丰城市第九中学2022-2023学年高二下学期开学质量检测数学试卷（含解析）

丰城市第九中学2022-2023学年高二下学期开学质量检测数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1、直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2、以直线为准线的抛物线标准方程为( )
A. B. C. D.
3、2名辅导教师与3名获奖学生站成一排照相，要求2名教师分别站在两侧，则不同的站法共有( )
A.种 B.种 C.种 D.种
4、已知点D在确定的平面内，O是空间任意一点，实数x，y满足，则的最小值为( )
A. B. C.1 D.2
5、已知，是双曲线的左、右焦点，点M是过坐标原点O且倾斜角为的直线l与双曲线C的一个交点，且则双曲线C的离心率为( )
A.2 B. C. D.
6、某批待出口的水果罐头，每罐净重X(单位：g)服从正态分布.随机抽取1罐，其净重在179g与186.5g之间的概率为( )
(注：若，，，)
A.0.8185 B.0.84 C.0.954 D.0.9755
7、已知x，y满足，若不等式恒成立，则c的取值范围是( )
A. B. C. D.
8、的展开式中，的系数为( )
A.60 B. C.120 D.
二、多项选择题
9、对两个变量x与y进行线性相关性和回归效果分析，得到一组样本数据：，，…，，则下列说法不正确的是( )
A.若所有样本点都在直线上，则两个变量的样本相关系数为
B.残差平方和越小的模型，拟合的效果越好
C.若越大，则变量x与y的线性相关性越强
D.若越小，则变量x与y的线性相关性越强
10、已知曲线C：，则( )
A.若，则曲线C为圆
B.若，则曲线C为双曲线
C.若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则其离心率
D.若曲线C为焦点在y轴上的双曲线，则其渐近线方程为
11、若，，则( )
A. B.
C. D.
12、为了确保在发生新冠肺炎疫情时，能够短时间内完成大规模全员核酸检测工作，采用“10合1混采检测”，即：每10个人的咽拭子合进一个采样管一起检测.如果该采样管中检测出来的结果是阴性，表示这10个人都是安全的.否则，立即对该混采的10个受检者暂时单独隔离，并重新采集单管拭子进行复核，以确定这10个人中的阳性者.某地区发现有输入性病例，需要进行全员核酸检测，若该地区共有10万人，设感染率为p(每个人受感染的概率)，则( )
A.该地区核酸检测结果是阴性的人数的数学期望为人
B.随机的10个一起检测的人所需检测的平均次数为次
C.该区采用“10合1混采检测”，需要重新采集单管拭子的平均人数为人
D.该区采用“10合1混采检测”比一人一检大约少用份检测试剂
三、填空题
13、某同学收集了具有线性相关关系的两个变量x，y的一组样本数据，经计算得到回归直线方程为，且，，则_________.
14、已知圆，点A、B在圆M上，且为的中点，则直线的方程为_____________.
15、随机变量X的分布为，若，则___________.
16、已知椭圆的左焦点为F，过F斜率为的直线l与椭圆C相交于A、B两点，若，则椭圆C的离心率_________.
四、解答题
17、已知三角形的顶点为，，，求：
(1)直线AB的方程；
(2)AB的中位线所在的直线方程.
18、已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线上.
(1)求圆C的标准方程；
(2)设P为圆C上的一个动点，O为坐标原点，求OP的中点M的轨迹方程.
19、如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为棱，BD的中点，点G在CD上，且.
(1)求直线EF与直线所成角的余弦值；
(2)求点到平面的距离.
20、甲、乙、丙进行乒乓球比赛，比赛规则如下：赛前抽签决定先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有人累计胜两场，比赛结束.经抽签，甲、乙先比赛，丙轮空.设比赛的场数为X，且每场比赛双方获胜的概率都为.
(1)求和；
(2)求.
21、如图，四棱锥，底面为正方形，平面，E为线段的中点.
(1)证明：；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.
22、已知O为坐标原点，椭圆的左 右焦点分别为，，直线与椭圆C交于E，F两点，当的周长取得最大值8时，.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点作斜率存在且不为0的直线l交椭圆C于A、B两点，若，直线与直线交于点Q，记直线、的斜率分别为，，试判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由.
参考答案
1、答案：C
解析：直线垂直于x轴，所以直线的倾斜角为.
故选：C.
2、答案：C
解析：因为抛物线的准线是直线，则该抛物线焦点在y轴上，开口向下，其标准方程为，
所以所求抛物线标准方程为.
故选：C.
3、答案：B
解析：2名教师排在两边有种排法，3名学生排在中间有种排法，
所以共有种排法；
故选：B.
4、答案：A
解析：由题意因为A，B，C，D四点共面且平面唯一确定，，
所以，即，
所以，
由一元二次函数的图像和性质可得当时，取得最小值，
所以，
故选：A.
5、答案：C
解析：不妨设点M在第一象限，
由题意得：，
即，
故，故，
因为O为的中点，
所以，
因为，故为等边三角形，
故，，
由双曲线定义可知：，
即，解得：.
故选：C.
6、答案：A
解析：由题意可知，，，可得，，
净重在179g与186.5g之间的概率为，
由正态分布的对称性可知，
；
所以净重在179g与186.5g之间的概率为.
故选：A.
7、答案：B
解析：因为可化为，表示的是以为圆心，为半径的圆，
可以看作是直线在y轴上的截距，
当直线与圆相切时，纵截距m取得最大值或最小值，
此时，解得或，所以，
又因为不等式恒成立，所以，
则c的取值范围是.
故选：B.
8、答案：A
解析：设的通项为，
设的通项为，
令，，，.
所以的系数为.
故选：A.
9、答案：AD
解析：当所有的样本点都在直线上时，样本点数据完全负相关，其相关系数，故A错误；
残差平方和越小的模型，越大，拟合的效果越好，故B正确；
相关系数值越大，则变量x与y的线性相关性越强，故C正确；
相关系数越小，则变量x与y的线性相关性越弱，D错误；
故选：AD.
10、答案：BD
解析：对于A选项，时表示圆，故A错误.
对于选项B，时表示焦点在x轴或者y轴上的双曲线.故B正确.
对于选项C，曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则，故C错误.
对于选项D，曲线C为焦点在y轴上的双曲线，则其渐近线方程为，故D错误.
故选：BD.
11、答案：BD
解析：对选项A，，
令，得，令，得，
所以，故A错误.
对选B，因为，
所以表示的各项系数之和，
令，则，故B正确.
对选项C，，所以，故C错误.
对选项D，因为，，
令，则，
则，故D正确.
故选：BD.
12、答案：BD
解析：感染率为p，没有感染的概率为，则为阴性的人数为Y，则，
所以核酸检测结果是阴性的人数的数学期望为，故A错误，
感染率为p，10个人的咽拭子混合在一起检测时，设随机变量X表示这10个人一共所需的检验次数，若第一次混检都是阴性，所需检测次数为1，；若是阳性，每人还得再单独检测一次，此时，且，，
于是平均检测次数是，故B正确，
采用“10合1混采检测”，1管中需要重新采样的概率为，所以10万人中需要重新采集单管拭子的平均人数为人，故C错误，
采取“10合1混采检测”方案，10万人可能需要进行检测的平均次数大约为：
，
即进行“10合1混采检测”方案，比“一人一检”方案少使用约份检测试剂，故D正确，
故选：BD.
13、答案：
解析：由题意知，，，因为样本中心点满足回归直线方程，所以.
故答案为：.
14、答案：
解析：可整理为，
所以圆心为，根据垂径定理可得，，
所以，直线AB的方程为整理得.
故答案为：.
15、答案：2
解析：，，
即，又，，，
.
故答案为：2.
16、答案：
解析：因为直线过且斜率为，所以直线为：，
与椭圆C：联立消去x，得，
设，，则，，
因为，可得，代入上式得，，
消去并化简整理得：，
将代入化简得：，解得，
因此，该双曲线的离心率.
故答案为：.
17、答案：(1)
(2)
解析：(1)由已知直线AB的斜率，
直线AB的方程为，即.
(2)AB边的中位线与AB平行且过AC中点，
AB的中位线所在的直线方程为，即.
18、答案：(1)
(2)
解析：(1)设圆心C的坐标为，半径为r，
圆心C在直线上，
，
圆C经过，两点，
，
即，
化简得：，又，
所以，，
圆心C的坐标为，，
所以圆C的标准方程为：；
(2)设，，
M为OP的中点，
，
，
P在圆C上，
，即，
OP的中点M的轨迹方程为.
19、答案：(1)
(2)
解析：(1)在棱长为1的正方体中，以D为坐标原点，DA、DC、所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，，，的中点，BD的中点，
又点G在CD上，且，则，，，
直线EF与直线所成的角为，则，
所以直线EF与直线所成角的余弦值为.
(2)由(1)知，，，，
设平面的一个法向量，则，令，得，
又，所以点到平面的距离.
20、答案：(1)，
(2)
解析：(1)由题意得，当时，甲连胜或乙连胜，
所以，
当时，丙连胜，；
(2)根据题意可得X可能的取值为2，3，4，
当时，前三局甲、乙、丙平局，最后一局甲赢或乙赢，
所以，
所以.
21、答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)连接，设与交点为O，连接，
因为为正方形，所以，
因为平面，所以，
因为，BD，PB含于面PBD，
所以平面，所以；
(2)因为底面为正方形，且平面，
所以，，两两垂直，则建立空间直角坐标系，如图所示.
所以，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，则，即，
令，则，
设直线与平面所成角为，由图可知为锐角，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为.
22、答案：(1)
(2)为定值，值为1
解析：(1)如图，当直线与椭圆C相交于，两点，与x轴交于G点时，
连接，由椭圆定义可知，显然，
同理可知，，显然，
所以当直线经过焦点时，的周长最大，
最大值为，所以.
此时，则，，
即，.
所以椭圆C的标准方程为.
(2)设直线l的方程为，与椭圆C方程联立得，
设，，则，，
可得，
又，所以直线的方程为，
令，得，
，
，
所以为定值，值为1.