19.3 正方形 学案
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19.3 正方形 导学案
课题 19.3 正方形 单元 第19单元 学科 数学 年级 八年级（下）
教材分析 理解正方形的概念，了解正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系．经历探究性质的过程，发展学生的合理论证能力．掌握正方形的有关性质和判定方法．
核心素养分析 经历探究正方形判定条件的过程，发展学生初步的综合推理能力，主动探究的学习习惯，逐步掌握说理的基本方法．
学习目标 1、掌握正方形的定义和性质定理．2、会运用正方形的定义和性质进行有关的证明和计算．
重点 掌握正方形的性质及判定条件．
难点 会运用正方形的性质及判定进行有关的计算和证明．
教学过程
课前预学 引入思考探究一：正方形的判定： 用一张长方形的纸片（如图所示）折出一个正方形．问题：什么样的四边形是正方形？正方形定义： 叫做正方形．操作1：你能否利用手中的矩形白纸裁出一个正方形呢？请你与同学交流一下，你能说说矩形与正方形的关系吗？总结：矩形+（ ）=正方形操作2:你能否利用手中的可以活动的菱形模型变成一个正方形吗？如何变？总结：菱形+（ ）=正方形思考：如果是平行四边形呢？（ ）+ （ ）+平行四边形=正方形.你能从这个变化过程中总结出一种正方形的判定方法吗？归纳：正方形的判定： ； ； 。探究二：正方形的性质：1.正方形有什么性质？由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形．所以，正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．归纳：正方形的性质 ； ； 。
新知讲解 提炼概念判定方法1：有一组邻边相等的矩形是正方形.判定方法2：有一个角是直角的菱形是正方形.判定方法3：有一个角是直角一组邻边相等的平行四边形叫做正方形.典例精讲 例1、如图，已知正方形ABCD，求∠ABD、∠DAC、∠DOC的度数.讨论：老师给学生-一个任务:从一-张彩色纸中剪出一个正方形.小明剪完后,这样检验它:比较边的长度，发现四条边是相等的，于是就判定自己完成了这个任务，这种检验可信吗 小兵用另一种方法检验:他量的不是边，而是对角线,发现对角线是相等的，于是就认为自己正确地剪出了正方形这种检验对吗 小英剪完后，比较了由对角线相互分成的4条线段，发现它们是相等的，按照小英的意见，这说明剪出的四边形是正方形.你的意见怎样 你认为应该如何检验,才能又快又准确呢
课堂练习 巩固训练1．正方形具有而菱形不一定具有的性质是( )A．四条边都相等 B．对角线互相垂直平分C．对角线相等 D．对角线平分一组对角2.如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为( )A．14 B．15 C．16 D．173、如图，在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC边延长线上一点，且CE=CF．BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由．4. 如图，在正方形ABCD中， ΔBEC是等边三角形.求证： ∠EAD＝∠EDA＝15° .5.在正方形ABCD中，点E、F、M、N分别在各边上，且AE=BF=CM=DN．四边形EFMN是正方形吗 为什么 答案引入思考判定方法1：有一组邻边相等的矩形是正方形.判定方法2：有一个角是直角的菱形是正方形.判定方法3：有一个角是直角一组邻边相等的平行四边形叫做正方形.结论：正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形．正方形既具有矩形的性质又具有菱形的性质．提炼概念典例精讲 例 证明：∵四边形ABCD是正方形∴AC⊥BD，∴∠DOC=90°在△ABO与△CBO中∴ △ABO≌△CBO ∴∠ABO=∠CBO∴∠ABD=1/2×90°=45° 同理可得∠DAC=45°巩固训练C 2. C 3.解：BE=DF，且BE⊥DF．理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴BC=DC,∠BCE =90° ，∴∠DCF=180°-∠BCE=90°，∴∠BCE=∠DCF．又∵CE=CF，∴△BCE≌△D4.证明：∵ ΔBEC是等边三角形，∴BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°，∵ 四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD,∠ABC=∠DCB=90°，∴AB=BE=CE=CD, ∠ABE= ∠DCE=30°，∴△ABE，△DCE是等腰三角形， ∴∠BAE= ∠BEA= ∠CDE= ∠CED=75°，∴∠EAD= ∠EDA=90°-75°=15°.5.证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°.∵AE=BF=CM=DN，∴AN=BE=CF=DM.在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中， AE=BF=CM=DN, ∠A=∠B=∠C=∠D, AN=BE=CF=DM,∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM,∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF,∴四边形EFMN是菱形， ∠NEF=180°－（∠AEN+∠BEF） =180°－（∠AEN+∠ANE） =180°－90°=90°.∴四边形EFMN是正方形 .
课堂小结
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课题 19.3 正方形 单元 第19单元 学科 数学 年级 八年级（下）
教材分析 理解正方形的概念，了解正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系．经历探究性质的过程，发展学生的合理论证能力．掌握正方形的有关性质和判定方法．
核心素养分析 经历探究正方形判定条件的过程，发展学生初步的综合推理能力，主动探究的学习习惯，逐步掌握说理的基本方法．
学习目标 1、掌握正方形的定义和性质定理．2、会运用正方形的定义和性质进行有关的证明和计算．
重点 掌握正方形的性质及判定条件．
难点 会运用正方形的性质及判定进行有关的计算和证明．
教学过程
课前预学 引入思考探究一：正方形的判定： 用一张长方形的纸片（如图所示）折出一个正方形．问题：什么样的四边形是正方形？正方形定义： 叫做正方形．操作1：你能否利用手中的矩形白纸裁出一个正方形呢？请你与同学交流一下，你能说说矩形与正方形的关系吗？总结：矩形+（ ）=正方形操作2:你能否利用手中的可以活动的菱形模型变成一个正方形吗？如何变？总结：菱形+（ ）=正方形思考：如果是平行四边形呢？（ ）+ （ ）+平行四边形=正方形.你能从这个变化过程中总结出一种正方形的判定方法吗？归纳：正方形的判定： ； ； 。探究二：正方形的性质：1.正方形有什么性质？由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形．所以，正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．归纳：正方形的性质 ； ； 。
新知讲解 提炼概念判定方法1：有一组邻边相等的矩形是正方形.判定方法2：有一个角是直角的菱形是正方形.判定方法3：有一个角是直角一组邻边相等的平行四边形叫做正方形.典例精讲 例1、如图，已知正方形ABCD，求∠ABD、∠DAC、∠DOC的度数.讨论：老师给学生-一个任务:从一-张彩色纸中剪出一个正方形.小明剪完后,这样检验它:比较边的长度，发现四条边是相等的，于是就判定自己完成了这个任务，这种检验可信吗 小兵用另一种方法检验:他量的不是边，而是对角线,发现对角线是相等的，于是就认为自己正确地剪出了正方形这种检验对吗 小英剪完后，比较了由对角线相互分成的4条线段，发现它们是相等的，按照小英的意见，这说明剪出的四边形是正方形.你的意见怎样 你认为应该如何检验,才能又快又准确呢
课堂练习 巩固训练1．正方形具有而菱形不一定具有的性质是( )A．四条边都相等 B．对角线互相垂直平分C．对角线相等 D．对角线平分一组对角2.如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为( )A．14 B．15 C．16 D．173、如图，在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC边延长线上一点，且CE=CF．BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由．4. 如图，在正方形ABCD中， ΔBEC是等边三角形.求证： ∠EAD＝∠EDA＝15° .5.在正方形ABCD中，点E、F、M、N分别在各边上，且AE=BF=CM=DN．四边形EFMN是正方形吗 为什么 答案引入思考判定方法1：有一组邻边相等的矩形是正方形.判定方法2：有一个角是直角的菱形是正方形.判定方法3：有一个角是直角一组邻边相等的平行四边形叫做正方形.结论：正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形．正方形既具有矩形的性质又具有菱形的性质．提炼概念典例精讲 例 证明：∵四边形ABCD是正方形∴AC⊥BD，∴∠DOC=90°在△ABO与△CBO中∴ △ABO≌△CBO ∴∠ABO=∠CBO∴∠ABD=1/2×90°=45° 同理可得∠DAC=45°巩固训练C 2. C 3.解：BE=DF，且BE⊥DF．理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴BC=DC,∠BCE =90° ，∴∠DCF=180°-∠BCE=90°，∴∠BCE=∠DCF．又∵CE=CF，∴△BCE≌△D4.证明：∵ ΔBEC是等边三角形，∴BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°，∵ 四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD,∠ABC=∠DCB=90°，∴AB=BE=CE=CD, ∠ABE= ∠DCE=30°，∴△ABE，△DCE是等腰三角形， ∴∠BAE= ∠BEA= ∠CDE= ∠CED=75°，∴∠EAD= ∠EDA=90°-75°=15°.5.证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°.∵AE=BF=CM=DN，∴AN=BE=CF=DM.在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中， AE=BF=CM=DN, ∠A=∠B=∠C=∠D, AN=BE=CF=DM,∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM,∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF,∴四边形EFMN是菱形， ∠NEF=180°－（∠AEN+∠BEF） =180°－（∠AEN+∠ANE） =180°－90°=90°.∴四边形EFMN是正方形 .
课堂小结
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