沪科版数学七年级下册8.3完全平方公式与平方差公式应用同步练习
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2020八上·长春月考）如果x2+kx+64是一个整式的平方，那么k的值是（ ）
A．8 B．-8 C．8或-8 D．16或-16
【答案】D
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵x2+kx+64=x2+kx+82，
∴kx=±2×8x，
解得k=±16．
故答案为：D．
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值．
2．（2022八上·右玉期末）已知是一个完全平方式，则k的值为（ ）
A． B．2 C．1或－3 D．－1或3
【答案】D
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵是关于x的完全平方式，
∴，解得：k=1或，
故答案为：D．
【分析】根据完全平方式的特征可得，再求出k的值即可。
3．给出一列式子：x2y， x4y2，x6y3， x8y4，…，根据其蕴含的规律可知这一列式子中的第8个式子是（ ）
A．x16y8 B．-x14y8 C．-x16y8 D．-x18y9
【答案】C
【知识点】列式表示数量关系；探索数与式的规律
【解析】【解答】根据规律可得：第8个式子是-x2×8y8，即-x16y8．
故选：C．
【分析】根据已知的式子可以得到序号为奇数的式子的符号是正，序号为偶数的式子的符号是负号，x的次数是序号的2倍，y的次数是式子的序号，系数是2的序号减去1的差的次方的倒数，据此即可求解．本题考查了列代数式，正确理解式子的规律是关键．
4．（2023八上·钦州期末）已知实数a、b满足，且，则的值为（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；分式的化简求值
【解析】【解答】解：∵，
∴
，
故答案为：A.
【分析】将待求式子通分求和后分子利用完全平方公式变形，再整体代入计算后约分即可得出答案.
5．（2021八上·临沭月考）如图的图形面积由以下哪个公式表示（ ）
A．a2﹣b2=a（a﹣b）+b（a﹣b） B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2
C．（a+b）2=a2+2ab+b2 D．a2﹣b2=（a+b)（a﹣b）
【答案】C
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】图中的面积可表示为还可以表示为
所以有
故答案为：C.
【分析】利用完全平方公式和面积公式求解即可。
6．（2022八上·无为月考）如图，有两个正方形纸板A，B，纸板A与B的面积之和为34．现将纸板B按甲方式放在纸板A的内部，阴影部分的面积为4．若将纸板A，B按乙方式并列放置后，构造新的正方形，则阴影部分的面积为（ ）
A．30 B．32 C．34 D．36
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：设A的边长a，B的边长是b，则，
根据题意得︰，
∴，
∴，
∴乙图阴影部分的面积 ，
故答案为：A．
【分析】设A的边长a，B的边长是b，则，再利用割补法和完全平方公式可得。
7．（2021七下·滨江期末）已知无论x取何值，等式 恒成立，则关于代数式 的值有下列结论：①交换a，b的位置，代数式的值不变；②该代数式的值是非正数；③该代数式的值不会小于－2，上述结论正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵等式（x+a）（x+b）=x2+2x+n恒成立，
即x2+（a+b）x+ab=x2+2x+n恒成立，
∴ ，
∴a3b+ab3-2
=ab（a2+b2）-2
=ab[（a+b）2-2ab]-2
=n[22-2n]-2
=4n-2n2-2
=-2n2+4n-2
=-2（n-1）2≤0，
∵-2（n-1）2中只与n有关，故①正确；
根据偶次幂为非负数得：-2（n-1）2≤0，故②正确，③错误；
故答案为：A.
【分析】利用多项式乘以多项式的法则，可得到x2+（a+b）x+ab=x2+2x+n恒；再根据对应项的系数相等，可得到a+b和ab的值；然后将代数式转化为ab（a2+b2）-2，代入可得到-2（n-1）2≤0，再作出判断即可.
8．（2021八上·遂宁期中）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如，利用图1可以得到，那么利用图2所得到的数学等式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：图2的面积可表示为：（a+b+c）（a+b+c）=（a+b+c）2
或a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
则有：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca
故答案为：D．
【分析】观察图形2，可知此正方形的边长为（a+b+c），可以用两种不同的方法表示出此正方形的面积，据此可得答案.
9．（2022八上·龙口期末）当m为自然数时，一定能被下列哪个数整除（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：
∴无论m为任何自然数，始终能被8整除，
故答案为：D．
【分析】将代数式变形为，再求解即可。
10．（2023八上·扶沟期末）如图中能够用图中已有图形的面积说明的等式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：如图，长方形②与③的面积相等，正方形④和⑤的面积相等，
∴，
，
∴，
故答案为：B.
【分析】对图形进行标注，长方形②与③的面积相等，正方形④和⑤的面积相等，则S①+S②=(x+2)(x-2)，S①+S③=(S①+S③+S④)-S④=x2-4，据此可得等式.
二、填空题（每空3分，共15分）
11．（2016八上·南开期中）若x2﹣（m﹣1）x+36是一个完全平方式，则m的值为 ．
【答案】﹣11或13
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵x2﹣（m﹣1）x+36是一个完全平方式，
∴m﹣1=±12，
故m的值为﹣11或13，
故答案为：﹣11或13
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可得到m的值．
12．（2022七上·闵行期中）已知，，那么的值为 ．
【答案】304
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：原式
，
当 ， ，原式 ．
故答案为：304．
【分析】先将代数式变形为，再将，代入计算即可。
13．（2022八上·乐山期中）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律，后人也将右表称为“杨辉三角”．
则①中，第三项系数为 ；
②展开式为 .
【答案】190；
【知识点】完全平方公式及运用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：如图，
观察每一行的第三个数分别为1，3，6，4，
∴（a+b）20中，第三项的系数为1+2+3+4++19=.
（a-b）6=a6-6a5b+15a4b2-20a2b3+15a2b4-6ab5+b6.
故答案为：190，a6-6a5b+15a4b2-20a3b3+15a2b4-6zb5+b6
【分析】观察可知每一行的第三个数分别为1，3，6，4，依次相差1，2，3，由此可求出（a+b）20中，第三项的系数；利用“杨辉三角”的规律可知（a-b）6的系数分别为1、6、15、20、15、6、1，每一项的次数都是6且a，b都为奇次方时，符号为负，据此可得答案.
14．（2022八上·高昌期中）如图，两个正方形边长分别为a、b，且满足，，图中阴影部分的面积为 .
【答案】12
【知识点】列式表示数量关系；代数式求值；完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：
，
∵，，
原式.
故答案为：.
【分析】根据阴影部分的面积=两个正方形的面积减去两个三角形的面积，列式化简，进而根据完全平方公式进行恒等变形成含（a+b）及ab的形式的式子，再整体代入计算即可.
15．（2022七下·苏州期中）定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a、b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫这个复数的虚部.它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似.
例如：（4+i）+（6﹣2i）＝（4+6）+（1﹣2）i＝10﹣i；
（2﹣i）（3+i）＝6﹣3i+2i﹣i2＝6﹣i﹣（﹣1）＝7﹣i；
（2+i）2＝4+4i+i2＝4+4i﹣1＝3+4i.
根据以上信息，完成下面计算：（2+i）（1﹣2i）+（2﹣i）2＝ .
【答案】7﹣7i
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；定义新运算
【解析】【解答】解：（2+i）（1﹣2i）+（2﹣i）2
＝2﹣4i+i﹣2i2+4+i2﹣4i
＝6﹣i2﹣7i
＝6﹣（﹣1）﹣7i
＝7﹣7i.
故答案为：7﹣7i.
【分析】根据多项式与多项式的乘法法则、完全平方公式分别去括号，再合并同类项化简，然后结合i2=-1进行计算.
三、计算题（共2题，共14分）
16．（2022八上·乐山期中）运用公式进行简便计算.
（1） ；
（2） .
【答案】（1）解：原式=（10.2-1.2）2=81
（2）解： 原式=
=
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；因式分解的应用
【解析】【分析】（1）利用完全平方公式分解因式，可得到（10.2-1.2）2，然后进行计算.
（2）利用平方差公式可得到，再进行计算，然后约分化简，可求出结果.
17．（2022八上·海口期中）计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）（用简便方法）.
【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）解：
【知识点】实数的运算；完全平方公式及运用；整式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据算术平方根、立方根的概念以及二次根式的性质可得原式=5+4+2，然后根据有理数的加法法则进行计算；
（2）根据完全平方公式、单项式与多项式的乘法法则以及合并同类项法则化简即可；
（3）根据平方差公式以及合并同类项法则化简即可；
（4）原式可变形为20222-2×2022×2023+20232=(2022-2023)2，据此计算.
四、解答题（共5题，共41分）
18．（2022七上·闵行期中）已知，求的值．
【答案】解： ，
， ，
，
，
，
∴ 的值为28．
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用
【解析】【分析】根据，可得，，再将其代入计算即可。
19．（2022·西湖模拟）已知 ， ，请比较M和N的大小．
以下是小明的解答：
∵ ， ，
∴ ．
小明的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答．
【答案】解：小明的解答过程有错误，正确解答过程如下：
∵M﹣N＝x2-2x+4-x2+4x-4＝2x，
∴x＞0时，2x＞0，即M＞N，
x=0时，2x=0，即M=N，
x＜0时，2x＜0，即M＜N.
【知识点】完全平方公式及运用；不等式的性质
【解析】【分析】由小明的解答过程可知，未确定x的取值情况，解答发生错误. 按照作差法比较整式大小，正确表示出M-N的差，再根据x＞0、x=0及x＜0三种情况判断即可.
20．（2022八上·汾阳期末）有足够多的长方形和正方形卡片（如图1），分别记为1号，2号，3号卡片．
（1）如果选取4张3号卡片，拼成如图2所示的一个正方形，请用2种不同的方法表示阴影部分的面积（用含，的式子表示）．
①方法1： ；方法2： ；
②请写出，，三个代数式之间的等量关系： ．
（2）若，求的值．
（3）如图3，选取1张1号卡片，2张2号卡片，3张3号卡片，可拼成一个长方形（无缝隙不重叠），请画出该长方形，根据图形的面积关系，分解因式： ．
【答案】（1）；；
（2）解：，，，
，，
即，，
，
∴的值为20；
（3）（m+n）（m+2n）
【知识点】列式表示数量关系；完全平方公式的几何背景；非负数之和为0
【解析】【解答】（1）解：①方法1：图2中阴影部分是边长为，因此面积为，
方法2：图2阴影部分也可以看作从边长为的正方形减去4个长为．宽为的长方形面积，因此有，
故答案为：，；
②由①得，
故答案为：；
（3）解：1张1号，2张2号，3张3号卡片的总面积为，而1张1号，2张2号，3张3号卡片可以拼成长为，宽为的长方形，如图所示：
所以有，
故答案为：．
【分析】（1）①利用不同的表达式表示出阴影部分的面积即可；
②根据①的结论可得；
（2）先利用非负数之和为0的性质求出，，再将其代入计算即可；
（3）根据题意画出图象可得。
21．（2022七下·平谷期末）阅读下列材料：
我们知道对于二次三项式可以利用完全平方公式，将它变形为的形式．但是对于一般的二次三项式就不能直接应用完全平方公式了，我们可以在二次三项式中先加上原式中一次项系数的一半的平方即，使其凑成完全平方式，再减去，使整个式子的值不变，这样就有．例如＝＝．
请根据上述材料解决下列问题：
（1）将多项式变形为的形式；
（2）当x，y分别取何值时有最小值？求出这个最小值；
（3）若，，则m与n的大小关系是 ．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
∵，，
∴当，时原式有最小值为15．
∴当，时原式有最小值为15；
（3）m>n
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：(3)∵，，
∴
，
∴．
故答案为：．
【分析】（1）根据配方法即可得到结论；
（2）件原式配方得到 ，根据非负数的性质即可得到结论；
（3） 根据作差法把原始配方得到，根据非负数的性质即可得到结论。
22．（2022七下·镇江期末）（1）从图1-3中任意选择一个，通过计算图中阴影部分的面积，可得到关于a、b的等量关系是 ；
（2）尝试解决：
①已知：，，则= ▲ ；
②已知：，，求的值；
③已知：，求的值；
（3）填数游戏：如图4，把数字1~9填入构成三角形形状的9个圆圈中，使得各边上的四个数字的和都等于21，将每边四个数字的平方和分别记、、，已知 .如果将位于这个三角形顶点处的三个圆圈填入的数字分别表示为x、y、x+y，求xy的值 .
【答案】（1）
（2）①；
② ，，
=9-8 =1 ；
③∵，
∴ .
∵，
∴；
（3）解：数字1~9的数字和为1+2+3+4+5+6+7+8+9=45 .
∵各边上的四个数字的和都等于21，
∴21×3-45=18 .
∴ .即 .
又∵每边四个数字的平方和、、满足，
且，
∴ .
∴ .
∴ .
∴ .
∴ .
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）利用图1可得： ；
利用图2可得： ；
利用图3可得：； （写一个即可）
（2）① ，，
；
【分析】（1）①对于图1，根据大正方形的面积=两个小正方形的面积与两个矩形的面积之和可得等式；对于图2，根据阴影部分的面积=大正方形的面积-两个矩形的面积+边长为b的正方形的面积可得等式；对于图3，根据4个矩形的面积之和=大正方形的面积-小正方形的面积可得等式；
（2）①根据完全平方公式可得2mn=(m+n)2-(m2+n2)，据此计算；
②同理可得(2a-b)2=(2a+b)2-8ab，据此计算；
③易得[(4-x)-(5-x)]2=(4-x)2+(5-x)2-2(4-x)(5-x)=1，据此计算；
（3）由题意可得x+y+(x+y)=18，根据A+B+C=411可得x2+y2+(x+y)2=411-285，联立可得x2+y2的值，然后根据(x+y)2-2xy=45进行计算.
1 / 1沪科版数学七年级下册8.3完全平方公式与平方差公式应用同步练习
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2020八上·长春月考）如果x2+kx+64是一个整式的平方，那么k的值是（ ）
A．8 B．-8 C．8或-8 D．16或-16
2．（2022八上·右玉期末）已知是一个完全平方式，则k的值为（ ）
A． B．2 C．1或－3 D．－1或3
3．给出一列式子：x2y， x4y2，x6y3， x8y4，…，根据其蕴含的规律可知这一列式子中的第8个式子是（ ）
A．x16y8 B．-x14y8 C．-x16y8 D．-x18y9
4．（2023八上·钦州期末）已知实数a、b满足，且，则的值为（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
5．（2021八上·临沭月考）如图的图形面积由以下哪个公式表示（ ）
A．a2﹣b2=a（a﹣b）+b（a﹣b） B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2
C．（a+b）2=a2+2ab+b2 D．a2﹣b2=（a+b)（a﹣b）
6．（2022八上·无为月考）如图，有两个正方形纸板A，B，纸板A与B的面积之和为34．现将纸板B按甲方式放在纸板A的内部，阴影部分的面积为4．若将纸板A，B按乙方式并列放置后，构造新的正方形，则阴影部分的面积为（ ）
A．30 B．32 C．34 D．36
7．（2021七下·滨江期末）已知无论x取何值，等式 恒成立，则关于代数式 的值有下列结论：①交换a，b的位置，代数式的值不变；②该代数式的值是非正数；③该代数式的值不会小于－2，上述结论正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
8．（2021八上·遂宁期中）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如，利用图1可以得到，那么利用图2所得到的数学等式为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2022八上·龙口期末）当m为自然数时，一定能被下列哪个数整除（ ）
A． B． C． D．
10．（2023八上·扶沟期末）如图中能够用图中已有图形的面积说明的等式是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每空3分，共15分）
11．（2016八上·南开期中）若x2﹣（m﹣1）x+36是一个完全平方式，则m的值为 ．
12．（2022七上·闵行期中）已知，，那么的值为 ．
13．（2022八上·乐山期中）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律，后人也将右表称为“杨辉三角”．
则①中，第三项系数为 ；
②展开式为 .
14．（2022八上·高昌期中）如图，两个正方形边长分别为a、b，且满足，，图中阴影部分的面积为 .
15．（2022七下·苏州期中）定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a、b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫这个复数的虚部.它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似.
例如：（4+i）+（6﹣2i）＝（4+6）+（1﹣2）i＝10﹣i；
（2﹣i）（3+i）＝6﹣3i+2i﹣i2＝6﹣i﹣（﹣1）＝7﹣i；
（2+i）2＝4+4i+i2＝4+4i﹣1＝3+4i.
根据以上信息，完成下面计算：（2+i）（1﹣2i）+（2﹣i）2＝ .
三、计算题（共2题，共14分）
16．（2022八上·乐山期中）运用公式进行简便计算.
（1） ；
（2） .
17．（2022八上·海口期中）计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）（用简便方法）.
四、解答题（共5题，共41分）
18．（2022七上·闵行期中）已知，求的值．
19．（2022·西湖模拟）已知 ， ，请比较M和N的大小．
以下是小明的解答：
∵ ， ，
∴ ．
小明的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答．
20．（2022八上·汾阳期末）有足够多的长方形和正方形卡片（如图1），分别记为1号，2号，3号卡片．
（1）如果选取4张3号卡片，拼成如图2所示的一个正方形，请用2种不同的方法表示阴影部分的面积（用含，的式子表示）．
①方法1： ；方法2： ；
②请写出，，三个代数式之间的等量关系： ．
（2）若，求的值．
（3）如图3，选取1张1号卡片，2张2号卡片，3张3号卡片，可拼成一个长方形（无缝隙不重叠），请画出该长方形，根据图形的面积关系，分解因式： ．
21．（2022七下·平谷期末）阅读下列材料：
我们知道对于二次三项式可以利用完全平方公式，将它变形为的形式．但是对于一般的二次三项式就不能直接应用完全平方公式了，我们可以在二次三项式中先加上原式中一次项系数的一半的平方即，使其凑成完全平方式，再减去，使整个式子的值不变，这样就有．例如＝＝．
请根据上述材料解决下列问题：
（1）将多项式变形为的形式；
（2）当x，y分别取何值时有最小值？求出这个最小值；
（3）若，，则m与n的大小关系是 ．
22．（2022七下·镇江期末）（1）从图1-3中任意选择一个，通过计算图中阴影部分的面积，可得到关于a、b的等量关系是 ；
（2）尝试解决：
①已知：，，则= ▲ ；
②已知：，，求的值；
③已知：，求的值；
（3）填数游戏：如图4，把数字1~9填入构成三角形形状的9个圆圈中，使得各边上的四个数字的和都等于21，将每边四个数字的平方和分别记、、，已知 .如果将位于这个三角形顶点处的三个圆圈填入的数字分别表示为x、y、x+y，求xy的值 .
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵x2+kx+64=x2+kx+82，
∴kx=±2×8x，
解得k=±16．
故答案为：D．
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值．
2．【答案】D
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵是关于x的完全平方式，
∴，解得：k=1或，
故答案为：D．
【分析】根据完全平方式的特征可得，再求出k的值即可。
3．【答案】C
【知识点】列式表示数量关系；探索数与式的规律
【解析】【解答】根据规律可得：第8个式子是-x2×8y8，即-x16y8．
故选：C．
【分析】根据已知的式子可以得到序号为奇数的式子的符号是正，序号为偶数的式子的符号是负号，x的次数是序号的2倍，y的次数是式子的序号，系数是2的序号减去1的差的次方的倒数，据此即可求解．本题考查了列代数式，正确理解式子的规律是关键．
4．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；分式的化简求值
【解析】【解答】解：∵，
∴
，
故答案为：A.
【分析】将待求式子通分求和后分子利用完全平方公式变形，再整体代入计算后约分即可得出答案.
5．【答案】C
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】图中的面积可表示为还可以表示为
所以有
故答案为：C.
【分析】利用完全平方公式和面积公式求解即可。
6．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：设A的边长a，B的边长是b，则，
根据题意得︰，
∴，
∴，
∴乙图阴影部分的面积 ，
故答案为：A．
【分析】设A的边长a，B的边长是b，则，再利用割补法和完全平方公式可得。
7．【答案】A
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵等式（x+a）（x+b）=x2+2x+n恒成立，
即x2+（a+b）x+ab=x2+2x+n恒成立，
∴ ，
∴a3b+ab3-2
=ab（a2+b2）-2
=ab[（a+b）2-2ab]-2
=n[22-2n]-2
=4n-2n2-2
=-2n2+4n-2
=-2（n-1）2≤0，
∵-2（n-1）2中只与n有关，故①正确；
根据偶次幂为非负数得：-2（n-1）2≤0，故②正确，③错误；
故答案为：A.
【分析】利用多项式乘以多项式的法则，可得到x2+（a+b）x+ab=x2+2x+n恒；再根据对应项的系数相等，可得到a+b和ab的值；然后将代数式转化为ab（a2+b2）-2，代入可得到-2（n-1）2≤0，再作出判断即可.
8．【答案】D
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：图2的面积可表示为：（a+b+c）（a+b+c）=（a+b+c）2
或a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
则有：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca
故答案为：D．
【分析】观察图形2，可知此正方形的边长为（a+b+c），可以用两种不同的方法表示出此正方形的面积，据此可得答案.
9．【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：
∴无论m为任何自然数，始终能被8整除，
故答案为：D．
【分析】将代数式变形为，再求解即可。
10．【答案】B
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：如图，长方形②与③的面积相等，正方形④和⑤的面积相等，
∴，
，
∴，
故答案为：B.
【分析】对图形进行标注，长方形②与③的面积相等，正方形④和⑤的面积相等，则S①+S②=(x+2)(x-2)，S①+S③=(S①+S③+S④)-S④=x2-4，据此可得等式.
11．【答案】﹣11或13
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵x2﹣（m﹣1）x+36是一个完全平方式，
∴m﹣1=±12，
故m的值为﹣11或13，
故答案为：﹣11或13
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可得到m的值．
12．【答案】304
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：原式
，
当 ， ，原式 ．
故答案为：304．
【分析】先将代数式变形为，再将，代入计算即可。
13．【答案】190；
【知识点】完全平方公式及运用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：如图，
观察每一行的第三个数分别为1，3，6，4，
∴（a+b）20中，第三项的系数为1+2+3+4++19=.
（a-b）6=a6-6a5b+15a4b2-20a2b3+15a2b4-6ab5+b6.
故答案为：190，a6-6a5b+15a4b2-20a3b3+15a2b4-6zb5+b6
【分析】观察可知每一行的第三个数分别为1，3，6，4，依次相差1，2，3，由此可求出（a+b）20中，第三项的系数；利用“杨辉三角”的规律可知（a-b）6的系数分别为1、6、15、20、15、6、1，每一项的次数都是6且a，b都为奇次方时，符号为负，据此可得答案.
14．【答案】12
【知识点】列式表示数量关系；代数式求值；完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：
，
∵，，
原式.
故答案为：.
【分析】根据阴影部分的面积=两个正方形的面积减去两个三角形的面积，列式化简，进而根据完全平方公式进行恒等变形成含（a+b）及ab的形式的式子，再整体代入计算即可.
15．【答案】7﹣7i
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；定义新运算
【解析】【解答】解：（2+i）（1﹣2i）+（2﹣i）2
＝2﹣4i+i﹣2i2+4+i2﹣4i
＝6﹣i2﹣7i
＝6﹣（﹣1）﹣7i
＝7﹣7i.
故答案为：7﹣7i.
【分析】根据多项式与多项式的乘法法则、完全平方公式分别去括号，再合并同类项化简，然后结合i2=-1进行计算.
16．【答案】（1）解：原式=（10.2-1.2）2=81
（2）解： 原式=
=
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；因式分解的应用
【解析】【分析】（1）利用完全平方公式分解因式，可得到（10.2-1.2）2，然后进行计算.
（2）利用平方差公式可得到，再进行计算，然后约分化简，可求出结果.
17．【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）解：
【知识点】实数的运算；完全平方公式及运用；整式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据算术平方根、立方根的概念以及二次根式的性质可得原式=5+4+2，然后根据有理数的加法法则进行计算；
（2）根据完全平方公式、单项式与多项式的乘法法则以及合并同类项法则化简即可；
（3）根据平方差公式以及合并同类项法则化简即可；
（4）原式可变形为20222-2×2022×2023+20232=(2022-2023)2，据此计算.
18．【答案】解： ，
， ，
，
，
，
∴ 的值为28．
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用
【解析】【分析】根据，可得，，再将其代入计算即可。
19．【答案】解：小明的解答过程有错误，正确解答过程如下：
∵M﹣N＝x2-2x+4-x2+4x-4＝2x，
∴x＞0时，2x＞0，即M＞N，
x=0时，2x=0，即M=N，
x＜0时，2x＜0，即M＜N.
【知识点】完全平方公式及运用；不等式的性质
【解析】【分析】由小明的解答过程可知，未确定x的取值情况，解答发生错误. 按照作差法比较整式大小，正确表示出M-N的差，再根据x＞0、x=0及x＜0三种情况判断即可.
20．【答案】（1）；；
（2）解：，，，
，，
即，，
，
∴的值为20；
（3）（m+n）（m+2n）
【知识点】列式表示数量关系；完全平方公式的几何背景；非负数之和为0
【解析】【解答】（1）解：①方法1：图2中阴影部分是边长为，因此面积为，
方法2：图2阴影部分也可以看作从边长为的正方形减去4个长为．宽为的长方形面积，因此有，
故答案为：，；
②由①得，
故答案为：；
（3）解：1张1号，2张2号，3张3号卡片的总面积为，而1张1号，2张2号，3张3号卡片可以拼成长为，宽为的长方形，如图所示：
所以有，
故答案为：．
【分析】（1）①利用不同的表达式表示出阴影部分的面积即可；
②根据①的结论可得；
（2）先利用非负数之和为0的性质求出，，再将其代入计算即可；
（3）根据题意画出图象可得。
21．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
∵，，
∴当，时原式有最小值为15．
∴当，时原式有最小值为15；
（3）m>n
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：(3)∵，，
∴
，
∴．
故答案为：．
【分析】（1）根据配方法即可得到结论；
（2）件原式配方得到 ，根据非负数的性质即可得到结论；
（3） 根据作差法把原始配方得到，根据非负数的性质即可得到结论。
22．【答案】（1）
（2）①；
② ，，
=9-8 =1 ；
③∵，
∴ .
∵，
∴；
（3）解：数字1~9的数字和为1+2+3+4+5+6+7+8+9=45 .
∵各边上的四个数字的和都等于21，
∴21×3-45=18 .
∴ .即 .
又∵每边四个数字的平方和、、满足，
且，
∴ .
∴ .
∴ .
∴ .
∴ .
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）利用图1可得： ；
利用图2可得： ；
利用图3可得：； （写一个即可）
（2）① ，，
；
【分析】（1）①对于图1，根据大正方形的面积=两个小正方形的面积与两个矩形的面积之和可得等式；对于图2，根据阴影部分的面积=大正方形的面积-两个矩形的面积+边长为b的正方形的面积可得等式；对于图3，根据4个矩形的面积之和=大正方形的面积-小正方形的面积可得等式；
（2）①根据完全平方公式可得2mn=(m+n)2-(m2+n2)，据此计算；
②同理可得(2a-b)2=(2a+b)2-8ab，据此计算；
③易得[(4-x)-(5-x)]2=(4-x)2+(5-x)2-2(4-x)(5-x)=1，据此计算；
（3）由题意可得x+y+(x+y)=18，根据A+B+C=411可得x2+y2+(x+y)2=411-285，联立可得x2+y2的值，然后根据(x+y)2-2xy=45进行计算.
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