2021-2022学年广西地区八年级下学期人教版数学第十八章 平行四边形练习题 期末试题选编（含解析）

第十八章：平行四边形
一、单选题
1．（2022春·广西南宁·八年级统考期末）如图， ABCD中，AB＝4，BC＝6，AC的垂直平分线交AD于点E，则△CDE的周长是( )
A．6 B．8 C．10 D．12
2．（2022春·广西贺州·八年级统考期末）平行四边形中， ，则 （ ）
A．70° B．110° C．125° D．130°
3．（2022春·广西钦州·八年级统考期末）如图，在□ABCD中，下列说法一定正确的是（ ）
A．AC=BD B．AC⊥BD C．BD平分∠ADC D．∠ADC=∠ABC
4．（2022春·广西钦州·八年级统考期末）如图，下列选项中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是( )
A．， B．，
C．， D．，
5．（2022春·广西崇左·八年级统考期末）如图，平行四边形ABCD的周长是32，对角线AC、BD相交于点O，点E是AD的中点，BD＝12，则△DOE的周长为（　　）
A．16 B．14 C．22 D．18
6．（2022春·广西桂林·八年级统考期末）如图，在中，，点，分别是，的中点，点在的延长线上，，，，则四边形的周长为（ ）
A．14 B．16 C．18 D．20
7．（2022春·广西百色·八年级统考期末）矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　）
A．对边相等 B．对角相等
C．对角线相等 D．对角线互相平分
8．（2022春·广西玉林·八年级统考期末）如图，矩形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点、，，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022春·广西河池·八年级统考期末）如果矩形的一边与对角线的夹角为，则两条对角线相交所成的锐角的度数为（ ）
A．60° B．70° C．80° D．90°
10．（2022春·广西贺州·八年级统考期末）下列语句正确的是( )
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．有两对邻角互补的四边形为平行四边形
C．矩形的对角线相等
D．平行四边形是轴对称图形
11．（2022春·广西贺州·八年级统考期末）如图，直角三角形ABC的面积为4，点D是斜边AB的中点，过点D作于点E，于点F，则四边形DECF的面积为（ ）
A．1 B．2 C．2.5 D．3
12．（2022春·广西桂林·八年级统考期末）如图，菱形ABCD中，∠D＝140°，则∠1的大小是（　　）
A．10° B．20° C．30° D．40°
13．（2022春·广西南宁·八年级统考期末）如图，在菱形中，，连接、，则的值为（ ）
A． B． C． D．
14．（2022春·广西崇左·八年级统考期末）已知边长为的菱形，一条对角线长为，则它的面积为（）
A．96 B．80 C．60 D．48
15．（2022春·广西崇左·八年级统考期末）下列选项中，平行四边形、矩形、菱形、正方形共同具有的性质是（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相垂直
C．对角线互相平分 D．每条对角线平分一组对角
16．（2022春·广西河池·八年级统考期末）如图，正方形的周长为24，为对角线上的一个动点，是的中点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
17．（2022春·广西贵港·八年级统考期末）图，正方形ABCD的面积为4，菱形AECF的面积为2，则EF的长是（　　）
A．1 B． C．2 D．2
二、填空题
18．（2022春·广西南宁·八年级统考期末）在四边形ABCD中，，，若，则______．
19．（2022春·广西梧州·八年级统考期末）如图，矩形ABCD中，AB=3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为____________．
20．（2022春·广西南宁·八年级统考期末）如图，P是矩形ABCD的对角线AC的中点，E是AD的中点．若AB＝6，AD＝8，则四边形ABPE的周长是 _____．
21．（2022春·广西桂林·八年级统考期末）如图，在矩形中，，点E为的中点，将沿折叠，使点B落在矩形内点F处，连接，则的长为____________________．
22．（2022春·广西钦州·八年级统考期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD于O，AB=6，BC=8，点E、F分别是BC、AB的中点，若OF⊥OE，则EF的长为__________
23．（2022春·广西贺州·八年级统考期末）如图，四边形中，，，请你再添加一个条件使四边形是矩形．你添加的一个条件是______________________．
24．（2022春·广西钦州·八年级统考期末）如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的点，连接AE，EF，AF，若DF＋BE＝EF，则∠EAF的度数为____．
三、解答题
25．（2022春·广西河池·八年级统考期末）如图，在△中，∠=90°，∠=45°，=10，点从点出发沿方向以1/的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿以/的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动时间为（0≤≤10）．过点作⊥于点，连接、．
(1)用含的式子填空：= ,= ；
(2)试说明，无论为何值，四边形都是平行四边形；
(3)当为何值时，以、、为顶点的三角形是直角三角形．
26．（2022春·广西南宁·八年级统考期末）在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝α（0°＜α＜90°），AD∥BC．
(1)如图1，求证：四边形ABCD是平行四边形；
(2)如图2，BE平分∠ABC，交AD于点E，若α＝30°，AB＝2，求△ABE的面积；
(3)如图3，BE平分∠ABC，交AD于点E，作AH⊥CD交射线DC于点H，交BE于点F，若AB＝AH，请探究线段AF，DE，CH的数量关系．
27．（2022春·广西来宾·八年级统考期末）如图，已知 ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AD＝12，BD＝10，AC＝26．
（1）求△ADO的周长；
（2）求证：△ADO是直角三角形．
28．（2022春·广西贺州·八年级统考期末）已知：如图，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE．
（1）求证：△AFD≌△CEB．
（2）求证：四边形ABCD是平行四边形．
29．（2022春·广西梧州·八年级统考期末）如图，E、F是平行四边形对角线上的两点，且．求证：四边形是平行四边形．
30．（2022春·广西百色·八年级统考期末）如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E，
（1）求证：BE=CD；
（2）连接BF，若BF⊥AE，∠BEA=60°，AB=4，求平行四边形ABCD的面积．
31．（2022春·广西贵港·八年级统考期末）如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，
（1）求证：OE=OF；
（2）若CE=12，CF=5，求OC的长；
（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
32．（2022春·广西崇左·八年级统考期末）如图，的对角线，相交于点，是等边三角形，．
（1）求证：是矩形；
（2）求的长．
33．（2022春·广西北海·八年级统考期末）如图，等腰中，，交于D点，E点是的中点，分别过D、E两点作线段的垂线，垂足分别为G、F两点．
(1)求证：四边形为矩形；
(2)若，，求的长．
34．（2022春·广西百色·八年级统考期末）如图，菱形的对角线相交于点且．求证：四边形是矩形．
35．（2022春·广西桂林·八年级统考期末）如图，在矩形中，过对角线的中点作垂线分别交边、于点，，连接，．
（1）求证：
（2）判断四边形的形状，并证明；
（3）若，，求的长．
36．（2022春·广西贺州·八年级统考期末）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，BF平分∠ABC交AD于点F，AE与BF交于点O，连接EF，OC．
(1)求证：四边形ABEF是菱形．
(2)若AB=4，BC=6，∠ABC=60°，求OC的长．
37．（2022春·广西梧州·八年级统考期末）如图，在 ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE=DF
（1）求证： ABCD是菱形；
（2）若AB=5，AC=6，求 ABCD的面积．
38．（2022春·广西桂林·八年级统考期末）如图一，P为正方形的边上一动点（P与B，C不重合），连接，过点B作交于点Q，将沿所在的直线对折得到，延长交的延长线于点M．
(1)求证：；
(2)如图二，过点Q作，垂足为H，当时，分别求的长；
(3)当时，求的长．
参考答案：
1．C
【分析】由平行四边形的性质得出DC＝AB＝4，AD＝BC＝6，由线段垂直平分线的性质得出AE＝CE，得出△CDE的周长＝AD+DC，即可得出结果．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC＝AB＝4，AD＝BC＝6．
∵AC的垂直平分线交AD于点E，∴AE＝CE，∴△CDE的周长＝DE+CE+DC＝DE+AE+DC＝AD+DC＝6+4＝10．
故选C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形周长的计算；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
2．C
【分析】根据平行四边形的性质可知∠A＝∠C，再根据邻角互补即可求出∠B．
【详解】解：在 ABCD中，∠A＝∠C，ADBC
∵∠A+∠C＝110°，
∴∠A＝∠C＝55°，
∴∠B＝180°﹣∠A＝125°，
故选：C．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对角相等、邻角互补的性质是解题关键．
3．D
【分析】根据平行四边形对角线互相平分，可判断A、B选项；根据平行四边形对角线并不平分一组对角，可判断C选项；利用平行四边形的对角相等，可判断D选项．
【详解】在□ABCD中，
A. ACBD，故A选项错误；
B. AC不垂直于BD，故B选项错误；
C. BD不平分∠ADC，故C选项错误；
D. ∠ADC=∠ABC，故D选项正确；
故选：D．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，牢记知识点是解题的关键．
4．C
【分析】根据平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③对角线互相平分的四边形是平行四边形；④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，对每个选项进行筛选可得答案．
【详解】解：A、根据对角线互相平分，可得四边形是平行四边形，可以证明四边形ABCD是平行四边形，本选项不符合题意；
B、ABCD，AB＝CD，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可以证明四边形ABCD是平行四边形，本选项不符合题意；
C、，不是同一组对边的平行且相等，不能证明四边形ABCD是平行四边形，本选项符合题意；
D、，，结合四边形内角和为可得∠ABC＋∠BCD＝180°，从而ABCD，同理可得∠ABC＋∠BAD＝180°，从而ADBC，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以证明四边形ABCD是平行四边形，本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查平行四边形的判定问题，熟练掌握平行四边形的性质，能够熟练判定一个四边形是否为平行四边形是解决问题的关键．
5．B
【分析】根据平行四边形的性质可得OD=，从而得到，进而得到△DOE的周长等于DO+DE+OE=，即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD=，
∵点E是AD的中点，
∴，
∵平行四边形ABCD的周长是32，
∴AD+AB=16，
∵BD＝12，
∴△DOE的周长等于DO+DE+OE=．
故选：B
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握平行四边形的性质，三角形中位线定理是解题的关键．
6．B
【分析】根据勾股定理先求出BC的长，再根据三角形中位线定理和直角三角形的性质求出DE和AE的长，进而由已知可判定四边形AEDF是平行四边形，即可求得其周长．
【详解】在Rt△ABC中，
∵AC=6，AB=8，
∴BC=10，
∵E是BC的中点，
∴AE=BE=5，
∴∠BAE=∠B，
∵∠FDA=∠B，
∴∠FDA=∠BAE，
∴DF∥AE，
∵D、E分别是AB、BC的中点，
∴DE∥AC，DE= AC=3
∴四边形AEDF是平行四边形
∴四边形AEDF的周长=2×（3+5）=16．
故选B．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质、等腰三角形的判定以及平行四边形的判定；熟练运用三角形的中位线定理和直角三角形的勾股定理是解题的关键．
7．C
【分析】根据矩形和平行四边形的性质进行解答即可．
【详解】矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，不一定相等．
故选C．
【点睛】本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．如：矩形的对角线相等；四个角都是直角等．
8．B
【分析】首先结合矩形的性质证明≌，得、的面积相等，从而将阴影部分的面积转化为的面积．
【详解】解：四边形是矩形，
，；AB=CD=4，
在和中，
，
≌，
，
；
，故．
故选： B．
【点睛】此题主要考查了矩形的性质以及全等三角形的判定和性质，能够根据三角形全等，从而将阴影部分的面积转化为矩形面积的一半，是解决问题的关键．
9．C
【分析】先画出简单的图形，因为矩形两对角线相等且互相平分，又有一角的度数，可由三角形内角和求解角的度数．
【详解】解：如图，
∵矩形两对角线相等且互相平分，一边与对角线的夹角为50°，即∠OAB = 50°，OB=OA，
∴另一角∠OBA =∠OAB = 50°，
由三角形内角和可得两条对角线相交所成的锐角的度数即∠AOB= 180°- 50° - 50°= 80°．
故选C．
【点睛】本题考查了矩形、等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理．
10．C
【详解】分析：
根据各选项中所涉及的几何图形的性质或判断进行分析判断即可.
详解：
A选项中，因为“对角线互相垂直的平行四边形才是菱形”，所以A中说法错误；
B选项中，因为“有两对邻角互补的四边形不一定是平行四边形，如梯形”，所以B中说法错误；
C选项中，因为“矩形的对角线是相等的”，所以C中说法正确；
D选项中，因为“平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形”，所以D中说法错误.
故选C.
点睛：熟记“各选项中所涉及的几何图形的性质和判定”是解答本题的关键.
11．B
【分析】先判断四边形为矩形，由D是中点得到，的长求出面积．
【详解】∵，，
四边形矩形，
又，
E、F为，的中点，
∴，，
．
故选：B．
【点睛】本题考查矩形的判定和三角形的中位线，判断四边形的形状是解题的关键．
12．B
【分析】由菱形的性质得到DA＝DC，∠DAC＝∠1，由等腰三角形的性质得到∠DAC＝∠DCA＝∠1，根据三角形的内角和定理求出∠DAC，即可得到∠1．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴DA＝DC，∠DAC＝∠1，
∴∠DAC＝∠DCA＝∠1，
在△ABD中，
∵∠D＝140°，∠D+∠DAC+∠DCA＝180°，
∴∠DAC＝∠DCA＝（180°﹣∠D）＝×（180°﹣140°）＝20°，
∴∠1＝20°，
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的性质，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠DAC是解决问题的关键．
13．D
【分析】设AC与BD的交点为O，由题意易得，，进而可得△ABC是等边三角形，，然后问题可求解．
【详解】解：设AC与BD的交点为O，如图所示：
∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴△ABC是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选D．
【点睛】本题主要考查菱形的性质、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握菱形的性质、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理是解题的关键．
14．A
【分析】根据菱形的性质利用勾股定理求得另一条对角线的长，在根据菱形的面积等于两条对角线的乘积的一半求得其面积．
【详解】解：如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于O，
∵
∴
∵
∴
∴
∴
故选：A．
【点睛】本题考查了菱形的性质及勾股定理的理解及运用．
15．C
【分析】根据矩形，菱形，正方形都是特殊的平行四边形，平行四边形具有的性质，特殊平行四边形都肯定具有，可判断出正确选项．
【详解】解：A、矩形和正方形的对角线相等，菱形和平行四边形的对角线不一定相等，故此选项不符合题意；
B、正方形和菱形的对角线垂直，平行四边形和矩形的对角线不一定垂直，故此选项不符合题意；
C、平行四边形，矩形，菱形，正方形的对角线都互相平分，故此选项符合题意；
D、菱形和正方形的对角线平分一组对角，矩形和平行四边形的对角线不一定平分一组对角，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、菱形的性质、矩形的性质、正方形的性质，熟练掌握并区分这些性质是解题的关键．
16．A
【分析】由于点B与D关于AC对称，所以连接BE，与AC的交点即为P点.此时PE+PD=BE最小，而BE是直角△CBE的斜边，利用勾股定理即可得出结果；
【详解】解：如图，连接BE，设BE与AC交于点P'，
∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与D关于AC对称，
∴P'D=P'B，
∴P'D+P'E=P'B+P'E=BE最小.
即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，即为BE的长度.
∵正方形的周长为24
∴直角△CBE中，∠BCE=90°，BC=6，CE=CD=3，
∴.
故选A.
【点睛】本题题考查了轴对称中的最短路线问题，要灵活运用正方形的性质、对称性是解决此类问题的重要方法，找出P点位置是解题的关键
17．B
【分析】连接，由正方形的面积可求解的长，再根据菱形的面积即可求解的长．
【详解】解：连接，
正方形的面积为4，
，
解得，
菱形的面积为2，
，
即，
解得，
故选：B．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，菱形的性质，熟练掌握正方形和菱形的面积公式是解题的关键．
18．140°
【分析】根据ABCD，AB=CD，可得四边形ABCD为平行四边形，根据平行四边形的性质即可得答案．
【详解】解：∵ABCD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC
∵∠A=40°，
∴∠B=140°，
故答案为：140°．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质，解题的关键是判定四边形ABCD为平行四边形．
19．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD，OA=OC，AC=BD，
∴OA=OB，
∵AE垂直平分OB，
∴AB=AO，
∴OA=AB=OB=3，
∴BD=2OB=6，
∴AD=．
故答案为：．
【点睛】此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．
20．18
【分析】根据中点的定义求出AE，利用三角形中位线定理求出EP，利用勾股定理求出AC即可利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出BP，由此即可得到答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，AB=6，AD=8，
∴CD=AB=6，∠D=∠ABC=90°，
∴，
∵E、P分别是AD，AC的中点，
∴EP是△ADC的中位线，，，
∴，
∴四边形ABPE的周长=AB+BP+EP+AE=4+3+5+6=18，
故答案为：18．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，熟知相关知识识解题的关键．
21．
【分析】连接BF，根据三角形的面积公式求出BH，得到BF，根据直角三角形的判定得到∠BFC=90°，根据勾股定理求出答案．
【详解】解：连接BF，
∵BC=6，点E为BC的中点，
∴BE=3，
又∵AB=4，
∴AE=，
∴BH=，
则BF=，
∵FE=BE=EC，
∴∠BFC=90°，
根据勾股定理得，CF=，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是翻折变换的性质和矩形的性质，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
22．5
【分析】因AC⊥BD，可知△OBC和△OAB均为直角三角形，又知点E、F分别是BC、AB的中点，所以OE、OF为斜边上的中线，可求出，再根据勾股定理求得EF的值．
【详解】解：∵AC⊥BD，
∴△OBC，△OAB均是直角三角形，
又∵点E、F分别是BC、AB的中点，AB=6，BC=8，
∴，
∴．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线的性质和勾股定理，准确运用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
23．（答案不唯一）
【分析】先得到四边形ABCD是平行四边形，再利用对角线相等的平行四边形是矩形来求解．
【详解】解：∵，，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵，AC和BD是对角线，
∴四边形是矩形．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和矩形的判定，理解相关知识是解答关键．
24．45°
【分析】延长CB到G，使BG=DF，根据正方形的性质得到AD=AB，∠D=∠ABE=90°，求得∠ABG=∠D=90°，根据全等三角形的性质得到AG=AF，∠GAB=∠DAF，求得GE=EF，推出△AGE≌△AFE（SSS），根据全等三角形的性质得到∠GAE=∠EAF，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：延长CB到G，使BG=DF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠D=∠ABE=90°，
∴∠ABG=∠D=90°，
在△ADF与△ABG中，
，
∴△ADF≌△ABG（SAS），
∴AG=AF，∠GAB=∠DAF，
∵DF+BE=EF，EG=BG+BE=DF+BE，
∴GE=EF，
在△AGE与△AFE中，
，
∴△AGE≌△AFE（SSS），
∴∠GAE=∠EAF，
∴∠GAE=∠GAB+∠BAE=∠DAF+∠BAE=∠EAF，
∵∠BAD=90°，
∴∠EAF=45°，
故答案为：45°．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
25．(1)
(2)见解析
(3)5或
【分析】（1）根据题意，表示即可；
（2）根据平行四边形的性质，得到AD、BE的数量关系，列出等式就可求解t；
（3）分情况讨论，分别以△三个角为90°的情况，并判断三角形是否存在即可；
（1）
根据题意表示：=，=
（2）
∵=,∠=90°
∴∠=∠=45°
∵⊥
∴∠=∠=45°
∴=
∵=
∴==
∴=
∵∠=∠=90°
∴∥
∴四边形是平行四边形.
（3）
如图，①当∠=90°时
∵==
∴=
∴=
解得：=5
②如图，当∠=90°时
∵∥
∴∠==90°
∵∠A=45°
∴=
∴
解得：
③∠=90°时，△不存在．
【点睛】本题主要三角形的动点问题，等腰直角三角形的性质、平行四边形的性质，掌握等腰直角三角形的性质，并结合题目要求，列出正确的关系式是解题的关键．
26．(1)见解析
(2)3
(3)DE+CH＝AF或DE﹣CH＝AF
【分析】（1）通过证明AB∥CD，可证四边形ABCD是平行四边形；
（2）作BH⊥AD交DA的延长线于点H，由直角三角形的性质可求BH的长，由三角形的面积公式可求解；
（3）分两种情况讨论，由全等三角形的判定和性质可求解．
【详解】（1）解：∵∠ABC＝α，AD∥BC，
∴∠A+∠ABC＝180°．
∵∠ADC＝∠ABC＝α，
∴∠A+∠ADC＝180°．
∴AB∥CD，
又AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠EBC＝∠AEB，
又 BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE＝，
作BH⊥AD交DA的延长线于点H，
∴∠AHB＝90°，
∵∠ABC＝30°，AD∥BC，
∴∠HAB＝∠ABC＝30°，
∴BH＝AB＝，
∴S△ABE＝AE BH＝×2×＝3；
（3）解：①若点H在CD上时，作AG⊥BE交DC的延长线于G．
∵AG⊥BE，AH⊥CD，
∴∠G＝∠BFA＝90°﹣∠HAG．
又∠BAF＝∠AHG＝90°，AB＝AH，
∴△AGH≌△BFA（AAS），
∴GH＝AF，
∵BE平分∠ABC，AD∥BC，
∴∠ABE＝∠EBC，∠EBC＝∠AEB，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE＝CD，
∴∠BAG＝∠EAG＝∠G，
∴AD＝DG，
∴DE＝AD﹣AE＝DG﹣CD＝CG，
又CG＝GH﹣CH＝AF﹣CH，
∴DE＝AF﹣CH，
即DE+CH＝AF；
②如图4，若点H在DC的延长线上，
则DE＝AD﹣AE＝DG﹣CD＝CG，
又CG＝GH+CH＝AF+CH，
∴DE﹣CH＝AF．
∴线段AF，DE，CH的数量关系为：DE+CH＝AF或DE﹣CH＝AF
【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
27．（1）30；（2）见解析．
【分析】（1）根据平行四边形的对角线互相平分确定AO和DO的长，然后求得周长即可；
（2）利用勾股定理的逆定理判定直角三角形即可．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴对角线AC与BD相互平分，
∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
∵AC＝26，BD＝10，
∴OA＝13，OD＝5，
∵AD＝12，
∴△AOD的周长＝5+12+13＝30；
（2）由（1）知 OA＝13，OD＝5，AD＝12，
∵52+ 122＝132 ，
∴在△AOD中，AD2+DO2＝AO2 ，
∴△AOD是直角三角形．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、三角形周长的计算和利用勾股定理的逆定理判定直角三角形，掌握平行四边形的性质 解题的关键．
28．证明见解析
【分析】（1）利用两边和它们的夹角对应相等的两三角形全等（SAS），这一判定定理容易证明△AFD≌△CEB．
（2）由△AFD≌△CEB，容易证明AD=BC且AD//BC，可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
【详解】证明：（1）∵DF∥BE，
∴∠DFE=∠BEF．
又∵AF=CE，DF=BE，
∴△AFD≌△CEB（SAS）．
（2）由（1）知△AFD≌△CEB，
∴∠DAC=∠BCA，AD=BC，
∴AD∥BC．
∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质及平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题关键．
29．见解析
【分析】连接AC，交BD于点O，由“平行四边形ABCD的对角线互相平分”得到OA=OC，OB=OD；然后结合已知条件证得OE=OF，则“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，即可得出结论．
【详解】证明：连接AC，交BD于点O，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵BE=DF，
∴OB-BE=OD-DF，即OE=OF，
∵OA=OC，
∴四边形AECF是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，熟记对角线互相平分的四边形是平行四边形是解决问题的关键．
30．（1）详见解析；（2）.
【分析】（1）由平行四边形的性质和角平分线易证∠BAE=∠BEA，根据等腰三角形的性质可得AB=BE；
（2）易证△ABE是等边三角形，根据等边三角形的性质可得AE=AB=4，AF=EF=2，由勾股定理求出BF，再由AAS证明△ADF≌△ECF，即△ADF的面积=△ECF的面积，因此平行四边形ABCD的面积=△ABE的面积=AE BF，即可得出结果．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AB=CD，
∴∠B+∠C=180°，∠AEB=∠DAE，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，∴BE=CD；
（2）解：∵AB=BE，∠BEA=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=AB=4，
∵BF⊥AE，
∴AF=EF=2，
∴BF=，
∵AD∥BC，
∴∠D=∠ECF，∠DAF=∠E，
在△ADF和△ECF中，
，
∴△ADF≌△ECF（AAS），
∴△ADF的面积=△ECF的面积，
∴平行四边形ABCD的面积=△ABE的面积=AE BF=×4×2=4．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质和平行四边形的性质．
31．（1）见解析；（2）6.5．（3）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．理由见详解；
【分析】（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠1=∠2，∠3=∠4，进而得出答案．
（2）根据已知得出∠2+∠4=∠5+∠6=90°，进而利用勾股定理求出EF的长，即可根据直角三角形斜边上的中线性质得出CO的长．
（3）根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可．
【详解】解：（1）证明：如图，∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，
∴∠2=∠5，4=∠6．
∵MN∥BC，
∴∠1=∠5，3=∠6．
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
∴EO=CO，FO=CO．
∴OE=OF．
（2）∵∠2=∠5，∠4=∠6，
∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°．
∵CE=12，CF=5，
∴．
∴OC=EF=6.5．
（3）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：
当O为AC的中点时，AO=CO，
∵EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形．
∵∠ECF=90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
32．（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）先根据平行四边形的性质可得，再根据等边三角形的性质可得，从而可得，然后根据矩形的判定即可得证；
（2）先根据等边三角形的性质可得，从而可得，再根据矩形的性质可得，然后在中，利用勾股定理即可得．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
是等边三角形，
，
，
是矩形；
（2）是等边三角形，，
，
，
由（1）已证：是矩形，
，
则在中，．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、等边三角形的性质等知识点，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键．
33．(1)见解析
(2)
【分析】（1）欲证明四边形DEFG为矩形，只需推知该四边形为平行四边形，且有一内角为直角即可；
（2）首先根据直角三角形斜边上中线的性质求得AE=DE=5；然后在直角△AEF中利用勾股定理得到AF的长度；最后结合AB=AC=AF+FG+CG=10求解，进而解答即可．
（1）
证明：，，
点是的中点．
点是的中点，
是的中位线．
．
，，
．
四边形是平行四边形．
又，
四边形为矩形；
（2）
交于点，点是的中点， ，
．
由（1）知，四边形为矩形，则．
在直角中，，，由勾股定理得：．
，，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质，等腰三角形的性质以及直角三角形斜边上的中线，根据题意找到长度相等的线段是解题的关键．
34．见详解
【分析】根据菱形的性质得出，再根据平行四边形的判定定理得四边形为平行四边形，由矩形的定义得出四边形是矩形．
【详解】证明：四边形为菱形
四边形为平行四边形，
平行四边形是矩形．
【点睛】本题考查了矩形的判定以及菱形的性质，还考查了平行四边形的判定，解题的关键是掌握菱形的判定方法．
35．（1）见解析；（2）棱形；证明见解析；（3）
【分析】（1）根据矩形的性质得到OA＝OC和∠FAC＝∠ECA，根据对顶角相等得到∠AOF＝∠COE，由AAS即可证明；
（2）由对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可证明；
（3）设AF=x，则CF=x，在中应用勾股定理有，解得x=5；在中应用勾股定理求得，即；在中应用勾股定理求得，即．
【详解】（1）求证：∵ 四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC
∴∠FAC＝∠ECA
∵O是AC的中点
∴OA＝OC
又∠AOF＝∠COE
∴ △AOF≌△COE．
（2）四边形AECF是菱形，
证明：由（1）得△AOF≌△COE
∴AF＝CE
又AF∥EC
∴四边形AECF是平行四边形
又∵EF⊥AC
∴四边形AECF是菱形．
（3）∵四边形ABCD是矩形
∴CD＝AB＝4，∠D＝90°
在Rt△ACD中，根据勾股定理得AC＝．．
又∵O是AC的中点
∴OC＝
在Rt△CDF中，设CF＝x，
∵四边形AECF是菱形．
∴AF＝CF＝x
则DF＝8－x，根据勾股定理得：
解得x＝5；即CF＝5
在Rt△COF中，根据勾股定理得
所以EF＝2OF＝．
【点睛】本题考查了AAS证明三角形全等，菱形的性质和判定条件，根据题目中的不同已知条件旋转不同点菱形判定方法是本题的关键，本题选择了对角线互相垂直的平行四边形是菱形，也可选用对角线互相垂直平分的四边形是菱形来证明．
36．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，得到ADBC，从而得到∠AFB=∠FBE，再由∠ABF=∠FBE，推出∠ABF=∠AFB，于是得到AB=AF，同理得出AB=BE，证出四边形ABEF是平行四边形，即可得出结论；
（2）过点O作OG⊥BC，根据菱形的性质得到∠OBE =30°，∠BOE=90°，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ADBC，
∴AFBE，
∴∠AFB=∠FBE，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠FBE，
∴∠ABF=∠AFB，
∴AB=AF，
同理AB=BE，
∴AF=BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∴四边形ABEF是菱形；
（2）解：解：过点O作OG⊥BC，垂足为G，
由（1）可知四边形ABEF是菱形，
∴ EB=AB=4，∠OBE=，
在RtBOE中，OE=EB=2，OB=，
在RtBOG中，OG=OB=，
BG==3，
∴ CG=BC-BG=63=3，
∴ BG=CG，即OG是BC的垂直平分线，
∴ OC=OB=．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．
37．（1）证明见解析；（2）S平行四边形ABCD =24
【分析】（1）利用全等三角形的性质证明AB=AD即可解决问题；
（2）连接BD交AC于O，利用勾股定理求出对角线的长即可解决问题.
【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB=∠AFD=90°，
∵BE=DF，
∴△AEB≌△AFD，
∴AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）连接BD交AC于O，
∵四边形ABCD是菱形，AC=6，
∴AC⊥BD，
AO=OC=AC=×6=3，
∵AB=5，AO=3，
∴BO===4，
∴BD=2BO=8，
∴S平行四边形ABCD=×AC×BD=24．
【点睛】本题考查了菱形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关的性质与定理、正确添加辅助线是解题的关键.
38．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）证明，即可求证；
（2）先证明四边形BCQH是矩形，可得．再根据勾股定理可得，从而得到BH=2，再由折叠的性质可得．然后设，则．根据勾股定理，即可求解；
（3）根据勾股定理和正方形的性质可得．设，则有．根据勾股定理，可得，即可求解．
【详解】（1）证明：．理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
在和中，
∴，
∴；
（2）解： ∵四边形是正方形，，
∴∠C=∠ABC=∠BHQ=90°，AB=BC，
∴四边形BCQH是矩形，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵四边形是正方形，
∴，
∴．
由折叠可得，
∴，
∴．
设，则．
在中，
根据勾股定理得，
解得．
∴的长为；
（3）解：∵四边形是正方形，，
∴．
∴，
∴，
∴．
设，则有．
在中，根据勾股定理得
，
解得，即，
∴．
∴的长为．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，图形的折叠，熟练掌握正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，图形的折叠的性质是解题的关键．