2022-2023学年北师大版数学八年级下册6.2 平行四边形的判定（课时2）同步练习 (含答案)

《2　平行四边形的判定》同步练习
（课时2 利用对角线的关系判定平行四边形）
一、基础巩固
知识点1 对角线互相平分的四边形是平行四边形
1. [2022邯郸期末]如图,四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是 (　　)
A.AB∥DC,AD∥BC
B.AB∥DC,∠ADO=∠CBO
C.AO=CO,BO=DO
D.AB=AD,OB=OD
2. [2022北京上地实验学校期中]小玲的爸爸在制作平行四边形框架时,采用了一种方法:如图,将两根木条AC,BD的中点重叠,并用钉子固定,则四边形ABCD就是平行四边形,这种方法的依据是 (　　)
A.对角线互相平分的四边形是平行四边形
B.两组对角分别相等的四边形是平行四边形
C.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D.两组对边分别平行的四边形是平行四边形
3. [2022北京161中期中]如图,在 ABCD中,BD为对角线,E,F是BD上的点,且BE=DF.求证:四边形AECF是平行四边形.
知识点2 平行四边形的性质和判定的综合运用
4. [2022沈阳沈河区期末]如图,在 ABCD中,对角线AC,BD交于点O,E是AD上任意一点,连接EO并延长,交BC于点F,连接AF,CE.
(1)求证:四边形AFCE是平行四边形.
(2)若∠DAC=60°,∠ADB=∠EOD=15°,AC=6,则AD的长为　　　　.
知识点3 平行线之间的距离
5. [2022许昌期中]如图,a,b是两条平行线,则甲、乙两个平行四边形的面积关系是 (　　)
A.S甲>S乙 B.S甲C.S甲=S乙 D.无法确定
6. [2021贵港覃塘区期末]已知直线a,b,c互相平行,直线a与b的距离是3 cm,直线b与c的距离是5 cm,那么直线a与c的距离是(　　)
A.8 cm B.2 cm C.8 cm或2 cm D.8 cm或3 cm
二、能力提升
1. 如图,已知l1∥l2,AB∥CD,CE⊥l2于点E,FG⊥l2于点G,则下列说法错误的是 (　　)
A.AB=CD
B.CE=FG
C.A,B两点间的距离就是线段AB的长度
D.l1与l2两平行线间的距离就是线段CD的长度
2. [2021河北中考]如图1,在 ABCD中,AD>AB,∠ABC为锐角,要在对角线BD上找点N,M,使四边形ANCM为平行四边形,现有图2中的甲、乙、丙三种方案,则正确的方案 (　　)
A.甲、乙、丙都是 B.只有甲、乙才是
C.只有甲、丙才是 D.只有乙、丙才是
3. [2022北京人大附中期中]如图,点M为∠BAC边上的一个定点,点N为∠BAC内部的一个定点,连接MN,在∠BAC的内部求作一点P,使得∠APN=∠AMN.下面是小兵设计的一种尺规作图的过程:①连接AN;②作线段AN的垂直平分线l,交AN于点O;③连接MO,并延长MO至点P,使得PO=MO.则点P即所求.
(1)根据题意,补全图形;(保留作图痕迹)

(2)证明(括号内填推理的依据):连接AP,PN.
∵直线l为线段AN的垂直平分线,
∴AO=　　　　　.
∵PO=MO,
∴四边形AMNP为平行四边形(　　　　),
∴∠APN=∠AMN(　　　　　).
4. [2022汉中期末]如图,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,OA=5,E,F为直线BD上的两个动点(点E,F始终在 ABCD的外面),连接AE,CE,CF,AF.
(1)若DE=OD,BF=OB.
①求证:四边形AFCE为平行四边形.
②若CA平分∠BCD,∠AEC=60°,求四边形AFCE的周长.
(2)若DE=OD,BF=OB,四边形AFCE还是平行四边形吗 请写出结论并说明理由.若DE=OD,BF=OB(n为大于1的正整数)呢 请直接写出结论.
参考答案
一、基础巩固
1. D
2. A　∵O是AC,BD的中点,∴OA=OC,OB=OD,根据对角线互相平分的四边形是平行四边形,可得四边形ABCD是平行四边形.
3. 证明:解法一　连接AC,交BD于点O.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD.
∵BE=DF,∴OB-BE=OD-DF,即OE=OF,
又∵OA=OC,∴四边形AECF是平行四边形.
解法二　∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD,∴∠ABE=∠CDF,
又∵BE=DF,∴△ABE≌△CDF,
∴AE=CF,∠AEB=∠CFD,∴∠AEF=∠CFE,
∴AE∥CF,∴四边形AECF是平行四边形.
4. (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AO=CO,
∴∠OAE=∠OCF,
在△AOE和△COF中,
∴△AOE≌△COF,∴OE=OF,
又∵AO=CO,
∴四边形AFCE是平行四边形.
(2)6+3
∵AC=6,∴AO=CO=3.∵∠ADB=∠EOD=15°,∴OE=DE,∠AEO=∠ADB+∠EOD=30°.∵∠DAC=60°,∴∠AOE=180°-60°-30°=90°,∴AE=2AO=6,∴OE===3,
∴DE=OE=3,∴AD=AE+DE=6+3.
5. C
6. C
二、能力提升
1. D　∵l1∥l2,AB∥CD,∴四边形ABDC是平行四边形,∴AB=CD,故A项说法正确;∵CE⊥l2,FG⊥l2,∴CE∥FG,又∵l1∥l2,∴四边形CEGF是平行四边形,∴CE=FG,故B项说法正确;∵AB是线段,∴A,B两点间的距离就是线段AB的长度,故C项说法正确;∵CE⊥l2于点E,∴l1与l2两平行线间的距离就是线段CE的长度,不是线段CD的长度,故D项说法错误.
2. A　对于甲方案,连接AC,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AC经过BD的中点O,且AO=CO,又∵BO=DO,BN=NO,OM=MD,∴NO=OM,∴四边形ANCM是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形);对于乙方案,易证△ABN≌△CDM,∴AN=CM.∵AN⊥BD,CM⊥BD,∴AN∥CM,∴四边形ANCM是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形);对于丙方案,由平行四边形的性质及角平分线的定义可证△BAN≌△DCM,∴AN=CM,∠ANB=∠CMD,∴∠ANM=∠CMN,∴AN∥CM,∴四边形ANCM是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).综上可知,甲、乙、丙三种方案都是正确的.
3. 解:(1)补全的图形如图所示.
(2)NO　对角线互相平分的四边形是平行四边形　平行四边形的对角相等
4. (1)①证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD.
∵DE=OD,BF=OB,∴DE=BF,
∴DE+OD=BF+OB,即OE=OF,
又∵OA=OC,
∴四边形AFCE为平行四边形.
②解:在 ABCD中,AD∥BC,
∴∠DAC=∠BCA.
∵CA平分∠BCD,∴∠BCA=∠DCA,
∴∠DCA=∠DAC,∴AD=CD.
∵OA=OC,∴OE⊥AC,
∴OE垂直平分AC,∴AE=CE.
又∵∠AEC=60°,∴△ACE是等边三角形,
∴AE=CE=AC=2OA=10,
∴四边形AFCE的周长为2(AE+CE)=40.
(2)解:当DE=OD,BF=OB时,四边形AFCE是平行四边形.
理由:∵DE=OD,BF=OB,OD=OB,
∴DE=BF,
∴OB+BF=OD+DE,即OF=OE,
又∵OA=OC,∴四边形AFCE为平行四边形.
当DE=OD,BF=OB时,四边形AFCE为平行四边形.