01任意角和弧度制
图片预览
文档简介
01任意角和弧度制
1.任意角的概念
〖概念〗角可以看作是平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形，设一条射线的端点是O，它从起始位置OA按逆时针方向旋转到终止位置OB，则形成了一个角α，点O是角的顶点，射线OA、OB分别是角α的始边和终边。
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
〖分类〗
1、正角：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
如图，∠α=450°.
2、负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
如图，∠α=－630°.
3、零角：如果一条射线没有任何旋转，我们称它形成了一个零角。
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
〖代数表示〗为了简便起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可以简记作“α”。如果α是零角，那么α=0°.
〖几何表示〗如图所示
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
详解：
〖概念总结〗角度正负的记忆：逆正，顺负， ( http: / / www.21cnjy.com )不动零。
〖概念辨析〗
1、要正确理解正角、负角、零角的概念，既要注意旋转量，也要注意旋转方向。
2、表示角时，应注意箭头的方向不可丢掉，因为箭头的方向代表角的正负。
〖相关知识〗
终边相同的角，象限角，坐标轴上的角，任意角与实数集。
2.终边相同的角
〖定义〗所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。
〖几何表示〗如图所示
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
详解：
〖概念辨析〗
（1）相等的角，终边一定相同 ( http: / / www.21cnjy.com )，终边相同的角不一定相等。
（2）k是整数，α是任意角，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍。
〖相关知识〗
任意角的概念，象限角，坐标轴上的角，任意角与实数集。
实例：
〖正例〗
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
如图，-315°、45°、405°的终边都为OA，它们是终边相同的角。
〖反例〗
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
如图，45°的终边为OA，225°的终边为OB，它们不是终边相同的角。
3.象限角
〖定义〗把角放在直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边放在x轴的正半轴上，角的终边落在第几象限就将该角叫做第几象限角。如果角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限。
〖代数表示〗
终边在第一象限的角的集合: {β｜n·360°<β终边在第二象限的角的集合: {β｜n·360°+90°<β终边在第三象限的角的集合: {β｜n·360°+180°<β终边在第四象限的角的集合: {β｜n·360°+270°<β〖几何表示〗
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
详解：
〖记忆方法〗记忆方法、口诀
〖概念辨析〗如 ( http: / / www.21cnjy.com )果角的顶点不与坐标原点重合，或者角的始边不与x轴非负半轴重合，则不能判断角在哪一象限，也就是说它不能称作象限角。
〖相关知识〗
坐标轴上的角
实例：
〖正例〗
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
如图，124°为第二象限角，210°为第三象限角，-45°为第四象限角。
〖反例〗
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
如图，90°、270°都不在任何象限，它们都不是象限角。
〖例题〗
例1、设α为第一象限角，试问 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 为第几象限角？
解：因为α为第一象限角，
所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
所以当k为偶数时， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 在第一象限；
当k为奇数时， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 在第三象限，
因此， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 是第一或第三象限角。
例2、设α为第二象限角，试问：-α、π-α、π+α分别是第几象限的角？
解：因为α为第二象限角，
所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
① HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
因为k是整数，所以-α为第三象限角。
② HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
所以π-α为第一象限角。
③ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
所以π+α为第四象限角。
4.坐标轴上的角
〖定义〗在直角坐标系内，角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边落在坐标轴上，我们就说这个角是坐标轴上的角。
〖代数表示〗符号或字母表示
与x轴正半轴终边相同的角的集合为 {β｜β=k 360°，k∈Z}
与x轴负半轴终边相同的角的集合为 {β｜β=180 +k 360°，k∈Z}
与y轴正半轴终边相同的角的集合为 {β｜β=90°+k 360°，k∈Z}
与y轴负半轴终边相同的角的集合为 {β｜β=270°+k 360°，k∈Z}
终边在x轴上的角的集合为 {β｜β=n 180°，n∈Z}
终边在y轴上的角的集合为{β｜β=90°+n 180°，n∈Z}
终边在坐标轴上的角的集合为 {β｜β=n 90°，n∈Z}
〖几何表示〗
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
详解：
〖相关知识〗象限角
实例：
〖正例〗
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
如图，90°是终边在y轴正半轴的角、270°是终边在y轴负半轴的角。
〖反例〗
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
如图，124°为第二象限角，210°为第三象限角，-45°为第四象限角，他们都不是终边在5.弧度制
〖定义〗弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制。把长度等于半径长的弧所对的圆心角(或这条弧)叫做1弧度。它是定值，其大小与所在圆的半径大小无关。记作rad，读作“弧度”。
〖代数表示〗rad
〖几何表示〗
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
如图，∠AOB的大小即为1rad.
详解：
〖概念辨析〗
1、一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径的大小无关。
2、一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.
3、如果半径为r的圆心角α所对弧长为l，那么角的弧度数的绝对值是 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" .这里α的正负由角α的终边的旋转方向决定。
〖相关知识〗角度与弧度之间的转化
实例：
〖特例〗因为圆的周长为2π r，所以有 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
坐标轴上6.角度与弧度之间的转化
〖推导〗因为圆的周长为2π r，所以有 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
〖具体公式〗
①将角度化为弧度.
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
②将弧度化为角度.
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
③弧度制与角度制的换算公式：
α rad=( HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" )°， n°=n HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" (rad)。
详解：
〖记忆方法〗记住 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 即可
〖概念辨析〗今后用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad”通常略去不写，而只写该角所对应的弧度数。例如，角 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 就表示α是2rad的角。
实例：
必须熟记的特殊角的弧度制
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
的角。
7.弧长公式
弧长公式：l=αR= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，
其中α是弧度数，n是角度数。
详解：
〖辨析〗注意弧长公式中应用的是圆心角α弧度数的绝对值，且 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" .
〖相关知识〗扇形的面积公式，角度与弧度之间的转化，弧度制
8.扇形的面积公式
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，其中α是弧度数，n是角度数。
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
详解：
〖记忆方法〗扇形面积公式可类比三角形面积公式记忆，l为三角形的底边，r为高。
〖辨析〗注意面积公式中应用的是圆心角α弧度数的绝对值，且 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" .
〖相关知识〗弧长公式，角度与弧度之间的转化，弧度制
实例：
〖例题〗
例：已知扇形 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 的圆心角为4弧度，其面积为2平方厘米，求扇形周长。
解：设 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 的长为l， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，
因为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ①
设扇形的圆心角 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 的弧度数为α，
则 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ②
由①②解得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
扇形周长为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
1.任意角的概念
〖概念〗角可以看作是平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形，设一条射线的端点是O，它从起始位置OA按逆时针方向旋转到终止位置OB，则形成了一个角α，点O是角的顶点，射线OA、OB分别是角α的始边和终边。
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
〖分类〗
1、正角：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
如图，∠α=450°.
2、负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
如图，∠α=－630°.
3、零角：如果一条射线没有任何旋转，我们称它形成了一个零角。
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
〖代数表示〗为了简便起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可以简记作“α”。如果α是零角，那么α=0°.
〖几何表示〗如图所示
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
详解：
〖概念总结〗角度正负的记忆：逆正，顺负， ( http: / / www.21cnjy.com )不动零。
〖概念辨析〗
1、要正确理解正角、负角、零角的概念，既要注意旋转量，也要注意旋转方向。
2、表示角时，应注意箭头的方向不可丢掉，因为箭头的方向代表角的正负。
〖相关知识〗
终边相同的角，象限角，坐标轴上的角，任意角与实数集。
2.终边相同的角
〖定义〗所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。
〖几何表示〗如图所示
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
详解：
〖概念辨析〗
（1）相等的角，终边一定相同 ( http: / / www.21cnjy.com )，终边相同的角不一定相等。
（2）k是整数，α是任意角，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍。
〖相关知识〗
任意角的概念，象限角，坐标轴上的角，任意角与实数集。
实例：
〖正例〗
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
如图，-315°、45°、405°的终边都为OA，它们是终边相同的角。
〖反例〗
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
如图，45°的终边为OA，225°的终边为OB，它们不是终边相同的角。
3.象限角
〖定义〗把角放在直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边放在x轴的正半轴上，角的终边落在第几象限就将该角叫做第几象限角。如果角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限。
〖代数表示〗
终边在第一象限的角的集合: {β｜n·360°<β
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
详解：
〖记忆方法〗记忆方法、口诀
〖概念辨析〗如 ( http: / / www.21cnjy.com )果角的顶点不与坐标原点重合，或者角的始边不与x轴非负半轴重合，则不能判断角在哪一象限，也就是说它不能称作象限角。
〖相关知识〗
坐标轴上的角
实例：
〖正例〗
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
如图，124°为第二象限角，210°为第三象限角，-45°为第四象限角。
〖反例〗
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
如图，90°、270°都不在任何象限，它们都不是象限角。
〖例题〗
例1、设α为第一象限角，试问 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 为第几象限角？
解：因为α为第一象限角，
所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
所以当k为偶数时， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 在第一象限；
当k为奇数时， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 在第三象限，
因此， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 是第一或第三象限角。
例2、设α为第二象限角，试问：-α、π-α、π+α分别是第几象限的角？
解：因为α为第二象限角，
所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
① HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
因为k是整数，所以-α为第三象限角。
② HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
所以π-α为第一象限角。
③ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
所以π+α为第四象限角。
4.坐标轴上的角
〖定义〗在直角坐标系内，角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边落在坐标轴上，我们就说这个角是坐标轴上的角。
〖代数表示〗符号或字母表示
与x轴正半轴终边相同的角的集合为 {β｜β=k 360°，k∈Z}
与x轴负半轴终边相同的角的集合为 {β｜β=180 +k 360°，k∈Z}
与y轴正半轴终边相同的角的集合为 {β｜β=90°+k 360°，k∈Z}
与y轴负半轴终边相同的角的集合为 {β｜β=270°+k 360°，k∈Z}
终边在x轴上的角的集合为 {β｜β=n 180°，n∈Z}
终边在y轴上的角的集合为{β｜β=90°+n 180°，n∈Z}
终边在坐标轴上的角的集合为 {β｜β=n 90°，n∈Z}
〖几何表示〗
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
详解：
〖相关知识〗象限角
实例：
〖正例〗
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
如图，90°是终边在y轴正半轴的角、270°是终边在y轴负半轴的角。
〖反例〗
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
如图，124°为第二象限角，210°为第三象限角，-45°为第四象限角，他们都不是终边在5.弧度制
〖定义〗弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制。把长度等于半径长的弧所对的圆心角(或这条弧)叫做1弧度。它是定值，其大小与所在圆的半径大小无关。记作rad，读作“弧度”。
〖代数表示〗rad
〖几何表示〗
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
如图，∠AOB的大小即为1rad.
详解：
〖概念辨析〗
1、一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径的大小无关。
2、一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.
3、如果半径为r的圆心角α所对弧长为l，那么角的弧度数的绝对值是 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" .这里α的正负由角α的终边的旋转方向决定。
〖相关知识〗角度与弧度之间的转化
实例：
〖特例〗因为圆的周长为2π r，所以有 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
坐标轴上6.角度与弧度之间的转化
〖推导〗因为圆的周长为2π r，所以有 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
〖具体公式〗
①将角度化为弧度.
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
②将弧度化为角度.
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
③弧度制与角度制的换算公式：
α rad=( HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" )°， n°=n HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" (rad)。
详解：
〖记忆方法〗记住 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 即可
〖概念辨析〗今后用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad”通常略去不写，而只写该角所对应的弧度数。例如，角 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 就表示α是2rad的角。
实例：
必须熟记的特殊角的弧度制
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
的角。
7.弧长公式
弧长公式：l=αR= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，
其中α是弧度数，n是角度数。
详解：
〖辨析〗注意弧长公式中应用的是圆心角α弧度数的绝对值，且 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" .
〖相关知识〗扇形的面积公式，角度与弧度之间的转化，弧度制
8.扇形的面积公式
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，其中α是弧度数，n是角度数。
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
详解：
〖记忆方法〗扇形面积公式可类比三角形面积公式记忆，l为三角形的底边，r为高。
〖辨析〗注意面积公式中应用的是圆心角α弧度数的绝对值，且 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" .
〖相关知识〗弧长公式，角度与弧度之间的转化，弧度制
实例：
〖例题〗
例：已知扇形 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 的圆心角为4弧度，其面积为2平方厘米，求扇形周长。
解：设 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 的长为l， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，
因为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ①
设扇形的圆心角 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 的弧度数为α，
则 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ②
由①②解得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
扇形周长为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"