控江中学高一开学考数学试卷
2023.03
一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）
1. 已知全集，则_________.
【答案】
【解析】
【分析】根据补集的定义写出补集即可.
【详解】解：，则.
故答案为：.
2. 函数的定义域是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意列出不等式解出即可.
【详解】要使函数有意义则：
，
所以函数的定义域为，
故答案为：.
3. 已知幂函数的图像不经过原点，则实数__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据幂函数的定义及定义域直接求参数值.
【详解】由已知函数为幂函数，
得，解得或，
当时，，定义域为，函数图像不经过原点，
当时，，定义域为，且，函数图像经过原点，
综上所述：，
故答案为：.
4. 数列中，若，且，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用等差数列通项公式可直接求得结果.
【详解】由，知：数列是以为首项，为公差的等差数列，
.
故答案为：.
5. 函数在区间上为严格减函数的充要条件是_________.
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数的性质，建立对称轴与所给区间的关系即可求解.
【详解】因为函数在区间为严格减函数，
所以二次函数对称轴，
故答案为：
6. 设函数f（x），若f（α）＝9，则α＝_____．
【答案】﹣9或3
【解析】
【分析】对函数值进行分段考虑，代值计算即可求得结果.
【详解】由题意可得或，
∴α＝﹣9或α＝3
故答案为：﹣9或3
【点睛】本题考查由分段函数的函数值求自变量，属简单题.
7. 若数列满足，前5项和为，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】分和两种情况讨论，结合等比数列的求和公式以及通项公式运算求解.
【详解】设数列的前项和为，
∵，则有：
当时，则，故，不合题意；
当时，则数列是以公比的等比数列，
故，解得，
则；
综上所述：.
故答案为：.
8. 定义在R上的奇函数在上的图像如图所示，则不等式的解集是____.
【答案】
【解析】
【分析】根据奇函数关于原点对称得函数简图，再分类讨论解不等式即可.
【详解】根据函数为奇函数，可作出函数的简图，如图所示：
不等式或或，
由图可得：或或，
综上：解集为：
故答案为：.
9. 已知（为正整数），且数列共有100项，则此数列中最大项为第__________项.
【答案】45
【解析】
【分析】根据数列的通项公式，判断数列的单调性，即可判断数列的最大项.
【详解】由解析式可知，
时，
当时，数列单调递减，且
当时，数列单调递减，且，
所以当时，数列取得最大值.
故答案为：45
10. 已知函数在上严格增，则实数取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】利用分段函数单调递增列不等关系求解即可
【详解】因为函数在上严格增，
所以，解得，即实数的取值范围是，
故答案为：
11. 已知函数，，与函数，，对任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据恒能成立的思想可确定两函数值域的包含关系，结合指数函数和一次函数值域的求法，根据包含关系可构造不等式组求得结果.
【详解】设的值域为，的值域为，
由对任意，总存在，使得成立知：；
在上单调递减，，即；
当时，，即，满足；
当时，上单调递增，，
即，由得：，解得：；
综上所述：实数的取值范围为.
故答案为：.
12. 已知函数，若实数满足，则的最大值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由题知满足任意，都有，进而得，再根据基本不等式求解即可.
【详解】解：令，因为，
所以，函数是上的奇函数，
所以函数关于中心对称，
所以，关于中心对称，
所以，满足任意，都有.
因为，
所以，即.
；
当且仅当，即，时取等号，
所以的最大值为，
故答案为：.
二、选择题（本大题共4题，满分20分）
13. 若、为实数，则成立的一个充要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将命题进行等价变换，即可得其充要条件.
【详解】
故选D．
【点睛】本题考查用不等式的性质等价转化不等式,要注意不等式性质成立的条件,属于基础题.
14. 若函数f（x）＝log2（kx2+4kx+3）的定义域为，则取值范围是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用对数函数的性质，将函数的定义域转化为kx2+4kx+3＞0恒成立即可．
【详解】要使函数y=log2（kx2+4kx+3）的定义域为R，则kx2+4kx+3＞0恒成立．
若k＝0，则不等式kx2+4kx+3＞0等价为3＞0，∴k＝0成立．
若k≠0，要使kx2+4kx+3＞0恒成立，则，
即，解得．
综上：．
故选B.
【点睛】本题以对数函数的定义域为切入点，主要考查了不等式恒成立问题，其中要注意对二次项系数k的讨论是解答本题的关键．
15. 等差数列中，首项为、公差不为零，前项和为，若是的3倍，则与的比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意结合等差数列的前项和运算求解.
【详解】由题意可得：，则，即，
注意到，整理得.
故选：A.
16. 已知非空集合满足：，已知函数，对于下列两个命题：①存在无穷多非空集合对，使得方程无解；②存在唯一的非空集合对，使得为偶函数.下列判断正确的是（ ）
A. ①正确，②错误 B. ①错误，②正确
C. ①②都正确 D. ①②都错误
【答案】A
【解析】
【分析】根据分段函数的性质，可得答案.
【详解】设，，，
易知当时，，当时，，
令，解得，故①正确；
当，时，显然函数为偶函数；
当，时，由，解得，故函数此时也为偶函数，故②错误.
故选：A
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）
17. 已知等差数列中，首项，公差，且是等比数列的前三项.
（1）求数列与的通项公式；
（2）设数列的前项和为，且记，试比较与的大小.
【答案】（1）
（2）当时，；当时，；当为正整数.
【解析】
【分析】（1）根据等差数列定义并利用等比数列性质可解得公差，再求出数列的前三项可得其公比，即可写出数列与的通项公式；
（2）利用等差数列前项和公式和对数运算法则可得，，作差法即可比较出与的大小.
【小问1详解】
由题意可得，
由等比数列性质可得，
即，解得或（舍）
所以，
即，
所以数列是以为首项，公比的等比数列；
即，
所以数列与的通项公式分别为
小问2详解】
由等差数列前项和公式可得；
由可得，
所以，
由于，所以当时，，即；
当时，，，
当时，，
综上可得，当时，，当时，，当为正整数.
18. 已知函数.
（1）当a=2时，求不等式的解集；
（2）设函数.当时，，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【详解】试题分析：（1）当时；（2）由
等价于
，解之得.
试题解析： （1）当时，.
解不等式，得.
因此，的解集为.
（2）当时，，
当时等号成立，
所以当时，等价于. ①
当时，①等价于，无解.
当时，①等价于，解得.
所以的取值范围是.
考点：不等式选讲.
19. 新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献.生产口罩的固定成本为400万元，每生产万箱，需另投入成本万元，当产量不足60万箱时，；当产量不小于60万箱时，，若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完.
（1）求口罩销售利润y（万元）关于产量x（万箱）的函数关系式；
（销售利润=销售总价-固定成本-生产成本）
（2）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂所获得利润最大，最大利润值是多少（万元）？
【答案】（1）
（2）当产量为80万箱时，该口罩生产厂在生产中获得利润最大，最大利润为1300万元.
【解析】
【分析】(1) 根据产量的不同取值范围讨论利润y关于产量x的不同对应关系即可求解.
(2) 分别求出分段函数的最大值，比较大小即可求出利润的最大值.
【小问1详解】
当时，；
当时，.
所以，；
【小问2详解】
当时，，
当时，y取得最大值，最大值为850万元；
当时，，
当且仅当时，即时，y取得最大值，最大值为1300万元.
综上，当产量为80万箱时，该口罩生产厂在生产中获得利润最大，最大利润为1300万元.
20. 已知数列的前项和满足：为常数，且，；
（1）求的通项公式；
（2）设，若数列为等比数列，求的值；
（3）若数列是（2）中的等比数列，数列，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）由公式求得通项公式；
（2）简化数列，再由等比数列的通项公式的结构特征，得出，解得参数；
（3）由（2）求出数列的通项，根据通项结构特征，采用错位相减法求数列的前项和．
【详解】解：（1）当时，，
，，
当时，且，
两式做差化简得：
即：，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
．
（2），
若数列为等比数列，
则，即．
（3）由（2）知，
①
②
①②得：
．
【点睛】本题主要考查求数列通项公式，已知等比数列求参数，求数列前项和，利用错位相减求前前项和是关键，属于中档题．
21. 已知函数，记.
（1）求不等式的解集：；
（2）设为实数，若存在实数，使得成立，求的取值范围；
（3）记（其中均为实数），若对于任意的，均有，求的值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用因式分解法，结合指数函数的单调性进行求解即可；
（2）利用换元法，结合指数函数的单调性、对钩函数的单调性、基本不等式进行求解即可；
（3）根据二次函数的性质进行求解即可.
【小问1详解】
所以不等式的解集为；
【小问2详解】
设，，
，
令，因为函数在上单调递增，所以，
于是有，，当且仅当时取等号，即时取等号，因为函数在单调递减，在上单调递增，
当时，，当时，，因此，
存实数，使得成立，所以；
【小问3详解】
，
令，因为，所以，
于是有，当时，，
所以有，
由，
由，
所以，
因此有，即.
【点睛】关键点睛：利用指数函数和对钩函数的单调性，结合二次函数的性质是解题的关键.控江中学高一开学考数学试卷
2023.03
一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）
1. 已知全集，则_________.
2. 函数的定义域是__________.
3. 已知幂函数的图像不经过原点，则实数__________.
4. 数列中，若，且，则__________.
5. 函数在区间上为严格减函数充要条件是_________.
6. 设函数f（x），若f（α）＝9，则α＝_____．
7. 若数列满足，前5项和为，则__________.
8. 定义在R上的奇函数在上的图像如图所示，则不等式的解集是____.
9. 已知（为正整数），且数列共有100项，则此数列中最大项为第__________项.
10. 已知函数在上严格增，则实数的取值范围是________.
11. 已知函数，，与函数，，对任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围是__________.
12. 已知函数，若实数满足，则的最大值为__________.
二、选择题（本大题共4题，满分20分）
13. 若、为实数，则成立一个充要条件是（ ）
A. B. C. D.
14. 若函数f（x）＝log2（kx2+4kx+3）的定义域为，则取值范围是
A. B. C. D.
15. 等差数列中，首项为、公差不为零，前项和为，若是的3倍，则与的比为（ ）
A B. C. D.
16. 已知非空集合满足：，已知函数，对于下列两个命题：①存在无穷多非空集合对，使得方程无解；②存在唯一的非空集合对，使得为偶函数.下列判断正确的是（ ）
A. ①正确，②错误 B. ①错误，②正确
C. ①②都正确 D. ①②都错误
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）
17. 已知等差数列中，首项，公差，且是等比数列的前三项.
（1）求数列与的通项公式；
（2）设数列的前项和为，且记，试比较与的大小.
18. 已知函数.
（1）当a=2时，求不等式的解集；
（2）设函数.当时，，求的取值范围.
19. 新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献.生产口罩的固定成本为400万元，每生产万箱，需另投入成本万元，当产量不足60万箱时，；当产量不小于60万箱时，，若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完.
（1）求口罩销售利润y（万元）关于产量x（万箱）的函数关系式；
（销售利润=销售总价-固定成本-生产成本）
（2）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂所获得利润最大，最大利润值是多少（万元）？
20. 已知数列的前项和满足：为常数，且，；
（1）求通项公式；
（2）设，若数列为等比数列，求的值；
（3）若数列是（2）中的等比数列，数列，求数列的前项和.
21. 已知函数，记.
（1）求不等式的解集：；
（2）设为实数，若存在实数，使得成立，求取值范围；
（3）记（其中均为实数），若对于任意的，均有，求的值.
