02任意角的三角函数

02任意角的三角函数
1.任意角的三角函数的定义一
〖定义〗
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
如图，设 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 是一个任意角，它的终边上任意一点 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，它与原点的距离是 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，那么角 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分别记作：
正弦： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ；余弦： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ；
正切： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ；余切： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ；
正割： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ；余割： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" .
这六个函数统称为三角函数。
详解：
〖概念辨析〗 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 不是sin与α的乘积，它是一个整体，是一个确定的比值，是三角函数记号，其他五个三角函数也应同样理解。
实例：
〖特例〗要熟记的特殊角的三角函数
表一：
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
表二：
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
〖例题〗
例：已知角 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 的终边经过点 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，求 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 的三角函数值.
解：因为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，
所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，
于是
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ；
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ；
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
2.任意角的三角函数的定义二
〖定义〗
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，那么：
(1)y叫做α的正弦，记作sinα，即 sinα=y；
(2)x叫做α的余弦，记作cosα，即cosα=x；
(3) HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 叫做α的正切，记作tanα，即tanα= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" (x≠0)。
所以，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数。
详解：
〖记忆方法〗纵正，横余，比切（纵正弦，横余弦，比正切）
〖概念辨析〗 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 不是sin与α的乘积，它是一个整体，是一个确定的比值，是三角函数记号，其他五个三角函数也应同样理解。
〖相关知识〗三角函数的定义域，三角函数值在各象限的符号
实例：
〖特例〗要熟记的特殊角的三角函数
表一：
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
表二：
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
〖例题〗利用三角函数的定义求 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 的三个三角函数值。
解：如图，在直角坐标系中，作∠AOB= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" .
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
易知∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，所以
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
3.三角函数值在各象限的符号
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
详解：
〖记忆方法〗一全正，二正弦，三正切，四余 ( http: / / www.21cnjy.com )弦
〖概念辨析〗
在第一象限内，所有的三角函数值都为正值；
在第二象限内，正弦函数值为正值；
在第三象限内，正切函数值为正值；
在第四象限内，余弦函数值为正值。
〖相关知识〗任意角的三角函数的定义
实例：
〖例题〗确定下列三角函数值的符号：（1）sin 156°，（2） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ；
（1）
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
（2）
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
4.三角函数的定义域和值域
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
详解：
〖概念辨析〗
1、确定三角函数的定义域时， ( http: / / www.21cnjy.com )应抓住分母等于零时比值无意义这一关键，结合三角函数的定义，可以得到三角函数的定义域和值域。
2、特别要引起注意的是正切函数的定义域
〖相关知识〗任意角的三角函数的定义
5.同角三角函数的基本关系式
〖代数表示〗
1.平方关系
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2.商数关系
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ；
〖几何表示〗
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
如图，在RT△OMP中，有 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 。
详解：
〖记忆方法〗记忆方法、口诀
〖概念辨析〗
公式 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" （平方关系）和 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" （商数关系）称为同角三角函数的基本关系式。这里的同角有两层含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角（在使得函数有意义的前提下）关系式都成立。
〖相关知识〗任意角的三角函数的定义
实例：
〖例题〗
已知 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，且 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 为第三象限角，求 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 的值．
解： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 为第三象限角
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
〖应用〗
(1)“ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ”代换法：即 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 。如
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 。
(2) 和积转化法: 同角正余弦间的和与积关系与转化的方法。如
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ；
(3)弦切转化法：同角正弦与余弦的商可以转化为正切函数式的方法，即 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 。
如
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
(4)已知角的某一三角函数值，可以求其余的三角函数值，即“知一求二”法。在这过程中常常用到“平方关系”： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 。计算时往往要开平方，要注意根据角所在的象限确定函数值的符号，若角所在象限不确定，则要就角可能所在的象限进行分类讨论。