04三角函数的图像与性质

04三角函数的图像与性质
1.五点法
〖定义〗正弦函数的图象在［0,2π］上有五个起关键作用的点，只要描出这五个点，函数y=sinx在［0,2π］上的图象的形状就基本上确定了，我们称之为“五点法”。
这五点是： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，可分别称之为始点、最高点、拐点、最低点、终点。
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
详解：
〖概念辨析〗
1、观察正弦曲线，余弦曲线可知，在区间 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 上，以上五个点分别是最高点，最低点以及与x轴的交点，在确定函数的图象形状起到关键作用。
2、在精确度要求不太高时，我们常常先描出这五个点，然后用光滑的曲线将它们连接起来，就得到在相应区间内正弦函数、余弦函数的简图，
〖相关知识〗正弦曲线
实例：
〖例题〗
画出下列函数 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" , HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 的简图
解：列表：
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
描点作图：
2.正弦曲线
〖形成〗用正弦线画函数y=sinx，x∈［0,2π］的精确图象：
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
〖定义〗我们只要将y=sinx，x∈［0,2π］的图象向左、向右平行移动（每次2π个单位长度），就得到正弦函数的图象如下图所示：
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
正弦函数的图象叫做正弦曲线。
详解：
〖相关知识〗余弦曲线
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
3.余弦曲线
〖形成〗用余弦线画函数y=cosx，x∈［0,2π］的精确图象:
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
〖定义〗我们只要将y=cosx，x∈［0,2π］的图象向左、向右平行移动（每次2π个单位长度），就得到余弦函数的图象如下图所示
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
余弦函数的图象叫做余弦曲线。
详解：
〖概念辨析〗
能否利用正弦曲线做出余弦函数的图象呢？
由诱导公式有 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，因此，将正弦函数的图象左移 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 个单位，即得到余弦函数的图象。
〖相关知识〗正弦曲线
4.周期函数
〖定义〗对于函数 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，如果存在一个非零常数T，使得x取定义域内的任意值时，都有 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 那么函数 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 叫做周期函数。
其中非零常数T叫做这个函数的一个周期。
如果T中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做这个函数的最小正周期。
详解：
〖概念辨析〗
（1）对于函数 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" （其中 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ），如果存在非零常数T，使得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 对定义域内的任何值都成立，那么这个函数的一个周期是 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，而不是T。
（2）所有的周期函数未必都有最小正周期，例如常数函数就不存在最小正周期。
〖相关知识〗正弦函数的图象，余弦函数的图象
实例：
〖特例〗
1、正弦、余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π。
2、正切函数也是周期函数， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 都是它的周期，最小正周期是π。
〖常用结论〗
1.一般地，如果T( HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" )是函数 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 的一个周期，那么 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 也是函数 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 的一个周期。
2.若 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 则2T是函数f(x)的一个周期。
因为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
3.若 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，则2T是函数f(x)的一个周期。
因为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
4.形如 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 的函数，周期为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ；形如 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 的函数，周期减半，即 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ；形如 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 的函数，周期为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
〖例题〗
例：求下列函数的周期： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ∈R；
解：周期 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" （注释：根据公式 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ）
5.正弦函数、余弦函数的性质
正弦函数的性质如下：
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
余弦函数的性质如下：
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
详解：
〖概念辨析〗
1、函数的性质是三角函数部分的重要内容，是解决三角函数有关问题的重要依据，记忆时，要结合三角函数的图象。
2、正弦函数、余弦函数都不是定义域上的单调函数。另外，说“正弦函数在第一象限是增函数”也是错误的，因为在第一象限，即使是终边相同的角，它们也可以相差 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 的整数倍。
〖相关知识〗正弦函数的图象，余弦函数的图象，正切函数的性质
实例：
〖例题〗
例：利用函数的单调性比较下面两个三角函数值的大小：
sin103°15′与sin 164°30′；
解:因为函数 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 在区间 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 的范围内是单调递减的，又因为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
6.正切曲线
〖形成〗用正切线画函数y=tanx， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 的精确图象:
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
〖定义〗我们只要将y=tanx， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 的图象向左、向右平行移动（每次π个单位长度），就得到正切函数的图象如下图所示
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
正切函数的图象叫做正切曲线。
详解：
〖概念辨析〗由图可以看出，正切曲线是被相互平行的直线 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 所隔开的无穷多支曲线组成的。
〖相关7.正切函数的性质
正切函数的性质：
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
详解：
〖概念辨析〗
1.正切函数 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 是单调递增函数，但不能说函数在其定义域内是单调递增函数，正切函数无单调减区间。
3.判断函数奇偶性时，必须先检验定义域是否关于原点对称，如果是，再验证 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 是否等于 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 或 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，进而判断函数的奇偶性；如果不是，则该函数必是非奇非偶函数。
〖相关知识〗正切曲线，正弦函数、余弦函数的性质
实例：
〖例题〗
例：根据正切函数的图象，写出使下列不等式成立的 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 的集合： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ；
解：根据正切函数的图像如下图：
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
由图可看出要使 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
因为函数 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 的图像是在每个区间是单调递增的，
不等式 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 成立的x的集合是 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
〖相关知识〗正切函数的性质
实例：
〖例题〗
例：根据正切函数的图象，写出使下列不等式成立的 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 的集合： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ；
解：根据正切函数的图像如下图：
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
由图可看出要使 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
因为函数 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 的图像是在每个区间是单调递增的，
不等式 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 成立的x的集合是 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"