2021-2022学年广西地区八年级下学期人教版数学第十七章 勾股定理练习题 期末试题选编（含解析）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年广西地区八年级下学期人教版数学第十七章 勾股定理练习题 期末试题选编（含解析） |
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| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 695.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-03-25 00:00:00 | ||
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文档简介
第十七章：勾股定理
一、单选题
1．（2022春·广西贺州·八年级统考期末）如图，在中，，，点在上，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022春·广西钦州·八年级统考期末）一个直角三角形的模具，其中两边长分别为4cm、3cm，则第三条边长为( )
A．5cm B．4cm C．cm D．5cm或cm
3．（2022春·广西崇左·八年级统考期末）下列各组数中，是勾股数的是（ ）．
A．1，2，3 B． C． D．9，12，15
4．（2022春·广西百色·八年级统考期末）如图，以直角三角形的一条直角边和斜边为一边作正方形M和N，它们的面积分别为9平方厘米和25平方厘米，则直角三角形的周长为（ ）
A．24厘米 B．12厘米 C．9厘米 D．6厘米
5．（2022春·广西崇左·八年级统考期末）在Rt△中，，，则（ ）
A．9 B．18 C．20 D．24
6．（2022春·广西南宁·八年级统考期末）下面图形能够验证勾股定理的有（ ）个
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．（2022春·广西百色·八年级统考期末）已知中，，，的对边分别是，，．下列条件不能判断是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
8．（2022春·广西梧州·八年级统考期末）如图，学校有一块长方形花圃，有极少数同学为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了________步（假设1米＝2步），却踩伤了花草．
9．（2022春·广西贵港·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，已知直线轴，点的坐标为，和两点之间的距离为5，则点的坐标为_______．
10．（2022春·广西南宁·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，点（1，2）到原点的距离是______．
11．（2022春·广西南宁·八年级统考期末）我国古代数学善作《九章算术》中有这样一个问题：“分有池方一文，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，闻水深、度长各几何．”译文：“有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度和这根芦苇的长分别是多少？”这根芦苇的长度为__________尺．
12．（2022春·广西南宁·八年级统考期末）如图，这是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面的高度是_________尺（1丈＝10尺）
三、解答题
13．（2022春·广西南宁·八年级统考期末）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使点C落在斜边上的点E处，试求的长．
14．（2022春·广西防城港·八年级统考期末）如图1，一架云梯AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为20米，云梯AB的长度比OB的长度（云梯底端离墙的距离）大10米，设OB的长度为x米．
(1)用含有x的式子表示AB的长．
(2)求OB的长度；
(3)如图2，若云梯的顶端A沿墙下滑了5米到达点C处，试判断云梯的底部B是否也外移了5米？请说明理由．
15．（2022春·广西桂林·八年级统考期末）如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点，已知，．点D到地面的垂直距离米，求点A到墙壁BC的距离．
16．（2022春·广西百色·八年级统考期末）如图是长、宽、高的长方体容器．
(1)求底面矩形的对角线的长；
(2)长方体容器内可完全放入的棍子最长是多少？
17．（2022春·广西贺州·八年级统考期末）如图一艘轮船位于灯塔B的正西方向上的A处，且灯塔B到A处的距离为40海里，轮船沿东北方向匀速航行，速度为20海里/时．
（1）多长时间后，轮船行驶到达位于灯塔B的西北方向上的C处？（结果保留根号）
（2）若轮船不改变方向行驶，当轮船行驶到达位于灯塔B的北偏东15°方向上的D处时，求灯塔B到D处的距离．（结果保留根号）
18．（2022春·广西钦州·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AD＝12，BD＝16，CD＝5，求：
（1）△ABC的周长；
（2）△ABC是否是直角三角形？为什么？
19．（2022春·广西贺州·八年级统考期末）如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，A、B、C为格点（格子线的交点）
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；（2）求AB边上的高．
20．（2022春·广西南宁·八年级统考期末）已知等腰三角形ABC的底边BC＝20cm，D是腰AB上一点，且CD＝16cm，BD＝12cm．
(1)求证：CD⊥AB；
(2)求该三角形的腰的长度．
21．（2022春·广西崇左·八年级统考期末）如图，在四边形中，，，，，求四边形的面积．
22．（2022春·广西钦州·八年级统考期末）如图，在中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是内一点，且PB＝1，PC＝2，PA＝3，过点C作CD⊥CP，垂足为C，令CD＝CP，连接DP，BD，求∠BPC的度数．
23．（2022春·广西南宁·八年级统考期末）某天，暴雨突然来袭，两艘搜救艇接到消息，在海面上有遇险船只从A、B两地发出求救信号．于是，第一艘搜救艇以20海里/时的速度离开港口O沿北偏东40°的方向向A地出发，同时，第二艘搜救艇也从港口O出发，以15海里/时的速度向B地出发，2小时后，他们同时到达各自的目标位置．此时，他们相距50海里．
(1)求第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度？（求的大小）
(2)由于B地需要被援救的人数较多，故需要搭载人数较少的第一艘搜救艇改道去到B地支援，在从A地前往到B地的过程中，与港口O最近的距离是多少？
24．（2022春·广西梧州·八年级统考期末）某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠B=90°，AB=3m，BC=4m，CD=12m，AD=13m．若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金买草皮？
25．（2022春·广西百色·八年级统考期末）在一条东西走向的河流一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点D（A、D、B在同一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．
(1)求证：；
(2)求原来的路线的长．
26．（2022春·广西桂林·八年级统考期末）在一次“探究性学习”中，老师设计了如下数表：
2 3 4 5 6 …
…
4 6 8 10 12 …
…
（1）观察上表，用含（且为整数）的代数式表示，，，则 ， ， ．
（2）在（1）的条件下判断：以，，为边的三角形是否为直角三角形？证明你的结论．
参考答案：
1．D
【分析】根据勾股定理求出CD，根据三角形的外角的性质得到∠B＝∠BAD，求出BD，计算即可．
【详解】∵∠C＝90°，AC＝2，
∴CD＝，
∵∠ADC＝2∠B，∠ADC＝∠B＋∠BAD，
∴∠B＝∠BAD，
∴DB＝，
∴BC＝BD＋CD＝
故选：D．
【点睛】本题考查的是勾股定理，三角形的外角的性质以及等腰三角形的判定定理，掌握如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2是解题的关键．
2．D
【分析】由于直角三角形的斜边不明确，故应分类讨论，①当4为直角边时，②当4为斜边时，依次求出答案即可．
【详解】：①当4是直角边时，斜边=，此时第三边为5；
②当4为斜边时，此时第三边=
综上可得第三边的长度为5或．
故选：D．
【点睛】此题考查的是勾股定理，注意掌握勾股定理的表达式，分类讨论是关键，难点在于容易漏解．
3．D
【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【详解】解：A、12+22≠32，不能构成直角三角形，故不符合题意；
B、22+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，故不符合题意；
C、（）2+（）2＝（）2，能构成直角三角形，但不是整数、故不符合题意；
D、92+122=152，能构成直角三角形且是整数，是勾股数，故符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了勾股数的定义及勾股定理的逆定理，已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形．
4．B
【分析】如图，根据题意可得AB，AC的长，然后利用勾股定理求出BC的长，再计算直角三角形的周长即可．
【详解】解：如图，由题意得：AB＝，AC＝，
∴BC＝，
∴直角三角形的周长为：3＋4＋5＝12cm，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
5．B
【分析】根据勾股定理即可得到结论.
【详解】∵Rt△中，，，
∴2=18
故选B.
【点睛】此题主要考查勾股定理，解题的关键是熟知勾股定理的内容.
6．A
【分析】分别计算图形的面积进行证明即可．
【详解】解：A、由可得，故该项的图形能够验证勾股定理；
B、由可得，故该项的图形能够验证勾股定理；
C、由可得，故该项的图形能够验证勾股定理；
D、由可得，故该项的图形能够验证勾股定理；
故选：A．
【点睛】此题考查了图形与勾股定理的推导，熟记勾股定理的计算公式及各种图形面积的计算方法是解题的关键．
7．C
【分析】利用三角形的内角和定理、直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．
【详解】解：、，
，故是直角三角形；
、，，
，故是直角三角形；
、，
，故不是直角三角形；
、，
，故是直角三角形．
故选：．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的逆定理及三角形的内角和定理，当三角形的三边长a、b、c满足或三内角中有一个是直角的情况下，能判定三角形是直角三角形，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
8．4
【分析】根据勾股定理求出“路”的长度，再根据少走的“路”计算出少走的长度，得出所需步数即可．
【详解】解：由勾股定理可得：“路”的长度，
∴，
∵1米＝2步，
∴少走了4步
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的运用，熟练掌握相关概念是解题关键．
9．或
【分析】由AB平行与x轴可知A，B两点的距离等于横坐标之差的绝对值，只需分B在A的左边，B在A的右边两种情况讨论即可．
【详解】解：∵轴，
∴A，B两点的距离等于横坐标之差的绝对值，
当B在A的左边时，﹣2－5=﹣7，
故B点坐标为：，
当B在A的右边时，﹣2＋5=3，
故B点坐标为：
综上所述B点坐标为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查平行与坐标轴的线上的点的坐标特征，能够掌握数形结合思想是解决本题的关键．
10．
【分析】根据点的坐标，直接利用勾股定理可求解点到原点的距离．
【详解】解：∵点的坐标是（1，2），
∴点到原点的距离是：=．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了勾股定理，点的坐标，正确理解点的坐标性质是解题关键．
11．13
【分析】可以将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知EB'的长为10尺，则B'C＝5尺，设出芦苇长度AB＝AB'＝x尺，表示出水深AC，根据勾股定理建立方程即可．
【详解】依题意画出图形，
设芦苇长AB＝AB′＝x尺，则水深AC＝（x﹣1）尺，因为B'E＝10尺，所以B'C＝5尺，
在Rt△AB'C中，∵CB′2+AC2＝AB′2，
∴52+（x﹣1）2＝x2，
解得：x=13，
故答案为：13．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图，领会数形结合的思想的应用．
12．4.55
【分析】竹子折断后刚好构成一个直角三角形，设竹子折断出离地面的高度是x尺，则斜边为（10-x）尺，利用勾股定理求解即可得到答案．
【详解】解：设设竹子折断出离地面的高度是x尺，则斜边为（10-x）尺
由勾股定理得
解得
故答案为：4.55．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形利用勾股定理解题．
13．
【分析】由勾股定理求得，然后由翻折的性质求得，设，则，在中，利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：设，
∵，，
勾股定理得：，
根据翻折的性质可得，
，，
∴，，
在中，
，
，
解得：（），
∴的长为．
【点睛】本题主要考查的是翻折变换以及勾股定理的应用，熟练掌握翻折的性质和勾股定理是解题的关键．
14．(1)AB的长为（x+10）米
(2)OB的长度为15米
(3)云梯的底部B也外移了5米，理由见解析
【分析】（1）根据云梯AB的长度比OB的长度（云梯底端离墙的距离）大10米直接表示即可；
（2）在Rt△AOB中，利用勾股定理计算即可；
（3）表示出OC，再根据CD= AB，利用勾股定理即可求得OD，从而得出BD，即可判断．
(1)
解：∵云梯AB的长度比OB的长度（云梯底端离墙的距离）大10米，OB的长度为x米，
∴AB的长为（x+10）米．
(2)
在Rt△AOB中，由勾股定理得，
所以202 + x2＝（x+10）2
解得，
∴OB的长度为15米．
(3)
若云梯的顶端A沿墙下滑了5米到达点C处，
则云梯的底部B也外移了5米，理由如下：
如图2，由（1）（2）知OB=15米， 米，
∵云梯的顶端A沿墙下滑了5米到达点C处
∴ (米)，
CD= AB=(米)，
∴在Rt△COD中，OD＝ (米)
∴BD= OD –OB=(米)，
∴云梯的底部B也外移了5米．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，理解梯子在滑动过程中长度不变是解题关键．
15．点A到墙面BC的距离为米
【分析】在Rt△ADE中，运用勾股定理可求出梯子的总长度，在Rt△ABC中，根据已知条件可求出AC的长．
【详解】解：在中，，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
答：点A到墙面BC的距离为米．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出AB的长是解题关键．
16．(1)5cm
(2)13cm
【分析】（1）根据题意运用勾股定理即可得出结果．
（2）根据题意连接BD、ED，两次运用勾股定理即可得出结果．
（1）
解：∵、，∠ABC=90°，
∴对角线的长=cm；
（2）
解：如图所示：
连接BD、ED，
在Rt△BCD中，
∵、，∠ABC=90°，
∴BD=cm；
在Rt△EBD中，ED＝cm．
故这个盒子最长能放13cm的棍子．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意，作出辅助线、构造出直角三角形是解答此题的关键．
17．（1）小时；（2）海里
【分析】1）∠CAB＝45°，C的位置就是灯塔B的西北方向，在Rt△ABD中求的AC，再利用速度公式求解即可；
（2）在△BDC中含30°角的直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：（1）在中，由题意可知，，，
∴，为等腰直角三角形，，
∵，
∴，
∴，
∴（小时），
答：经过小时后，轮船到达位于灯塔B的西北方向上的C处．
（2）由1可知，
在中，，，
∴，
∴（海里）
答：灯塔B到D处的距离是海里．
【点睛】本题考查了勾股定理—方向角问题、含30°角的直角三角形的性质等知识，根据题意得出题目中的特殊角是解决本题的关键．
18．（1）54；（2）△ABC不是直角三角形．
【分析】（1）运用勾股定理求得AB、AC的长，然后根据三角形周长的定义解答即可；
（2）运用勾股定理逆定理判定即可．
【详解】解：（1）∵AD⊥BC，AD＝12，BD＝16
∴AB=
同理：AC=
∴△ABC的周长为AC+BC+AB=AC+BD+DC+AB=13+16+5+20=54；
（2）∵BC2=（BD+DC）2=212=441, AB2=202=400,AC2=132=169
∴BC2≠AB2+ AC2
∴△ABC不是直角三角形．
【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，灵活运用勾股定理成为解答本题的关键．
19．（1）△ABC是直角三角形，理由见解析；（2）．
【分析】（1）根据勾股定理和勾股定理的逆定理即可得到结论；
（2）根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：（1）∵，，，
∴，
∴△ABC是直角三角形；
（2）设AB边上的高为h，
∴，
∴．
即AB边上的高为．
【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
20．（1）见解析；（2）
【详解】试题分析：根据勾股定理的逆定理直接证明即可.
设腰长为x，则，根据勾股定理列出方程，解方程即可.
试题解析：
（1）∵BC＝20cm，CD＝16cm，BD＝12cm，满足，
根据勾股定理逆定理可知，∠BDC＝90°，即CD⊥AB；
（2）设腰长为x，则，由上问可知，
即：，解得：腰长.
点睛：勾股定理的逆定理：如果三角形中，两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
21．
【分析】根据勾股定理求出AC，根据勾股定理的逆定理求出∠ACD＝90°，根据三角形的面积公式分别求出△ABC和△ACD的面积，即可得出答案．
【详解】解：连接，
∵，，
∴，
∴，
在中，，，
∴，，
∴，
∴，
∴
=．
【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，判断出△ACD是直角三角形是解此题的关键．
22．135°．
【分析】证明，在中，勾股定理可得，由，得出∠BPD＝90°，根据∠BPC＝∠CPD＋∠BPD即可求解．
【详解】解：∵CD⊥CP，
∴∠PCD＝∠ACB＝90°
∵CD＝CP
∴∠CPD＝∠CDP＝45°
又∵∠ACP＝∠ACB－∠BCP
∠BCD＝∠PCD－∠BCP
∴∠ACP＝∠BCD
又∵AC＝BC，CD＝CP，
∴
∴DB＝PA＝3，
在中，
，
∵
即
∴∠BPD＝90°；
∴∠BPC＝∠CPD＋∠BPD＝45°＋90°＝135°．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理是解题的关键．
23．(1)50度
(2)24海里
【分析】（1）根据题意求出OA、OB，根据勾股定理的逆定理推证出即得；
（2）根据垂线段定理即得.
（1）
由题得：海里/时×2小时海里；海里/时×2小时海里，
∵，，
∴，
∴为直角三角形，
∴，
∵由题知，
∴，
即第二艘搜救艇的航行方向是北偏西50度.
（2）
过点O作，此时OE的长度即为最近距离，
由（1）知，，，
∴在中，有，
即，
∴，
答：与港口O最近的距离是24海里.
【点睛】本题考查了勾股定理和其逆定理的应用，能熟练运用勾股定理及和其逆定理是解决本题的关键.
24．学校需要投入7200元买草皮．
【分析】直接利用勾股定理的逆定理得出∠ACD=90°，再利用直角三角形的性质得出答案．
【详解】解：连接AC，
∵∠B=90°，AB=3m，BC=4m，CD=12m，AD=13m，
，则AC=5m，
∴，
又∵，
∴，
∴∠ACD=90°，
∴△ACD是直角三角形，
∴四边形ABCD的面积=×3×4+×5×12=6+30=36（），
∴学校要投入资金为：200×36=7200（元）；
答：学校需要投入7200元买草皮．
【点睛】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确得出△ACD是直角三角形是解题关键．
25．(1)是，理由见解析
(2)路线AC的长为8.45千米
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理解答即可；
（2）设AC＝x千米，则AD＝（x﹣2.5）千米．在直角△ACD中根据勾股定理解答即可．
【详解】（1）证明：∵CB＝6.5千米，CD＝6千米，BD＝2.5千米，
，
∴，
∴△CDB为直角三角形，
∴CD⊥AB；
（2）解：设AC＝x千米，则AD＝（x﹣2.5）千米．
∵CD⊥AB，∠ADC＝90°，
∴，即，
解得：x＝8.45．
答：原来的路线AC的长为8.45千米．
【点睛】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用，掌握定理是解题的关键．
26．（1）；； （2）是直角三角形；证明见解析
【分析】（1）根据题意找到规律即可写出；
（2）由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】解：（1）用含（且为整数）的代数式表示，，，为a＝，b＝2n，c＝
故答案为：；；
（2）以a，b，c为边的三角形是直角三角形
证明：∵a＝ n2－1 ，b＝ 2n ，c＝ n2 ＋1 ．
∴a2＝（n2－1）2＝n4－2n2＋1
b2＝（2n）2＝4n2
c2＝（ n2 ＋1）2 ＝n4＋2n2＋1．
又∵ a2＋b2＝n4－2n2＋1＋4n2＝n4＋2n2＋1
∴ a2＋b2＝c2
∴ 以a，b，c为边的三角形是直角三角形．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
一、单选题
1．（2022春·广西贺州·八年级统考期末）如图，在中，，，点在上，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022春·广西钦州·八年级统考期末）一个直角三角形的模具，其中两边长分别为4cm、3cm，则第三条边长为( )
A．5cm B．4cm C．cm D．5cm或cm
3．（2022春·广西崇左·八年级统考期末）下列各组数中，是勾股数的是（ ）．
A．1，2，3 B． C． D．9，12，15
4．（2022春·广西百色·八年级统考期末）如图，以直角三角形的一条直角边和斜边为一边作正方形M和N，它们的面积分别为9平方厘米和25平方厘米，则直角三角形的周长为（ ）
A．24厘米 B．12厘米 C．9厘米 D．6厘米
5．（2022春·广西崇左·八年级统考期末）在Rt△中，，，则（ ）
A．9 B．18 C．20 D．24
6．（2022春·广西南宁·八年级统考期末）下面图形能够验证勾股定理的有（ ）个
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．（2022春·广西百色·八年级统考期末）已知中，，，的对边分别是，，．下列条件不能判断是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
8．（2022春·广西梧州·八年级统考期末）如图，学校有一块长方形花圃，有极少数同学为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了________步（假设1米＝2步），却踩伤了花草．
9．（2022春·广西贵港·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，已知直线轴，点的坐标为，和两点之间的距离为5，则点的坐标为_______．
10．（2022春·广西南宁·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，点（1，2）到原点的距离是______．
11．（2022春·广西南宁·八年级统考期末）我国古代数学善作《九章算术》中有这样一个问题：“分有池方一文，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，闻水深、度长各几何．”译文：“有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度和这根芦苇的长分别是多少？”这根芦苇的长度为__________尺．
12．（2022春·广西南宁·八年级统考期末）如图，这是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面的高度是_________尺（1丈＝10尺）
三、解答题
13．（2022春·广西南宁·八年级统考期末）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使点C落在斜边上的点E处，试求的长．
14．（2022春·广西防城港·八年级统考期末）如图1，一架云梯AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为20米，云梯AB的长度比OB的长度（云梯底端离墙的距离）大10米，设OB的长度为x米．
(1)用含有x的式子表示AB的长．
(2)求OB的长度；
(3)如图2，若云梯的顶端A沿墙下滑了5米到达点C处，试判断云梯的底部B是否也外移了5米？请说明理由．
15．（2022春·广西桂林·八年级统考期末）如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点，已知，．点D到地面的垂直距离米，求点A到墙壁BC的距离．
16．（2022春·广西百色·八年级统考期末）如图是长、宽、高的长方体容器．
(1)求底面矩形的对角线的长；
(2)长方体容器内可完全放入的棍子最长是多少？
17．（2022春·广西贺州·八年级统考期末）如图一艘轮船位于灯塔B的正西方向上的A处，且灯塔B到A处的距离为40海里，轮船沿东北方向匀速航行，速度为20海里/时．
（1）多长时间后，轮船行驶到达位于灯塔B的西北方向上的C处？（结果保留根号）
（2）若轮船不改变方向行驶，当轮船行驶到达位于灯塔B的北偏东15°方向上的D处时，求灯塔B到D处的距离．（结果保留根号）
18．（2022春·广西钦州·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AD＝12，BD＝16，CD＝5，求：
（1）△ABC的周长；
（2）△ABC是否是直角三角形？为什么？
19．（2022春·广西贺州·八年级统考期末）如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，A、B、C为格点（格子线的交点）
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；（2）求AB边上的高．
20．（2022春·广西南宁·八年级统考期末）已知等腰三角形ABC的底边BC＝20cm，D是腰AB上一点，且CD＝16cm，BD＝12cm．
(1)求证：CD⊥AB；
(2)求该三角形的腰的长度．
21．（2022春·广西崇左·八年级统考期末）如图，在四边形中，，，，，求四边形的面积．
22．（2022春·广西钦州·八年级统考期末）如图，在中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是内一点，且PB＝1，PC＝2，PA＝3，过点C作CD⊥CP，垂足为C，令CD＝CP，连接DP，BD，求∠BPC的度数．
23．（2022春·广西南宁·八年级统考期末）某天，暴雨突然来袭，两艘搜救艇接到消息，在海面上有遇险船只从A、B两地发出求救信号．于是，第一艘搜救艇以20海里/时的速度离开港口O沿北偏东40°的方向向A地出发，同时，第二艘搜救艇也从港口O出发，以15海里/时的速度向B地出发，2小时后，他们同时到达各自的目标位置．此时，他们相距50海里．
(1)求第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度？（求的大小）
(2)由于B地需要被援救的人数较多，故需要搭载人数较少的第一艘搜救艇改道去到B地支援，在从A地前往到B地的过程中，与港口O最近的距离是多少？
24．（2022春·广西梧州·八年级统考期末）某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠B=90°，AB=3m，BC=4m，CD=12m，AD=13m．若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金买草皮？
25．（2022春·广西百色·八年级统考期末）在一条东西走向的河流一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点D（A、D、B在同一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．
(1)求证：；
(2)求原来的路线的长．
26．（2022春·广西桂林·八年级统考期末）在一次“探究性学习”中，老师设计了如下数表：
2 3 4 5 6 …
…
4 6 8 10 12 …
…
（1）观察上表，用含（且为整数）的代数式表示，，，则 ， ， ．
（2）在（1）的条件下判断：以，，为边的三角形是否为直角三角形？证明你的结论．
参考答案：
1．D
【分析】根据勾股定理求出CD，根据三角形的外角的性质得到∠B＝∠BAD，求出BD，计算即可．
【详解】∵∠C＝90°，AC＝2，
∴CD＝，
∵∠ADC＝2∠B，∠ADC＝∠B＋∠BAD，
∴∠B＝∠BAD，
∴DB＝，
∴BC＝BD＋CD＝
故选：D．
【点睛】本题考查的是勾股定理，三角形的外角的性质以及等腰三角形的判定定理，掌握如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2是解题的关键．
2．D
【分析】由于直角三角形的斜边不明确，故应分类讨论，①当4为直角边时，②当4为斜边时，依次求出答案即可．
【详解】：①当4是直角边时，斜边=，此时第三边为5；
②当4为斜边时，此时第三边=
综上可得第三边的长度为5或．
故选：D．
【点睛】此题考查的是勾股定理，注意掌握勾股定理的表达式，分类讨论是关键，难点在于容易漏解．
3．D
【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【详解】解：A、12+22≠32，不能构成直角三角形，故不符合题意；
B、22+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，故不符合题意；
C、（）2+（）2＝（）2，能构成直角三角形，但不是整数、故不符合题意；
D、92+122=152，能构成直角三角形且是整数，是勾股数，故符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了勾股数的定义及勾股定理的逆定理，已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形．
4．B
【分析】如图，根据题意可得AB，AC的长，然后利用勾股定理求出BC的长，再计算直角三角形的周长即可．
【详解】解：如图，由题意得：AB＝，AC＝，
∴BC＝，
∴直角三角形的周长为：3＋4＋5＝12cm，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
5．B
【分析】根据勾股定理即可得到结论.
【详解】∵Rt△中，，，
∴2=18
故选B.
【点睛】此题主要考查勾股定理，解题的关键是熟知勾股定理的内容.
6．A
【分析】分别计算图形的面积进行证明即可．
【详解】解：A、由可得，故该项的图形能够验证勾股定理；
B、由可得，故该项的图形能够验证勾股定理；
C、由可得，故该项的图形能够验证勾股定理；
D、由可得，故该项的图形能够验证勾股定理；
故选：A．
【点睛】此题考查了图形与勾股定理的推导，熟记勾股定理的计算公式及各种图形面积的计算方法是解题的关键．
7．C
【分析】利用三角形的内角和定理、直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．
【详解】解：、，
，故是直角三角形；
、，，
，故是直角三角形；
、，
，故不是直角三角形；
、，
，故是直角三角形．
故选：．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的逆定理及三角形的内角和定理，当三角形的三边长a、b、c满足或三内角中有一个是直角的情况下，能判定三角形是直角三角形，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
8．4
【分析】根据勾股定理求出“路”的长度，再根据少走的“路”计算出少走的长度，得出所需步数即可．
【详解】解：由勾股定理可得：“路”的长度，
∴，
∵1米＝2步，
∴少走了4步
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的运用，熟练掌握相关概念是解题关键．
9．或
【分析】由AB平行与x轴可知A，B两点的距离等于横坐标之差的绝对值，只需分B在A的左边，B在A的右边两种情况讨论即可．
【详解】解：∵轴，
∴A，B两点的距离等于横坐标之差的绝对值，
当B在A的左边时，﹣2－5=﹣7，
故B点坐标为：，
当B在A的右边时，﹣2＋5=3，
故B点坐标为：
综上所述B点坐标为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查平行与坐标轴的线上的点的坐标特征，能够掌握数形结合思想是解决本题的关键．
10．
【分析】根据点的坐标，直接利用勾股定理可求解点到原点的距离．
【详解】解：∵点的坐标是（1，2），
∴点到原点的距离是：=．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了勾股定理，点的坐标，正确理解点的坐标性质是解题关键．
11．13
【分析】可以将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知EB'的长为10尺，则B'C＝5尺，设出芦苇长度AB＝AB'＝x尺，表示出水深AC，根据勾股定理建立方程即可．
【详解】依题意画出图形，
设芦苇长AB＝AB′＝x尺，则水深AC＝（x﹣1）尺，因为B'E＝10尺，所以B'C＝5尺，
在Rt△AB'C中，∵CB′2+AC2＝AB′2，
∴52+（x﹣1）2＝x2，
解得：x=13，
故答案为：13．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图，领会数形结合的思想的应用．
12．4.55
【分析】竹子折断后刚好构成一个直角三角形，设竹子折断出离地面的高度是x尺，则斜边为（10-x）尺，利用勾股定理求解即可得到答案．
【详解】解：设设竹子折断出离地面的高度是x尺，则斜边为（10-x）尺
由勾股定理得
解得
故答案为：4.55．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形利用勾股定理解题．
13．
【分析】由勾股定理求得，然后由翻折的性质求得，设，则，在中，利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：设，
∵，，
勾股定理得：，
根据翻折的性质可得，
，，
∴，，
在中，
，
，
解得：（），
∴的长为．
【点睛】本题主要考查的是翻折变换以及勾股定理的应用，熟练掌握翻折的性质和勾股定理是解题的关键．
14．(1)AB的长为（x+10）米
(2)OB的长度为15米
(3)云梯的底部B也外移了5米，理由见解析
【分析】（1）根据云梯AB的长度比OB的长度（云梯底端离墙的距离）大10米直接表示即可；
（2）在Rt△AOB中，利用勾股定理计算即可；
（3）表示出OC，再根据CD= AB，利用勾股定理即可求得OD，从而得出BD，即可判断．
(1)
解：∵云梯AB的长度比OB的长度（云梯底端离墙的距离）大10米，OB的长度为x米，
∴AB的长为（x+10）米．
(2)
在Rt△AOB中，由勾股定理得，
所以202 + x2＝（x+10）2
解得，
∴OB的长度为15米．
(3)
若云梯的顶端A沿墙下滑了5米到达点C处，
则云梯的底部B也外移了5米，理由如下：
如图2，由（1）（2）知OB=15米， 米，
∵云梯的顶端A沿墙下滑了5米到达点C处
∴ (米)，
CD= AB=(米)，
∴在Rt△COD中，OD＝ (米)
∴BD= OD –OB=(米)，
∴云梯的底部B也外移了5米．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，理解梯子在滑动过程中长度不变是解题关键．
15．点A到墙面BC的距离为米
【分析】在Rt△ADE中，运用勾股定理可求出梯子的总长度，在Rt△ABC中，根据已知条件可求出AC的长．
【详解】解：在中，，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
答：点A到墙面BC的距离为米．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出AB的长是解题关键．
16．(1)5cm
(2)13cm
【分析】（1）根据题意运用勾股定理即可得出结果．
（2）根据题意连接BD、ED，两次运用勾股定理即可得出结果．
（1）
解：∵、，∠ABC=90°，
∴对角线的长=cm；
（2）
解：如图所示：
连接BD、ED，
在Rt△BCD中，
∵、，∠ABC=90°，
∴BD=cm；
在Rt△EBD中，ED＝cm．
故这个盒子最长能放13cm的棍子．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意，作出辅助线、构造出直角三角形是解答此题的关键．
17．（1）小时；（2）海里
【分析】1）∠CAB＝45°，C的位置就是灯塔B的西北方向，在Rt△ABD中求的AC，再利用速度公式求解即可；
（2）在△BDC中含30°角的直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：（1）在中，由题意可知，，，
∴，为等腰直角三角形，，
∵，
∴，
∴，
∴（小时），
答：经过小时后，轮船到达位于灯塔B的西北方向上的C处．
（2）由1可知，
在中，，，
∴，
∴（海里）
答：灯塔B到D处的距离是海里．
【点睛】本题考查了勾股定理—方向角问题、含30°角的直角三角形的性质等知识，根据题意得出题目中的特殊角是解决本题的关键．
18．（1）54；（2）△ABC不是直角三角形．
【分析】（1）运用勾股定理求得AB、AC的长，然后根据三角形周长的定义解答即可；
（2）运用勾股定理逆定理判定即可．
【详解】解：（1）∵AD⊥BC，AD＝12，BD＝16
∴AB=
同理：AC=
∴△ABC的周长为AC+BC+AB=AC+BD+DC+AB=13+16+5+20=54；
（2）∵BC2=（BD+DC）2=212=441, AB2=202=400,AC2=132=169
∴BC2≠AB2+ AC2
∴△ABC不是直角三角形．
【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，灵活运用勾股定理成为解答本题的关键．
19．（1）△ABC是直角三角形，理由见解析；（2）．
【分析】（1）根据勾股定理和勾股定理的逆定理即可得到结论；
（2）根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：（1）∵，，，
∴，
∴△ABC是直角三角形；
（2）设AB边上的高为h，
∴，
∴．
即AB边上的高为．
【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
20．（1）见解析；（2）
【详解】试题分析：根据勾股定理的逆定理直接证明即可.
设腰长为x，则，根据勾股定理列出方程，解方程即可.
试题解析：
（1）∵BC＝20cm，CD＝16cm，BD＝12cm，满足，
根据勾股定理逆定理可知，∠BDC＝90°，即CD⊥AB；
（2）设腰长为x，则，由上问可知，
即：，解得：腰长.
点睛：勾股定理的逆定理：如果三角形中，两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
21．
【分析】根据勾股定理求出AC，根据勾股定理的逆定理求出∠ACD＝90°，根据三角形的面积公式分别求出△ABC和△ACD的面积，即可得出答案．
【详解】解：连接，
∵，，
∴，
∴，
在中，，，
∴，，
∴，
∴，
∴
=．
【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，判断出△ACD是直角三角形是解此题的关键．
22．135°．
【分析】证明，在中，勾股定理可得，由，得出∠BPD＝90°，根据∠BPC＝∠CPD＋∠BPD即可求解．
【详解】解：∵CD⊥CP，
∴∠PCD＝∠ACB＝90°
∵CD＝CP
∴∠CPD＝∠CDP＝45°
又∵∠ACP＝∠ACB－∠BCP
∠BCD＝∠PCD－∠BCP
∴∠ACP＝∠BCD
又∵AC＝BC，CD＝CP，
∴
∴DB＝PA＝3，
在中，
，
∵
即
∴∠BPD＝90°；
∴∠BPC＝∠CPD＋∠BPD＝45°＋90°＝135°．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理是解题的关键．
23．(1)50度
(2)24海里
【分析】（1）根据题意求出OA、OB，根据勾股定理的逆定理推证出即得；
（2）根据垂线段定理即得.
（1）
由题得：海里/时×2小时海里；海里/时×2小时海里，
∵，，
∴，
∴为直角三角形，
∴，
∵由题知，
∴，
即第二艘搜救艇的航行方向是北偏西50度.
（2）
过点O作，此时OE的长度即为最近距离，
由（1）知，，，
∴在中，有，
即，
∴，
答：与港口O最近的距离是24海里.
【点睛】本题考查了勾股定理和其逆定理的应用，能熟练运用勾股定理及和其逆定理是解决本题的关键.
24．学校需要投入7200元买草皮．
【分析】直接利用勾股定理的逆定理得出∠ACD=90°，再利用直角三角形的性质得出答案．
【详解】解：连接AC，
∵∠B=90°，AB=3m，BC=4m，CD=12m，AD=13m，
，则AC=5m，
∴，
又∵，
∴，
∴∠ACD=90°，
∴△ACD是直角三角形，
∴四边形ABCD的面积=×3×4+×5×12=6+30=36（），
∴学校要投入资金为：200×36=7200（元）；
答：学校需要投入7200元买草皮．
【点睛】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确得出△ACD是直角三角形是解题关键．
25．(1)是，理由见解析
(2)路线AC的长为8.45千米
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理解答即可；
（2）设AC＝x千米，则AD＝（x﹣2.5）千米．在直角△ACD中根据勾股定理解答即可．
【详解】（1）证明：∵CB＝6.5千米，CD＝6千米，BD＝2.5千米，
，
∴，
∴△CDB为直角三角形，
∴CD⊥AB；
（2）解：设AC＝x千米，则AD＝（x﹣2.5）千米．
∵CD⊥AB，∠ADC＝90°，
∴，即，
解得：x＝8.45．
答：原来的路线AC的长为8.45千米．
【点睛】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用，掌握定理是解题的关键．
26．（1）；； （2）是直角三角形；证明见解析
【分析】（1）根据题意找到规律即可写出；
（2）由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】解：（1）用含（且为整数）的代数式表示，，，为a＝，b＝2n，c＝
故答案为：；；
（2）以a，b，c为边的三角形是直角三角形
证明：∵a＝ n2－1 ，b＝ 2n ，c＝ n2 ＋1 ．
∴a2＝（n2－1）2＝n4－2n2＋1
b2＝（2n）2＝4n2
c2＝（ n2 ＋1）2 ＝n4＋2n2＋1．
又∵ a2＋b2＝n4－2n2＋1＋4n2＝n4＋2n2＋1
∴ a2＋b2＝c2
∴ 以a，b，c为边的三角形是直角三角形．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．