
同（2）可得：，
，
，，
，
；
综上所述，线段的长为3或5．
一、单选题
1．七巧板是我国古代的一种拼板玩具，它已经有两千五百多年的历史了．如图所示的七巧板中，若平行四边形BEFG的周长等于10，则△BCD的周长等于（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
2．如图，三个边长均为4的正方形重叠在一起，，是其中两个正方形的对角线交点，则阴影部分面积是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
3．下列说法正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．由两个全等的三角形拼成的四边形是矩形
C．四个角都是直角的平行四边形是正方形
D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形
4．下列说法正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形是正方形
C．矩形的对角线一定互相垂直 D．四条边相等的四边形是菱形
5．如图，在正方形中，是上任一点，，，点、分别是垂足，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
6．如图所示，正方形的面积为9，是等边三角形，点E在正方形内，在对角线上有一点P，使的和最小，则这个最小值为（ ）
A．4.5 B．9 C．2.5 D．3
7．如图，已知点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是( )
A．48 B．60
C．76 D．80
8．如图，正方形的边长为4，点分别在上，若,且，则的长为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，正方形的边长为4，两动点分别从正方形的顶点同时沿正方形的边开始移动，点依顺时针方向环行，点依逆时针方向环行．若的速度是的速度的3倍，则它们第2020次相遇在（ ）
A．边上 B．边上 C．边上 D．边上
10．“囧”原是一个今已罕见的文字，因其貌似失意的表情，近年在网络上成为一个流行的表情符号．如图是一个近似“囧”字的图形，四边形和四边形均为正方形，，连接并延长，交的延长线于点P，则三角形的面积是正方形面积的（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．边长为5的正方形的对角线长是_____________ ．
12．如图，、分别是正方形边、的中点，分别以、为折痕，使点、点落在的点处，则是_______________三角形．
13．如图所示，在平面直角坐标系中有两个边长均为的正方形和正方形，边与边与轴重合，连接，点关于的对称点为点，连接，与边相交于点，则点的坐标是________．
14．正方形ABCD的边长为4，点P在DC边上，且DP＝1，点Q是AC上一动点，则DQ＋PQ的最小值为______．
15．如图 ，正方形 ABCD 中，AC 、BD 交于O ，EOF 90 ，已知 AE 3, CF 4 ，则 EF的长为_____．
三、解答题
16．如图，在四边形AECF中，．CE、CF分别是△ABC的内，外角平分线．
（1）求证：四边形AECF是矩形．
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？请说明理由．
17．如图，正方形ABCD的右侧作等边△ABE，连接DE、AC交于点F，连接BF，
(1)求证：
(2)求证：∠AFE＝60°
18．如图，点，分别在正方形的边，上，且，点在射线上（点不与点重合）．将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线，垂足为点，交射线于点．
（1）如图1，若点是的中点，点在线段上，线段，，的数量关系为 ．
（2）如图2，若点不是的中点，点在线段上，判断（1）中的结论是否仍然成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
（3）正方形的边长为6，，，请直接写出线段的长．
参考答案
1．C
【详解】解：∵平行四边形BGFE是七巧板中的平行四边形，
∴BC＝2BG，BD＝4BE，BC＝CD，
∵平行四边形BEFG的周长等于10，
∴2（BE+BG）＝10，
∴△BCD的周长＝BC+CD+BD＝2BG+2BG+4BE＝4（BE+BG）＝20，
故选：C．
2．D
【详解】连接O1B，O1C，如图：
∵∠BO1F＋∠FO1C＝90°，∠FO1C＋∠CO1G＝90°，
∴∠BO1F＝∠CO1G，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠O1BF＝∠O1CG＝45°，
在△O1BF和△O1CG中
，
∴△O1BF≌△O1CG（ASA），
∴O1、O2两个正方形阴影部分的面积是S正方形，
同理另外两个正方形阴影部分的面积也是S正方形，
∴S阴影＝S正方形＝8．
故选D．
3．D
【详解】解：A．对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故A错误；
B．由两个全等的直角三角形拼成的四边形是矩形，故B错误；
C．四个角都是直角的菱形是正方形，故C错误；
D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形，正确；
故选：D．
4．D
【详解】解：、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故选项说法错误，不符合题意；
、对角线相等，互相垂直平分的四边形是正方形，故选项说法错误，不符合题意；
、矩形的对角线相等，故选项说法错误，不符合题意；
、四条边相等的四边形是菱形，说法正确，
故选：D．
5．B
【详解】解：如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠PAE=45°，OA=AC=5，AC⊥BD，
∴∠AOD=90°，
∵PE⊥AC，PF⊥BD，
∴∠PEA=∠PEO=∠PFO=90°，
∴四边形OEPF是矩形，△PAE是等腰直角三角形，
∴PF=OE，PE=AE，
∴PE+PF=AE+OE=OA=5；
故选B．
6．D
【详解】解：设BE与交于点，连接，，
∵点B与D关于对称，
∴，
∴最小．
∵正方形的面积为9，
∴，
又∵是等边三角形，
∴．
故选：D
7．C
【详解】解：∵∠AEB=90°，AE=6，BE=8，
∴AB=
∴S阴影部分=S正方形ABCD-SRt△ABE=102-
=100-24
=76.
故选：C.
8．A
【详解】解： 正方形,
把绕点C逆时针旋转90°得，
此时E，B，三点共线，则，连接EF．
∴，
∵，∠ECF=45°，
∴
∵CE=CE，
∴（SAS），
∴．
在Rt中，
∴AE=AB-BE=2．
设DF=x，则AF=4-x．
∵
∴，
在Rt中，
∴
解得：．
在Rt中，
∴
解得：
故选：A．
9．A
【详解】正方形的边长为4，因为乙的速度是甲的速度的3倍，时间相同，甲乙所行的路程比为1：3，把正方形的每一条边平均分成2份，由题意知：
①第一次相遇甲乙行的路程和为8，甲行的路程为8×＝2，乙行的路程为8 2＝6，在AD边相遇；
②第二次相遇甲乙行的路程和为16，甲行的路程为16×＝4，乙行的路程为16 4＝12，在DC边相遇；
③第三次相遇甲乙行的路程和为16，甲行的路程为16×＝4，乙行的路程为16 4＝12，在CB边相遇；
④第四次相遇甲乙行的路程和为16，甲行的路程为16×＝4，乙行的路程为16 4＝12，在AB边相遇；
…
∵2020＝505×4，
∴甲、乙第2017次相遇在边AB上．
故选：A．
10．C
【详解】解：连接MN，MN分别交HE，GF于点L，K，如图，
设正方形ABCD的边长为a，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B=∠C=90°，BM∥CN，
∵BM=CN，
∴四边形MBCN为矩形，
∴MN=BC=a．
∵四边形ABCD为正方形，BM=BE=CF=CN=AB=a，
∴四边形MBEL和四边形KFCN为正方形，
∴ML=LE=KF=KN=a．
∴EF=EH=HG=BC-BE-CF=a．
∴HL=HE-LE=a，
∴ML=HL，
∴△MHL为等腰直角三角形，
同理：△KNG为等腰直角三角形，
∴∠MHL=∠NGK=45°，
∵∠EHG=∠HGF=90°，
∴∠PHG=∠PGH=45°，
∴△PHG为等腰直角三角形，
∴PH=PG=HG=a，
∴S△PGH=×PH PG=a2，
∵S正方形ABCD=a2，
∴三角形PHG的面积是正方形ABCD面积的，
故选：C．
11．
【详解】如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，AB＝BC＝5，AC＝BD，
∴BD＝AC＝＝＝5．
12．
【详解】解：四边形是正方形，
AD=AB=BC，
以、为折痕，使点、点落在的点处，
AG=AD，BG=BC，
AG=AB=BG，
△ABG是等边三角形；
故答案为等边．
13．
【详解】解：∵正方形和正方形的边长为4，
∴EF=AB=BC=4， ，
∴ ， ，
∵点关于的对称点为点，
∴ ，
∴，
∴ ，
设 ，则 ， ，
在 中，由勾股定理得
，
解得： ，
∴PB=5，
∴PC=1，
∴点的坐标是（-1，4）．
故答案为：．
14．
【详解】解：如图，连接BP，
由正方形ABCD的性质可知点B和点D关于直线AC对称，
∴QB=QD，
则BP就是DQ+PQ的最小值，
∵正方形ABCD的边长是4，DP=1，
∴CP=3，
∴BP=，
∴DQ+PQ的最小值是5．
故答案为5．
15．
【详解】解：如图所示，
∵∠1+∠2=90°,∠2+∠3=90°,
∴∠1=∠3,
∵AC,BD为正方形的对角线,
∴∠OAE=∠OBF,OA=OB,
在△AOE和△BOF中,
,
△AOE≌△BOF,
∴AE=BF=3, 同理可证：△BOE≌△COF, 即CF=BE=4,
∴EF= =5． 故答案为5．
16．
【详解】（1）证明：∵CE、CF分别是的内、外角平分线，
，．
，即．
，
∴四边形AECF是矩形．
（2）解：当满足时，四边形AECF是正方形．
理由：
．．
∵四边形AECF是矩形，∴四边形AECF是正方形．
故答案为（1）见解析；（2）当满足时，四边形AECF是正方形，见解析.
17．
（1）
证明：在正方形ABCD中，DA=BA，∠DAF=∠BAF=45°，
在△BAF与△DAF中，
∵，
∴（SAS）；
（2）
∵△ABE是等边三角形，
∴AD=AB=AE，∠BAE＝60°，
∴∠DAE＝∠DAB+∠BAE=90°+60°=150°，
∴∠ADF=，
∵∠DAC=45°，
∴∠AFE＝∠ADF+∠DAC=15°+45°=60°．
18．
【详解】（1）；理由如下：
四边形是正方形，
，，
由旋转的性质得：，，
，
，
，，
，
又，，
，
在和中，，
，
，
，即；
故答案为；
（2）（1）中的结论仍然成立，理由如下：
由题意得：，，
，
，
，，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
在和中，，
，
，
，即；
（3）分两种情况：
①当点在线段上时，点在线段上，
由（2）可知：，
，
，，
；
②当点在射线上时，点在线段的延长线上，如图3所示：
同（2）可得：，
，
，，
，
；
综上所述，线段的长为3或5．