答案和解析
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
11. 12.
13.且 14 . 15. 16.或
17. 18.
19.【答案】解：
．
20.【答案】解：根据题意得，，
故与的函数关系式为，；
根据题意得，，解得：，不合题意舍去，
答：要使日销售利润为元，销售单价应定为元；
根据题意得，，
，
当时，随的增大而增大，
当时，，
答：当为时，日销售利润最大，最大利润元．
21.【答案】解：，；
图形如下：
人，
答：估计该校选择“跑步”这种活动的学生约有人；
画树状图为：
共有种等可能的结果数，其中每班所抽到的两项方式恰好是“跑步”和“跳绳”的结果数为，
所以每班所抽到的两项方式恰好是“跑步”和“跳绳”的概率．
22.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，，，
，
点，分别为，的中点，
，，
，
在和中，
≌；
解：当时，四边形是矩形；
理由如下：
，，
，
是的中点，
，
，
同理：，
，
，
由得：≌，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形．
【解析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
由平行四边形的性质得出，，，，由平行线的性质得出，证出，由证明≌即可；
证出，由等腰三角形的性质得出，，同理：，得出，，得出四边形是平行四边形，即可得出结论．
23.【答案】证明：连接，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
又是半径
是半圆的切线；
解：连接交于，
是直径，
，
平分，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，则半圆的直径为．
24.【答案】解：把，代入得，
，
解得，
；
存在点，使得是直角三角形，理由如下：
由得，
，
设点，其中，
由图形可知，分或两种情况：
当时，作轴于，如图：
，
，
∽，
，
，
，
，
，
解得或与重合，舍去，
此时点的横坐标为；
当时，作轴于，于，如图：
，，
∽，
，
，，，
，
解得或舍去，
此时的横坐标为，
综上所述，满足条件的点有两个，横坐标为或；
由得抛物线对称轴为直线，
设，对称轴交轴于，过作直线于，
当在轴上方时，如图：
线段绕点逆时针旋转后，点的对应点，
，，
，
又，
≌，
，，
，
把代入得：
，
解得或舍去，
，
当在轴下方时，如图：
同理可得≌，
，，
，
把代入得：
，
解得舍去或，
，
综上所述，点的坐标为或．
第1页，共1页2022-2023下学期第一次月考数学测试题
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 实数的倒数是( )
A. B. C. D.
2. 如图是由几个相同的小正方体搭成的一个几何体，它的俯视图是( )
A. B.
C. D.
3. 一元二次方程 的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法判断
4. 抛物线可由抛物线如何平移得到的( )
A. 先向左平移个单位，再向下平移个单位
B. 先向左平移个单位，再向上平移个单位
C. 先向上平移个单位，再向左平移个单位
D. 先向右平移个单位，再向上平移个单位
5. 若，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
6. 如图是二次函数图象的一部分，对称轴为，且经过点下列说法：
；；；若，是抛物线上的两点，则；其中
其中说法正确的是( )
A. B. C. D.
7. 下列的正方形网格中，小正方形的边长均为，三角形的顶点都在格点上，则在网格图中的三角形与相似的是( )
A. B. C. D.
8. 随着电影流浪地球的热映，其同名科幻小说的销量也急剧上升．某书店分别用元和元两次购进该小说，第二次数量比第一次多套，则两次进价相同．该书店第一次购进套，根据题意，列方程正确的是( )
A. B. C. D.
9. 如图，点在的边上，要判断∽，添加一个条件，不正确的是( )
A. B.
C. D.
10. 在同一直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象可能是( )
A. B.
C. D.
11. 如图，是的直径，直线与相切于点，过，分别作，，垂足为点，，连接，，若，，则的长为( )
A. B. C. D.
12. 如图，抛物线与轴交于、两点，是以点为圆心，为半径的圆上的动点，是线段的中点，连接则线段的最大值是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共24分）
13. 在函数中，自变量的取值范围是____
14. 如图，将放在每个小正方形边长为的网格中，点，，均在格点上，则的值是______．
15. 分式方程的解为______．
16. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于点和点，则关于的不等式的解集是_________．
16题图 17题图
17. 如图，点的坐标是，点的坐标是，为的中点，将绕点逆时针旋转后得到若反比例函数的图象恰好经过的中点，则______．
18. 如图，在矩形中，，，为边上一点，将沿折叠，使得落到矩形内点的位置，连接，若，则 ．
三、计算题（本大题共2小题，共8分）
19. 计算：
化简：
四、解答题（本大题共5小题，共52.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20.（12分）小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为元，当销售单价定为元时，每天可以销售件．市场调查反映：销售单价每提高元，日销量将会减少件，物价部门规定：销售单价不能超过元，设该纪念品的销售单价为元，日销量为件，日销售利润为元．
求与的函数关系式．（并写出自变量的取值范围）
要使日销售利润为元，销售单价应定为多少元？
求日销售利润元与销售单价元的函数关系式，当为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润．
21. 本小题分
某校在一次大课间活动中，采用了四种活动形式：、跑步，、跳绳，、做操，、游戏．全校学生都选择了一种形式参与活动，小杰对同学们选用的活动形式进行了随机抽样调查，根据调查统计结果，绘制了不完整的统计图．
请结合统计图，回答下列问题：
本次调查学生共______ 人，______，并将条形图补充完整；
如果该校有学生人，请你估计该校选择“跑步”这种活动的学生约有多少人？
学校让每班在、、、四种活动形式中，随机抽取两种开展活动，请用树状图或列表的方法，求每班抽取的两种形式恰好是“跑步”和“跳绳”的概率．
22. 本小题分
如图，在 中，对角线与相交于点，点，分别为，的中点，延长至，使，连接．
求证：≌；
当与满足什么数量关系时，四边形是矩形？请说明理由．
23. 本小题分
如图，是半圆的直径，是半圆上的一点，平分交半圆于点，过点作与的延长线交于点．
求证：是半圆的切线；
若，，求半圆的直径．
24 本小题分
如图，抛物线是常数，且与轴交于，两点，与轴交于点并且，两点的坐标分别是，．
求抛物线的函数表达式；
点是第一象限内抛物线上的动点，是否存在点，使得是直角三角形？若存在，求点的横坐标；若不存在，请说明理由；
点在抛物线的对称轴上，若线段绕点逆时针旋转后，点的对应点恰好也落在此抛物线上，请直接写出点的坐标．
初三数学试题 第1页，共1页
