第六单元《平行四边形》（困难）（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
北师大版初中数学八年级下册第六单元《平行四边形》（困难）（含答案解析）
考试范围：第六单元；   考试时间：120分钟；总分：120分，
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图，在中，，，，点为上任意一点，连结，以，为邻边作平行四边形，连结，则的最小值为( )
A. B. C. D.
2. 如图，点为 外一点，连接、、、，若的面积为，的面积为，则的面积为( )
A.
B.
C.
D.
3. 如图，在 中，分别以、为边向外作等边、，延长交于点，点在点、之间，连接、、，则以下四个结论：
≌；
；
是等边三角形；
．
一定正确的有( )个
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
4. 如图，已知，轴，，点的坐标为，点的坐标为，点在第四象限，点是与轴的交点，若点为边上一动点，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，它们相交于点，将沿直线翻折，当点的对应点落在坐标轴上时，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
5. 如图，在 中，，，点在上，，则的值是( )
A.
B.
C.
D.
6. 如图，在中，，，，，，都是等边三角形，下列结论中：；四边形是平行四边形；；错误的个数是( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
7. 如图，在 中，，，是延长线上的一点，且，连结，取中点，连结交于，若，则四边形的面积为( )
A. B. C. D.
8. 已知的周长为，连结的三边中点构成第个三角形，再连结第个三角形的三边中点构成第个三角形，依此类推，第个三角形的周长是( )
A. B. C. D.
9. 如图，平行四边形中，对角线、相交于点，平分，分别交、于点、，连接，，，则下列结论：；；；；其中正确的个数是 ( )
A. B. C. D.
10. 如图，在平行四边形中，，，点、分别是边、上的动点连接、，点为的中点，点为的中点，连接则的最大值与最小值的差为( )
A. B. C. D.
11. 如图，在中，，点是的中点，延长至点，使得，过点作于点，为的中点，给出结论：
；；四边形是平行四边形；其中正确的所有选项是( )
A.
B.
C.
D.
12. 如图，在中，点、、分别为边、、的中点，分别联结、、、，点是与的交点，下列结论中，正确的个数是( )
的周长是周长的一半；
与互相平分；
如果，那么点到四边形四个顶点的距离相等；
如果，那么点到四边形四条边的距离相等．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13. 在平行四边形中，，，，则平行四边形的面积等于 ．
14. 如图，的顶点在等边的边上，点在的延长线上，为的中点，连接若，，则的长为 ．
15. 如图，、两点的坐标分别为、，连结点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度向终点运动；同时动点从点出发沿方向以每秒个单位的速度向终点运动，将沿翻折，记点的对应点为点，若四边形为平行四边形，则点的坐标为_____．
如图，四边形中，，，，点，分别为线段，上的动点含端点，但点不与点重合，点，分别为，的中点，则长度的最大值为 ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
如图，在 中，对角线，相交于点，，点在线段上，且．
求证：；
若，分别是，的中点，且，
求证：是等腰三角形；
当时，求 的面积．
18. 本小题分
已知：在平行四边形中，过点作，过点作的垂线，分別交、、于点、、，且，．
若，，求的值；
连接，证明：．
本小题分
如图，在平行四边形中，点在边上，连结，，垂足为，交于点，，垂足为，，垂足为，交于点，点是上一点，连接．
若，，，求的面积．
若，，求证：．
20. 本小题分
在等腰中，，，为边上一点，连接．
如图所示，，且平分，若，，则___________．
如图所示，过点作于点，，点在上，且，连接，则当取最小值时，求的长；
如图所示，以为斜边作等腰，连接并延长交于点，若，，猜想与存在的数量关系，并证明你的猜想．
21. 本小题分
在中，，，点在边上，，将线段绕点顺时针旋转至，记旋转角为，连接，，以为斜边在其一侧作等腰直角三角形，连接．
如图，当时，请直接写出线段与线段的数量关系；
当时，
如图，中线段与线段的数量关系是否仍然成立？请说明理由；
如图，当，，三点共线时，连接，判断四边形的形状，并说明理由．
22. 本小题分
如图，已知是等边三角形，点、分别在线段、上，，．
求证：四边形是平行四边形；
若，求证：．
23. 本小题分
如图，已知与相交于，，，，于，交于．
求证：；
求证：≌；
若为中点，求证：．
24. 本小题分
如图，线段，点是线段上的点，点、是线段、的中点，小明很轻松地求得他在反思过程中突发奇想：若点运动到线段的延长线上或直线外，原有的结论“”是仍然成立呢？请帮小明画出图形分析，并说明理由．
25. 本小题分
如图，试探究其中，与，之间的关系，并证明．
用中的结论解决下列问题：如图，、分别是四边形的外角、的平分线，，求的度数．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质以及垂线段最短的性质，解题的关键是得到当与重合时，的值最小，则的值最小．
设与交于点，作于首先求出，当与重合时，的值最小，的最小值，从而求解．
【解答】
解：设与交于点，作于如图所示：
在中，，，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
为等腰直角三角形，
设，
，
解得，
，
当与重合时，的值最小，则的值最小，
的最小值．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：与交于点，设点到的距离为，和之间的距离为，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
即，
，
即的面积是，
故选：．
根据题意，表示出已知三角形的面积，然后作差，再根据平行四边形的性质即可解答本题．
本题主要考查了平行四边形的性质和三角形的面积公式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
3.【答案】
【解析】解：、是等边三角形，
，，
，，
，，
，，
，
≌，故正确；
，
，
，故正确；
同理可得：，
，，
≌，
，
，
，
，
是等边三角形，故正确；
在等边三角形中，
等边三角形顶角平分线、底边上的中线、高和垂直平分线是同一条线段，
如果，则是的中点，，，题目缺少这个条件，不能求证，故错误．
正确．
故选：．
根据题意，结合图形，对选项一一求证，判定正确选项．
本题考查了全等三角形的判定、等边三角形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，综合性强．考查学生综合运用数学知识的能力．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，利用勾股定理求出的值是本题的关键．先求出点坐标，由勾股定理可求的长，再由勾股定理可求的值，即可求解．
【解答】
解：点的坐标为，点的坐标为，
直线解析式为：，
点，
如图中，当点在线段上时，设．
在中，，，
，
在中，，
，
解得，
根据对称性可知，也满足条件．
故选A．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，求出是解题的关键．由等腰三角形的性质可求，，由直角三角形的性质和勾股定理可求，的长，即可求解．
【解答】
解：如图，过点作于，
设，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
，，
，
，
，
，，
，
，
故选：．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
由，得出，故正确；再由证得≌，得，同理≌，得，则四边形是平行四边形，故正确；然后由平行四边形的性质得，则正确；最后求出，故错误；即可得出答案．
【解答】
解：，，，，
，
是直角三角形，，
，故正确；
，都是等边三角形，
，
，
和都是等边三角形，
，，，
，
在与中，
，
≌，
，
，
，
又，，
≌，
，
四边形是平行四边形，故正确；
，故正确；
过作于，如图所示：
则，
四边形是平行四边形，
，
，
，故错误；
错误的个数是个，
故选：．
7.【答案】
【解析】解：如图，过点作于点，过点作交的延长线于点，
，是中点，
，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
点和重合，
，
，
：：：，
．
．
故选：．
过点作于点，过点作交的延长线于点，根据三角形中线可得，，所以，可得，然后证明≌，可得，根据三角形中位线定理可得，所以，再根据含度角的直角三角形可得点和重合，利用勾股定理可得，进而可以解决问题．
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，含度角的直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
8.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查的是三角形中位线的性质，图形规律问题的有关知识，解决此题关键是找出每一个新的三角形周长是上一个三角形周长的的规律，进行分析解决题目．根据三角形的中位线定理，找规律求解，每一条中位线均为其对应的边的长度的，所以新三角形周长是前一个三角形周长的，进行求解即可．
【解答】
解：周长为，因为每条中位线均为其对应边的长度的，所以：
第个三角形对应周长为；
第个三角形对应的周长为；
第个三角形对应的周长为；
以此类推，第个三角形对应的周长为；
所以第个三角形对应的周长为．
故选C．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形度角的性质、三角形面积和平行四边形面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质，证明是等边三角形是解决问题的关键，并熟练掌握三角形面积的关系．分别根据平行四边形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形度角的性质、三角形面积和平行四边形面积，逐项计算判定，即可求得答案．
【解答】
解：平分，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故正确；
，，
，，
，
中，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
中，，
，
故正确；
由知：，
，
故正确；
由知：是的中位线，
，
，
，
故正确；
四边形是平行四边形，，
，
，
，
，，
是的中位线，即，
，平分，，
为边长为的等边三角形，边上高，
，
；
即，
；
正确的个数为个．
故选：．
10.【答案】
【解析】
【分析】
如图，取的中点，连接、、，作于首先证明，求出，，利用三角形中位线定理，可知，求出的最大值以及最小值即可解决问题．
本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形度角性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是证明，属于中考选择题中的压轴题．
【解答】
解：如图，取的中点，连接、、，作于．
四边形是平行四边形，，
，，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
在中，，，
，
，，
，
易知的最大值为的长，最小值为的长，
的最大值为，最小值为，
的最大值为，最小值为，
的最大值与最小值的差为．
故选C．
11.【答案】
【解析】解：延长交于，作于，
，，
，
故不符合题意；
，，
，
，
，
故符合题意；
，，，
≌，
，
，
，
，
，
，
，，，
≌，
，
四边形是平行四边形，
故符合题意；
，
，
，
故符合题意，
故选：．
构造全等三角形，应用三角形中位线定理，即可求解．
本题考查三角形全等，三角形中位线定理，平行四边形的判定，关键是灵活应用这些知识点．
12.【答案】
【解析】解：点、、分别为边、、的中点，
，，，
，
的周长是周长的一半，故正确；
点、、分别为边、、的中点，
，，
四边形是平行四边形，
与互相平分，故正确；
，四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，，
点到四边形四个顶点的距离相等，故正确；
，
，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，是菱形两组对角的平分线，
点到四边形四条边的距离相等，故正确．
综上所述：正确的是，共个，
故选：．
根据三角形中位线定理即可解决问题；
根据三角形中位线定理证明四边形是平行四边形，进而可以解决问题；
证明四边形是矩形，进而可以解决问题；
证明四边形是菱形，再根据菱形的性质即可解决问题．
本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，矩形的判定与性质，三角形中位线定理，解决本题的关键是掌握三角形中位线定理．
13.【答案】或
【解析】
【分析】
本题考查了平行四边形的性质以及平行四边形的面积公式的运用和含角的直角三角形的性质：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．
分两种情况，过作于，利用含角的直角三角形的性质和勾股定理求，根据平行四边形的面积公式即可得到结论．
【解答】
解：第一种情况，如图
过作于，
在中，，，
，
由勾股定理，，
在中，，
，
，
平行四边形的面积，
第二种情况，如图
过作交的延长线于点，
在中，，，
，
由勾股定理，，
在中，，
，
，
平行四边形的面积，
故答案为：或．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据平行四边形的性质和等边三角形的性质，可以得到和的长，然后可以证明和全等，然后即可得到的长．
解：四边形是平行四边形，
，，，
，，
，，
，
是等边三角形，为的中点，
，，
延长交于点，
，
，
在和中，，
≌，
，，
，，
，，
，，
是等边三角形，
，
，
故答案为：．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了翻折变换的性质，坐标与图形性质，平行四边形的对角线互相平分的性质，熟记各性质并判断出并列出方程是解题的关键．连接，过点作轴于，根据翻折变换的性质可得，可证四边形为矩形，设运动时间为秒时四边形为平行四边形，根据点、的坐标求出，然后判断出是等腰直角三角形，再判断出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出，再求出，然后根据列式方程求出的值，再求出点的坐标，再根据轴对称性写出点的坐标即可．
【解答】
解：连接，交于点，过点作轴于，
沿翻折点的对应点为点，
，
四边形为矩形，
，
设秒时四边形为平行四边形，
则，，，
，，
，，
是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，
，
，
解得，
，
，
点的坐标为，
点、关于对称，
点的坐标为．
故答案为．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了三角形中位线定理，勾股定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键，根据三角形的中位线定理得出，从而可知最大时，最大，因为与重合时最大，此时根据勾股定理求得，从而求得的最大值为．
【解答】
解：，，
，
最大时，最大，
与重合时最大，
此时，
的最大值为．
故答案为．

17.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
，
是中点，
，
；
证明：，
是等腰三角形，
是中点，
，
，
为中点，
，
四边形是平行四边形，
，
、分别是、的中点，
，
，
是等腰三角形；
由得，
，
，
是的中点，
，
设，则，
，
在中，，
，
即，
解得，
，，
．
【解析】此题主要考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、三角形中位线的性质、等腰三角形的性质，关键是掌握等腰三角形三线合一的性质．
根据平行四边形的性质可得，再证明是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可得，进而可证明结论；
首先证明，再根据三角形中位线的性质可得，进而得到，可证明结论；
由得，由，是的中点，可证得，设，则，利用勾股定理可求解值，进而可求解，，再利用平行四边形的面积公式可求解．
18.【答案】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，，
，
在和中，
≌，
，
；
证明：过点作，交延长线于，如图所示：
≌，
，
，，
，
，
，
，
在和中，
≌，
，
，
，
，，
，
在和中，
≌，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
．
【解析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识．
证明，，由证得≌得出，即可得出结果；
过点作，交延长线于，由≌，得出，由证得≌得出，由证得≌得出，，则是等腰直角三角形，得出，即可得出结论．
19.【答案】解：作于，如图所示：
设，则，
在中，，
在中，，
，
解得：，即，
，
，
，
；
证明：连接，如图所示：
，，，
，
，
在和中，，
≌，
，，
，，，
，，
在和中，，
≌，
，
又，
，
．
【解析】作于，设，则，在和中，由勾股定理得出方程，解方程得出，即，得出，求出，由三角形面积公式即可得出结果；
连接，证明≌得出，，再证明≌得出，由，得出，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积公式等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
20.【答案】解：
如图，过点作，且，连接，，
四边形是平行四边形，
，
连接交于点，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
，
，
当，，三点共线时，取得最小值是，
此时；
，
证明：在射线上取点，使，连接、，如图，
，
，
是以为斜边的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
这表明点与点重合，即；
，
，
，
，
，即；
，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，
即．
【解析】
【分析】
本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，平行四边形的判定与性质有关知识
在上截取，连接，先证明≌，可得，再证明≌，可得，进而可得；
过点作，且，连接，，可得四边形是平行四边形，所以，连接交于点，证明≌，可得，当，，三点共线时，取得最小值是，此时，即可解决问题；
在射线上取点，使，连接、，利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可．
【解答】
解：如图，在上截取，连接，
平分，
，
在和中，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
≌，
，
见答案
见答案
21.【答案】解：如图，当时，点在线段上，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
∽，
，
设，则，，
，均是等腰直角三角形，
，，
，
；
仍然成立．
理由如下：
如图，
是等腰直角三角形，
，，
在中，，，
，，
，，
，
，
，
∽，
，
仍然成立．
四边形是平行四边形．
理由如下：
当，，三点共线时，如图，过点作于点，
由旋转得：，
，，
∽，
，
，，
，
，
，
，
由知，，
∽，
，，
，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形．
【解析】本题属于相似三角形综合题，三角形综合题，考查了等腰直角三角形性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定，旋转的旋转等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质及等腰直角三角形性质是解题关键．
根据题意得，进而可得∽，得出，设，易得，推出，即可得出答案；
由是等腰直角三角形，，，可得∽，推出，则仍然成立；
如图，过点作于点，由旋转得：，进而得出∽，推出，再由∽，推出，可得，利用平行四边形的判定即可得出答案．
22.【答案】证明：是等边三角形，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
连接，
，，
是等边三角形，
，。
，，
是等边三角形，
，，
，
≌，
．

【解析】此题把等边三角形和平行四边形结合在一起，首先利用等边三角形的性质证明平行四边形，然后利用等边三角形的性质证明全等三角形，最后利用全等三角形的性质解决问题．
由是等边三角形得到，而，由此可以证明，而，然后即可证明四边形是平行四边形；
如图，连接，由，可以推出是等边三角形，然后得到，，而，由此得到，又
是等边三角形，所以得到，，然后即可证明≌，利用全等三角形的性质就证明．
23.【答案】证明：，
；
，
；
．
，．
，
．
且，
．
在和中，
．
≌；
≌，
，
；
又，
；
，
；
，，
又，
；
；
；
为中点，
为的中位线；
．
【解析】有，可得，那么就有，从而；
由，可得，又因为，同样可知，根据即可证出：≌；
由于是的中点，因此只需证得即可得出是的中位线，进而可得出根据的全等三角形，可得出，因此可通过证是直角三角形斜边上的中线，来得出．
本题利用了内错角相等，两直线平行，以及全等三角形的判定和性质，等角对等边，中位线的判定等知识．综合性强，难度较大．
24.【答案】解：原有的结论仍然成立．理由如下：
当点在的延长线上时，如图所示，
．
当点在所在的直线外时，如图所示，
，分别是，的中点，由三角形中位线定理可得：
．
【解析】运动到延长线时，应用根据线段中点定义得到有关的线段表示出所求的线段长；当在直线外时，、、三点构成三角形，利用三角形的中位线即可求解．
解决本题需利用线段中点定义和三角形的中位线定理．熟练掌握运用以上知识是解题的关键．
25.【答案】解：．
理由：由四边形的内角和是可知：．
，，
．
．
由可知．
、分别是四边形的外角、的平分线，
，．
．
【解析】由四边形的内角和是，以及邻补角的和是求解即可；
依据的结论可知，由角平分线的定义可求得，最后再中由勾股定理可求得的度数．
本题主要考查的是多边形的内角和，掌握四边形的内角和是是解题的关键．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)