江苏省宿迁青华中学2022-2023学年九年级下学期开学考试数学试卷
一、单选题
1．（2021八下·周村期末）如果3x＝4y（y≠0），那么下列比例式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023九下·宿迁开学考）二次函数y＝x2-2x+3的图象的顶点坐标是（ ）
A．（1，6） B．（1，2） C．（-1，6） D．（-1，2）
3．（2018九上·北京期末）已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，则cosB的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023九下·宿迁开学考）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023九下·宿迁开学考）如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝6，OP⊥AB，垂足为点P，则OP的长为（ ）
A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
6．（2021九上·香洲月考）设A（1，y1），B（﹣2，y2）是抛物线y＝﹣（x+1）2+a上的两点，则y1、y2的大小关系为（ ）
A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1≤y2 D．y1≥y2
7．（2020·苏州模拟）如图，点A，B，C，D，E在⊙O上， 的度数为60°，则∠B+∠D的度数是（ ）
A．180° B．120° C．100° D．150°
8．（2020·泰安）如图，点A，B的坐标分别为 ，点C为坐标平面内一点， ，点M为线段 的中点，连接 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023九下·宿迁开学考）如果，那么锐角的度数为 °.
10．（2017·宜宾）经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程是 ．
11．（2023九下·宿迁开学考）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1、l2、l3于点A、B、C，直线DF分别交l1、l2、l3于点D、E、F，若AB＝3，BC＝5，则的值为 .
12．（2020九上·泰州月考）如图，抛物线 与直线 交于 两点，则不等式 的解集是 .
13．（2022九上·雁塔月考）已知点M为线段AB的黄金分割点，且，若，则AM= cm．
14．（2020·北京模拟）如图，边长为1的小正方形网格中，点 均在格点上，半径为2的 与 交于点F，则 ．
15．（2023九下·宿迁开学考）如图，AB为半圆O的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置，锐角顶点P在半圆上，斜边过点B，一条直角边交该半圆于点Q. 若AB=4，则弧BQ的长为 .
16．（2023九下·宿迁开学考）如图，D、E分别是的边上的点，，若，则的值为 .
17．（2023九下·宿迁开学考）如下图，抛物线与x轴交于点下列判断：①；②；③；④.其中判断一定正确的序号是 .
18．（2023九下·宿迁开学考）如图，矩形OABC中，O为坐标原点，点A、点C分别落在x轴、y轴上，点B坐标为（4，6），点D为AB边中点，点E为射线BC上的一个动点，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点B＇，连接OB＇，当OB＇长度最小时点B＇的坐标为 .
三、解答题
19．（2023九下·宿迁开学考）解方程或计算：
（1）；
（2）
20．（2023九下·宿迁开学考）已知如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是斜边上的高，求证：CD2＝AD BD.
21．（2023九下·宿迁开学考）在全运会射击比赛的选拔赛中，运动员甲10次射击成绩的统计表和扇形统计图如下：
命中环数 10 9 8 7
命中次数 ▲ 3 2 ▲
（1）根据统计表(图)中提供的信息，补全统计表及扇形统计图；
（2）已知乙运动员10次射击的平均成绩为9环，方差为1.2，如果只能选一人参加比赛，你认为应该派谁去？并说明理由.
22．（2021·江都模拟）九年级某班要召开一次“走近抗疫英雄，讲好中国故事”主题班会活动，李老师制作了编号为A、B、C、D的4张卡片（如图，除编号和内容外，其余完全相同），并将它们背面朝上洗匀后放在桌面上．
（1）小明随机抽取1张卡片，抽到卡片编号为B的概率为 ；
（2）小明从4张卡片中随机抽取1张（不放回），小丽再从余下的3张卡片中随机抽取1张，然后根据抽取的卡片讲述相关英雄的故事，求小明、小丽两人中恰好有一人讲述钟南山抗疫故事的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）．
23．（2023九下·宿迁开学考）如图，船A、B在东西方向的海岸线上，均收到已触礁搁浅的船P的求救信号，已知船P在船A的北偏东方向上，在船B的北偏西方向上，海里.
（1）求船P到海岸线的距离；
（2）若船A、船B分别以20海里/时、15海里/时的速度同时出发，匀速直线前往救援，试通过计算判断哪艘船先到达船P处.（参考数据：，，）
24．（2023九下·宿迁开学考）如图，在正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格图中进行下列操作：
（1）利用网格确定该圆弧所在圆的圆心D点的位置，则D点坐标为 ；
（2）连接AD、CD，则⊙D的半径为 (结果保留根号)，∠ADC的度数为 ；
（3）若扇形DAC是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面半径.(结果保留根号).
25．（2023九下·宿迁开学考）如图，已知△ABC，以AC为直径的交AB于点D，点E为的中点，连接CE交AB于点F，且BF＝BC.
（1）判断直线BC与的位置关系，并说明理由；
（2）若的半径为2，，求CE的长.
26．（2023九下·宿迁开学考）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件.
（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式.
（2）若商场要每天获得销售利润2000元，销售单价应定为多少元？
（3）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大？最大利润是多少？
27．（2023九下·宿迁开学考）如图，抛物线y＝ax 2＋bx＋c（a≠0）的顶点坐标为（2，－1），并且与y轴交于点C（0，3），与x轴交于两点A，B.
（1）求抛物线的表达式；
（2）设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，求△ACD的面积；
（3）点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F.问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似.若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.
28．（2023九下·宿迁开学考）【问题呈现】如图1，∠AOB=90°， OA=4，OB=5，点P在半径为2的⊙O上，求的最小值.
【问题解决】小明是这样做的：如图2，在OA上取一点C使得OC=1，这样可得，又因为∠COP=∠POA，所以可得△COP ∽△POA，所以，得所以.
又因为，所以最小值为 ▲ .
【思路点拨】小明通过构造相似形（图3），将转化成CP，再利用“两点之间线段”最短”求出CP+ BP的最小值.
【尝试应用】如图4，∠AOB=60°， OA=10，OB=9，点P是半径为6的⊙O上一动点，求的最小值.
【能力提升】如图5，∠ABC=120°， BA= BC=8，点D为平面内一点且BD= 3CD，连接AD，则△ABD面积的最大值为 ▲ .
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：A．由比例的性质，得3x=4y与3x=4y一致，故A符合题意；
B．由比例的性质，得4x=3y与3x=4y不一致，故B不符合题意；
C．由比例的性质，得4x=3y与3x=4y不一致，故C不符合题意；
D．由比例的性质，得xy=12与3x=4y不一致，故D不符合题意．
故答案为：A．
【分析】利用比例中项的定义化简，逐项判断求解即可。
2．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：，
抛物线顶点坐标为(1，2)，
故答案为：B.
【分析】将解析式配成顶点式y=a（x-h）2+k的形式，进而根据顶点式中其顶点坐标为（h，k）直接得出答案.
3．【答案】D
【知识点】互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】由在Rt△ABC中，∠C=90°，得∠A+∠B=90°，
∴cosB=sinA= ，
故答案为：D．
【分析】根据互余两角的函数关系式：若∠A+∠B=90°则cosB=sinA，即可得出答案。
4．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，即，解得.
故答案为：C.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此并结合题意，列出不等式，求解即可.
5．【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接OA，
∵OP⊥AB，
∴AP=BP=3 ，
在直角三角形AOP中，
故答案为：D.
【分析】连接OA，根据垂径定理得AP=3，在Rt△AOP中，利用勾股定理计算可得OP.
6．【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝﹣（x+1）2+a的开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，
∴B（﹣2，y2）关于对称轴的对称点为（0，y2），
∵﹣1＜0＜1，且在对称轴右侧，y随x的增大而减小，
∴y1＜y2．
故答案为：A．
【分析】先求出点B关于对称轴的对称点，再利用二次函数的性质求解即可。
7．【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接AB，
∵ 为60°
∴∠ABE=30°
∵点A，B，C，D在⊙O上
∴四边形ABCD是圆内接四边形
∴∠ABC+∠ADC=180°
∴∠ABE+∠EBC+∠ADC=180°
∴∠EBC+∠D=180°-∠ABE=180°-30°=150°
故答案为：D.
【分析】连接AB，先求得∠ABE=30°，根据圆内接四边形的性质得出∠ABE+∠EBC+∠ADC=180°，即可求得∠EBC+∠D=150°.
8．【答案】B
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图所示，取AB的中点N，连接ON，MN，
三角形的三边关系可知OM＜ON+MN，则当ON与MN共线时，OM= ON+MN最大，
∵ ，
则△ABO为等腰直角三角形，
∴AB= ，N为AB的中点，
∴ON= ，
又∵M为AC的中点，
∴MN为△ABC的中位线，BC=1，
则MN= ，
∴OM=ON+MN= ，
∴OM的最大值为
故答案选：B．
【分析】如图所示，取AB的中点N，连接ON，MN，根据三角形的三边关系可知OM＜ON+MN，则当ON与MN共线时，OM= ON+MN最大，再根据等腰直角三角形的性质以及三角形的中位线即可解答．
9．【答案】30
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵，
∴锐角A的度数为30°，
故答案为：30.
【分析】根据特殊锐角三角函数值即可直接得出答案.
10．【答案】50（1﹣x）2=32
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：由题意可得，
50（1﹣x）2=32，
故答案为：50（1﹣x）2=32．
【分析】根据某药品经过连续两次降价，销售单价由原来50元降到32元，平均每次降价的百分率为x，可以列出相应的方程即可．
11．【答案】
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵AB＝3，BC＝5
∴AC=AB+BC=3+5=8
∴
∵l1∥l2∥l3
∴.
故答案为：.
【分析】根据平行线分线段成比例定理得，进而代入计算可得答案.
12．【答案】-1＜x＜2
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A（-1，p），B（2，q）两点，
观察函数图象可知：当-1＜x＜2时，抛物线y=ax2+c在直线y=mx+n的上方，
∴不等式ax2+c＞mx+n的解集为-1＜x＜2，
即不等式ax2-mx+c＞n的解集是-1＜x＜2.
故答案为：-1＜x＜2.
【分析】观察函数图象可知：当-1＜x＜2时，抛物线y=ax2+c在直线y=mx+n的上方，结合不等式即可求解.
13．【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵M是线段AB的黄金分割点（AM＞MB），AB=6cm，
∴cm，
故答案为：.
【分析】根据黄金分割的特点可得，然后将AB=6cm代入进行计算.
14．【答案】
【知识点】圆周角定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴在 中，
∴ ．
故答案为：
【分析】根据圆周角定理得到 ，根据正方形网格特点和正切函数定义即可求解．
15．【答案】π
【知识点】圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接AQ，OQ，
∵∠P=45°，
∴∠QOB=2∠P =90°，
∵OA=OB=AB=2，
∴弧BQ的长为.
故答案为： π.
【分析】连接AQ，OQ，根据圆周角定理得∠QOB=90°，进而根据弧长计算公式“”直接计算即可.
16．【答案】
【知识点】三角形的面积；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解∶，
故答案为：.
【分析】根据同高三角形的面积之比等于底之比得BE∶EC=1∶3，推出BE∶BC=1∶4，由DE∥AC可推出△BDE∽△BAC，△DOE∽△AOC，由相似三角形对应边成比例得最后根据相似三角形面积之比等于相似比的平方可得答案.
17．【答案】①②
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向上，与y轴交于y轴负半轴，
∴，
∴，故①正确；
∵抛物线与x轴交于点，
∴，抛物线的对称轴为直线，
∴，，故②正确；
∴，
∴，故③错误；
∵当时，，
∴，故④错误；
∴正确的有①②；
故答案为：①②.
【分析】由抛物线开口向上，与y轴交于y轴负半轴，可得a＞0，c＜0，据此可判断①；根据抛物线与x轴有两个交点可判断②；由抛物线的对称性结合其与x轴两交点的坐标可得对称轴直线为x=2，结合抛物线的对称轴直线公式判断③；由图象可知当x=-2时，y＜0，据此可判断④.
18．【答案】(，)
【知识点】矩形的性质；圆周角定理；点与圆的位置关系；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如下图所示：连接B'B、DB'，
∵△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点B'，
∴BD=B'D，
∴∠1=∠2，
∵D是AB中点，
∴BD=AD，
∴B'D=AD，
∴∠3=∠4，
又∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴2∠2+2∠3=180°，
∴∠AB'B=∠2+∠3=90°，
∴点B'在以AB中点D为圆心，AD=3为半径的半圆上运动，如上图中所示，
只要O、B'、D三点不共线，由三角形两边之差小于第三边可知：OB'＞OD-DB'=5-3=2，
当O、B'、D三点共线时，此时有OB'=OD-DB'=5-3=2，此时OB'最小为2，
过B'作B'H⊥x轴于H，则B'H∥AD，
∴△OB'H∽△ODA，
∴，且，
代入数据：，解得，，
∴的坐标为.
故答案为：.
【分析】由翻折及中点定义得BD=B'D=AD=3，由等边对等角及三角形的内角和定理得∠AB'=90°，故点B'在以AB中点D为圆心，3为半径的半圆上运动，当O、B'、D三点共线时，此时有OB'=OD-DB'=5-3=2，此时OB'最小为2，过B'作B'H⊥x轴于H，则B'H∥AD，推出△OB'H∽△ODA，由相似三角形对应边成比例建立方程，求解可得B'H及OH的长，从而即可得出B'的坐标.
19．【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得
（2）解：原式
【知识点】实数的运算；配方法解一元二次方程；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）利用配方法解方程，首先将常数项移到方程右边，然后配方（方程两边同时加上一次项系数一半的平方“1”），左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项，然后利用直接开平方法求解即可；
（2）先代入特殊锐角三角函数值，同时利用二次根式性质化简并计算乘方，进而合并同类二次根式即可.
20．【答案】证明：∵CD是斜边AB上的高.
∴∠ADC＝∠CDB＝90°，
又∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°
∴∠A+∠ACD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∴△ACD∽△CBD，
∴，
∴CD2＝AD BD.
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据垂直的定义得∠ADC＝∠CDB＝90°， 根据同角的余角相等得∠A＝∠BCD，由两组角对应相等的两个三角形相似判断出△ACD∽△CBD，根据相似三角形对应边成比例即可得出结论.
21．【答案】（1）解：4；1；画图如下：
（2）解：∵甲运动员10次射击的平均成绩为（10×4+9×3+8×2+7×1）÷10=9环，
∴甲运动员10次射击的方差= [（10-9）2×4+（9-9）2×3+（8-9）2×2+（7-9）2]=1，
∵乙运动员10次射击的平均成绩为9环，方差为1.2，大于甲的方差，
∴如果只能选一人参加比赛，认为应该派甲去.
【知识点】统计表；扇形统计图；平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：（1）（1）命中7环的次数为：10×10％=1，命中10环的次数为：10-3-2-1=4，
命中8环所占的百分比为：2÷10×100％=20％，命中10环所占的百分比为：4÷10×100％=40％，
补全统计表如图：
命中环数 10 9 8 7
命中次数 4 3 2 1
故答案为：4，1；
【分析】（1）用射击的总次数乘以命中7次所占的百分比可算出命中7次的次数；用射击的总次数分别减去命中7、8、9环的次数可得命中10环的次数；分别用命中8环及10环的次数除以射击的总次数乘以100％可得命中8环及10环的次数所占的百分比，据此可补全统计图；
（2）求出甲运动员射击10次的平均成绩及差，比较平均数的大小，并结合方差越小成绩越稳定判断得出答案.
22．【答案】（1）
（2）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果数，其中小明、小丽两人中恰好有一人讲述钟南山抗疫故事的有6种结果，
所以小明、小丽两人中恰好有一人讲述钟南山抗疫故事的概率为： ．
【知识点】列表法与树状图法；概率的简单应用
【解析】【解答】解：（1）∵共有4张卡片，
∴小明随机抽取1张卡片，抽到卡片编号为B的概率为 ，
故答案为： ；
【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；（2）根据题意先画树状图列出所有等可能结果数的，根据概率公式求解可得．
23．【答案】（1）解：过点P作垂直于，垂足为E，由题意得，，海里，
在中，海里；
答：船P到海岸线的距离为15海里；
（2）解：在中，海里，，
则海里，
A船需要的时间为：小时，B船需要的时间为：小时，
∵，
∴B船先到达.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】（1） 过点P作PE⊥AB于E， 在Rt△APE中，根据正弦函数的定义，由PE=Apsin∠PAE可求出答案；
（2）在Rt△PBE中，根据正弦函数的定义，由 算出BP的长，进而根据路程除以速度=时间算出A、B两船到达P点需要的时间，再比大小即可.
24．【答案】（1）(2，0)
（2）；90°
（3）解：弧AC的长=π×2=π，
设圆锥底面半径为r则有2πr=π，解得：，
所以圆锥底面半径为.
【知识点】垂径定理的应用；弧长的计算；圆锥的计算；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：（1）如图1，分别作AB、BC的垂直平分线，两线交于点D，
∴D点的坐标为（2，0），
故答案为：（2，0）；
（2）如图2，连接AD、CD，过点C作CE⊥x轴于点E，
则OA=4，OD=2，在Rt△AOD中，可求得AD=2，
即⊙D的半径为2，
且CE=2，DE=4，
∴AO=DE，OD=CE，
在△AOD和△DEC中，
，
∴△AOD≌△DEC（SAS），
∴∠OAD=∠CDE，
∴∠CDE+∠ADO=90°，
∴∠ADC=90°，
故答案为：2；90°；
【分析】（1）根据垂径定理圆心一定在弦的垂直平分线上，故分别作AB、BC的垂直平分线，两线交于点D，进而根据点D的位置读出其坐标；
（2）连接AD、CD，过点C作CE⊥x轴于点E，在Rt△AOD中，直接利用勾股定理可求出圆的半径AD的长；用SAS判断出△AOD≌△DEC根据全等三角形的对应角相等得∠OAD=∠CDE，进而根据等量代换及三角形的内角和定理可得∠CDE+∠ADO=90°，推出∠ADC=90°；
（3）利用弧长公式算出弧AC的长，根据圆锥底面圆的周长等于侧面扇形的弧长列出方程，求解即可.
25．【答案】（1）解：与相切
证明：连接，
是的直径
，
，
，
，
为弧中点，
，
，
，
为直径，
是的切线.
（2）解：的半径为2，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
设，，
由勾股定理得：，
（负数舍去），
即.
【知识点】圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1） BC与相切 ，理由如下：连接AE，根据直径所对的圆周角是直角得∠E=90°，根据等边对等角得∠BCE=∠BFC，由等弧所对的圆周角相等得∠EAD=∠ACE，结合对顶角相等、三角形的内角和定理及等量代换可得∠ACB=90°，从而根据切线的判定方法得出结论；
（2）根据正弦函数的定义结合 可算出AB的长，用勾股定理算出BC的长，然后判断出△AEF∽△CEA，由相似三角形对应边成比例建立方程可得EC=2EA，设EA=x，EC=2x，在Rt△AEC中，由勾股定理建立方程求解即可.
26．【答案】（1）解：由题意得，
（2）解：由题意得，
解得或，
∴销售单价应定为30元或40元
（3）解：
，
∵，
∴当时，最大，最大为2250，
∴销售单价为35元时，该文具每天的销售利润最大，最大利润是2250元.
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）每件文具的利润为（x-20）元，每天销售的数量为[250-10(x-25)]件，根据单件文具的利润×销售数量=总利润可建立出w关于x的函数关系式；
（2）将w=2000代入（1）所得函数解析式，求解可得答案；
（3）根据（1）所得函数的性质即可解决问题.
27．【答案】（1）解：依题意，设抛物线的解析式为，代入C（0，3）后，
得：，解得：a=1，
∴抛物线的解析式：
（2）解：由（1）知，A（1，0）、B（3，0）；
设直线BC的解析式为：y=kx＋3，代入点B的坐标后，得：
3k＋3=0，k= －1，
∴直线BC：y=－x＋3；
由（1）知：抛物线的对称轴：x=2，则 D（2，1）；
∴，，，
即：，△ACD是直角三角形，且AD⊥CD；
∴= AD CD==2；
（3）解：由题意知：EF∥y轴，则∠FED=∠OCB，若△OCB与△FED相似，则有：
①∠DFE=90°，即 DF∥x轴；
将点D纵坐标代入抛物线的解析式中，得：
，解得
当x=2+时，y=－x+3=1－；
当x=2－时，y=－x+3=1+；
∴、；
②∠EDF=90°，
易知，直线AD：y=x－1，联立抛物线的解析式有：
，解得 ；
当x=1时，y=-x+3=2；
当x=4时，y=-x+3=-1；
∴、；
综上，存在符合条件的点E，且坐标为：、、、.
【知识点】相似三角形的性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）此题给出了抛物线的顶点坐标，故设出抛物线的顶点式，再将顶点坐标及点C的坐标代入可算出二次项的系数a的值，从而可求得抛物线的解析式；
（2）令抛物线解析式中的y=0，算出对应的自变量x的值，可得点A、B的坐标；利用待定系数法求出直线BC的解析式，将x=2代入直线BC的解析式算出对应的函数值，可得点D的坐标，根据两点间的距离公式分别算出AD2、AC2、CD2，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACD是直角三角形，且AD⊥CD，从而根据直角三角形面积计算方法算出△ACD的面积；
（3） 由题意知：EF∥y轴，则∠FED=∠OCB，若△OCB与△FED相似，则有： ①∠DFE=90°，即 DF∥x轴； 将点D纵坐标代入抛物线的解析式中 ，算出对应的自变量的值，进而将自变量的值代入直线BC中算出对应的函数值，可得点E的坐标； ②∠EDF=90°， 利用待定系数法求出直线AD的解析式， 联立抛物线的解析式得x2-4x+3=x-1，求解得出x的值，再将x的值代入直线BC的解析式算出对应的函数值可得点E的坐标，综上即可得出答案.
28．【答案】解：[问题解决]；
[尝试应用]如图，在OB上取一点C，使OC=6，连接PO，PC，AC
，，
，
，
，，
，
过点C作于D，
sin，
，，
在中，，
最小值为；
[能力提升]
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：[问题解决]如图，在中，，
的最小值为，
故答案为：；
[能力提升]在BC上取一点E，使BE=6，延长BC到F，使BF=12，则CE=2，CF=4，
，，
，
，
连接DE，DF，
由，
点E，F到BD，CD的距离相等，
DE，DF是△BDC的内，外角平分线，
，
点D是平面内任意一点，
点D在以EF为直径的圆O上，
过点O作DG⊥AB交AB的延长线于点G，交圆O于点D，则DG是直线AB到圆上的最大距离，此时△ABD的面积最大，
，EO=3，
在中，，
，
，
，
△ABD面积的最大值为，
故答案为：.
【分析】（1） [问题解决] 在OA上取一点C，使OC=1，则，又∠COP=∠POA，得△COP ∽△POA，则，得，故，又
从而利用勾股定理算出答案；
（2） [尝试应用]如图，在OB上取一点C，使OC=6，连接PO，PC，AC ，利用两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似得△POC∽△BOP，根据相似三角形对应边成比例得 ， 故可得， 过点C作CD⊥OA于D， 由正弦函数定义求的CD的长，在Rt△ACD中，利用勾股定理算出AC的长即可得出答案；
（3） [能力提升] 在BC上取一点E，使BE=6，延长BC到F，使BF=12，则CE=2，CF=4，易得；连接DE，DF，根据同高三角形面积之比等于底之比可得点E，F到BD，CD的距离相等，根据角平分线定理得DE，DF是△BDC的内，外角平分线，则可得∠EDF=90°，根据圆周角定理得点D在以EF为直径的圆O上，过点O作DG⊥AB交AB的延长线于点G，交圆O于点D，则DG是直线AB到圆上的最大距离，此时△ABD的面积最大，在Rt△BOG中，由正弦函数的定义求出OG，最后根据三角形面积计算公式算出△ABD的面积即可.
1 / 1江苏省宿迁青华中学2022-2023学年九年级下学期开学考试数学试卷
一、单选题
1．（2021八下·周村期末）如果3x＝4y（y≠0），那么下列比例式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：A．由比例的性质，得3x=4y与3x=4y一致，故A符合题意；
B．由比例的性质，得4x=3y与3x=4y不一致，故B不符合题意；
C．由比例的性质，得4x=3y与3x=4y不一致，故C不符合题意；
D．由比例的性质，得xy=12与3x=4y不一致，故D不符合题意．
故答案为：A．
【分析】利用比例中项的定义化简，逐项判断求解即可。
2．（2023九下·宿迁开学考）二次函数y＝x2-2x+3的图象的顶点坐标是（ ）
A．（1，6） B．（1，2） C．（-1，6） D．（-1，2）
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：，
抛物线顶点坐标为(1，2)，
故答案为：B.
【分析】将解析式配成顶点式y=a（x-h）2+k的形式，进而根据顶点式中其顶点坐标为（h，k）直接得出答案.
3．（2018九上·北京期末）已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，则cosB的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】由在Rt△ABC中，∠C=90°，得∠A+∠B=90°，
∴cosB=sinA= ，
故答案为：D．
【分析】根据互余两角的函数关系式：若∠A+∠B=90°则cosB=sinA，即可得出答案。
4．（2023九下·宿迁开学考）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，即，解得.
故答案为：C.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此并结合题意，列出不等式，求解即可.
5．（2023九下·宿迁开学考）如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝6，OP⊥AB，垂足为点P，则OP的长为（ ）
A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接OA，
∵OP⊥AB，
∴AP=BP=3 ，
在直角三角形AOP中，
故答案为：D.
【分析】连接OA，根据垂径定理得AP=3，在Rt△AOP中，利用勾股定理计算可得OP.
6．（2021九上·香洲月考）设A（1，y1），B（﹣2，y2）是抛物线y＝﹣（x+1）2+a上的两点，则y1、y2的大小关系为（ ）
A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1≤y2 D．y1≥y2
【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝﹣（x+1）2+a的开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，
∴B（﹣2，y2）关于对称轴的对称点为（0，y2），
∵﹣1＜0＜1，且在对称轴右侧，y随x的增大而减小，
∴y1＜y2．
故答案为：A．
【分析】先求出点B关于对称轴的对称点，再利用二次函数的性质求解即可。
7．（2020·苏州模拟）如图，点A，B，C，D，E在⊙O上， 的度数为60°，则∠B+∠D的度数是（ ）
A．180° B．120° C．100° D．150°
【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接AB，
∵ 为60°
∴∠ABE=30°
∵点A，B，C，D在⊙O上
∴四边形ABCD是圆内接四边形
∴∠ABC+∠ADC=180°
∴∠ABE+∠EBC+∠ADC=180°
∴∠EBC+∠D=180°-∠ABE=180°-30°=150°
故答案为：D.
【分析】连接AB，先求得∠ABE=30°，根据圆内接四边形的性质得出∠ABE+∠EBC+∠ADC=180°，即可求得∠EBC+∠D=150°.
8．（2020·泰安）如图，点A，B的坐标分别为 ，点C为坐标平面内一点， ，点M为线段 的中点，连接 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图所示，取AB的中点N，连接ON，MN，
三角形的三边关系可知OM＜ON+MN，则当ON与MN共线时，OM= ON+MN最大，
∵ ，
则△ABO为等腰直角三角形，
∴AB= ，N为AB的中点，
∴ON= ，
又∵M为AC的中点，
∴MN为△ABC的中位线，BC=1，
则MN= ，
∴OM=ON+MN= ，
∴OM的最大值为
故答案选：B．
【分析】如图所示，取AB的中点N，连接ON，MN，根据三角形的三边关系可知OM＜ON+MN，则当ON与MN共线时，OM= ON+MN最大，再根据等腰直角三角形的性质以及三角形的中位线即可解答．
二、填空题
9．（2023九下·宿迁开学考）如果，那么锐角的度数为 °.
【答案】30
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵，
∴锐角A的度数为30°，
故答案为：30.
【分析】根据特殊锐角三角函数值即可直接得出答案.
10．（2017·宜宾）经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程是 ．
【答案】50（1﹣x）2=32
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：由题意可得，
50（1﹣x）2=32，
故答案为：50（1﹣x）2=32．
【分析】根据某药品经过连续两次降价，销售单价由原来50元降到32元，平均每次降价的百分率为x，可以列出相应的方程即可．
11．（2023九下·宿迁开学考）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1、l2、l3于点A、B、C，直线DF分别交l1、l2、l3于点D、E、F，若AB＝3，BC＝5，则的值为 .
【答案】
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵AB＝3，BC＝5
∴AC=AB+BC=3+5=8
∴
∵l1∥l2∥l3
∴.
故答案为：.
【分析】根据平行线分线段成比例定理得，进而代入计算可得答案.
12．（2020九上·泰州月考）如图，抛物线 与直线 交于 两点，则不等式 的解集是 .
【答案】-1＜x＜2
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A（-1，p），B（2，q）两点，
观察函数图象可知：当-1＜x＜2时，抛物线y=ax2+c在直线y=mx+n的上方，
∴不等式ax2+c＞mx+n的解集为-1＜x＜2，
即不等式ax2-mx+c＞n的解集是-1＜x＜2.
故答案为：-1＜x＜2.
【分析】观察函数图象可知：当-1＜x＜2时，抛物线y=ax2+c在直线y=mx+n的上方，结合不等式即可求解.
13．（2022九上·雁塔月考）已知点M为线段AB的黄金分割点，且，若，则AM= cm．
【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵M是线段AB的黄金分割点（AM＞MB），AB=6cm，
∴cm，
故答案为：.
【分析】根据黄金分割的特点可得，然后将AB=6cm代入进行计算.
14．（2020·北京模拟）如图，边长为1的小正方形网格中，点 均在格点上，半径为2的 与 交于点F，则 ．
【答案】
【知识点】圆周角定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴在 中，
∴ ．
故答案为：
【分析】根据圆周角定理得到 ，根据正方形网格特点和正切函数定义即可求解．
15．（2023九下·宿迁开学考）如图，AB为半圆O的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置，锐角顶点P在半圆上，斜边过点B，一条直角边交该半圆于点Q. 若AB=4，则弧BQ的长为 .
【答案】π
【知识点】圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接AQ，OQ，
∵∠P=45°，
∴∠QOB=2∠P =90°，
∵OA=OB=AB=2，
∴弧BQ的长为.
故答案为： π.
【分析】连接AQ，OQ，根据圆周角定理得∠QOB=90°，进而根据弧长计算公式“”直接计算即可.
16．（2023九下·宿迁开学考）如图，D、E分别是的边上的点，，若，则的值为 .
【答案】
【知识点】三角形的面积；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解∶，
故答案为：.
【分析】根据同高三角形的面积之比等于底之比得BE∶EC=1∶3，推出BE∶BC=1∶4，由DE∥AC可推出△BDE∽△BAC，△DOE∽△AOC，由相似三角形对应边成比例得最后根据相似三角形面积之比等于相似比的平方可得答案.
17．（2023九下·宿迁开学考）如下图，抛物线与x轴交于点下列判断：①；②；③；④.其中判断一定正确的序号是 .
【答案】①②
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向上，与y轴交于y轴负半轴，
∴，
∴，故①正确；
∵抛物线与x轴交于点，
∴，抛物线的对称轴为直线，
∴，，故②正确；
∴，
∴，故③错误；
∵当时，，
∴，故④错误；
∴正确的有①②；
故答案为：①②.
【分析】由抛物线开口向上，与y轴交于y轴负半轴，可得a＞0，c＜0，据此可判断①；根据抛物线与x轴有两个交点可判断②；由抛物线的对称性结合其与x轴两交点的坐标可得对称轴直线为x=2，结合抛物线的对称轴直线公式判断③；由图象可知当x=-2时，y＜0，据此可判断④.
18．（2023九下·宿迁开学考）如图，矩形OABC中，O为坐标原点，点A、点C分别落在x轴、y轴上，点B坐标为（4，6），点D为AB边中点，点E为射线BC上的一个动点，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点B＇，连接OB＇，当OB＇长度最小时点B＇的坐标为 .
【答案】(，)
【知识点】矩形的性质；圆周角定理；点与圆的位置关系；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如下图所示：连接B'B、DB'，
∵△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点B'，
∴BD=B'D，
∴∠1=∠2，
∵D是AB中点，
∴BD=AD，
∴B'D=AD，
∴∠3=∠4，
又∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴2∠2+2∠3=180°，
∴∠AB'B=∠2+∠3=90°，
∴点B'在以AB中点D为圆心，AD=3为半径的半圆上运动，如上图中所示，
只要O、B'、D三点不共线，由三角形两边之差小于第三边可知：OB'＞OD-DB'=5-3=2，
当O、B'、D三点共线时，此时有OB'=OD-DB'=5-3=2，此时OB'最小为2，
过B'作B'H⊥x轴于H，则B'H∥AD，
∴△OB'H∽△ODA，
∴，且，
代入数据：，解得，，
∴的坐标为.
故答案为：.
【分析】由翻折及中点定义得BD=B'D=AD=3，由等边对等角及三角形的内角和定理得∠AB'=90°，故点B'在以AB中点D为圆心，3为半径的半圆上运动，当O、B'、D三点共线时，此时有OB'=OD-DB'=5-3=2，此时OB'最小为2，过B'作B'H⊥x轴于H，则B'H∥AD，推出△OB'H∽△ODA，由相似三角形对应边成比例建立方程，求解可得B'H及OH的长，从而即可得出B'的坐标.
三、解答题
19．（2023九下·宿迁开学考）解方程或计算：
（1）；
（2）
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得
（2）解：原式
【知识点】实数的运算；配方法解一元二次方程；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）利用配方法解方程，首先将常数项移到方程右边，然后配方（方程两边同时加上一次项系数一半的平方“1”），左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项，然后利用直接开平方法求解即可；
（2）先代入特殊锐角三角函数值，同时利用二次根式性质化简并计算乘方，进而合并同类二次根式即可.
20．（2023九下·宿迁开学考）已知如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是斜边上的高，求证：CD2＝AD BD.
【答案】证明：∵CD是斜边AB上的高.
∴∠ADC＝∠CDB＝90°，
又∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°
∴∠A+∠ACD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∴△ACD∽△CBD，
∴，
∴CD2＝AD BD.
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据垂直的定义得∠ADC＝∠CDB＝90°， 根据同角的余角相等得∠A＝∠BCD，由两组角对应相等的两个三角形相似判断出△ACD∽△CBD，根据相似三角形对应边成比例即可得出结论.
21．（2023九下·宿迁开学考）在全运会射击比赛的选拔赛中，运动员甲10次射击成绩的统计表和扇形统计图如下：
命中环数 10 9 8 7
命中次数 ▲ 3 2 ▲
（1）根据统计表(图)中提供的信息，补全统计表及扇形统计图；
（2）已知乙运动员10次射击的平均成绩为9环，方差为1.2，如果只能选一人参加比赛，你认为应该派谁去？并说明理由.
【答案】（1）解：4；1；画图如下：
（2）解：∵甲运动员10次射击的平均成绩为（10×4+9×3+8×2+7×1）÷10=9环，
∴甲运动员10次射击的方差= [（10-9）2×4+（9-9）2×3+（8-9）2×2+（7-9）2]=1，
∵乙运动员10次射击的平均成绩为9环，方差为1.2，大于甲的方差，
∴如果只能选一人参加比赛，认为应该派甲去.
【知识点】统计表；扇形统计图；平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：（1）（1）命中7环的次数为：10×10％=1，命中10环的次数为：10-3-2-1=4，
命中8环所占的百分比为：2÷10×100％=20％，命中10环所占的百分比为：4÷10×100％=40％，
补全统计表如图：
命中环数 10 9 8 7
命中次数 4 3 2 1
故答案为：4，1；
【分析】（1）用射击的总次数乘以命中7次所占的百分比可算出命中7次的次数；用射击的总次数分别减去命中7、8、9环的次数可得命中10环的次数；分别用命中8环及10环的次数除以射击的总次数乘以100％可得命中8环及10环的次数所占的百分比，据此可补全统计图；
（2）求出甲运动员射击10次的平均成绩及差，比较平均数的大小，并结合方差越小成绩越稳定判断得出答案.
22．（2021·江都模拟）九年级某班要召开一次“走近抗疫英雄，讲好中国故事”主题班会活动，李老师制作了编号为A、B、C、D的4张卡片（如图，除编号和内容外，其余完全相同），并将它们背面朝上洗匀后放在桌面上．
（1）小明随机抽取1张卡片，抽到卡片编号为B的概率为 ；
（2）小明从4张卡片中随机抽取1张（不放回），小丽再从余下的3张卡片中随机抽取1张，然后根据抽取的卡片讲述相关英雄的故事，求小明、小丽两人中恰好有一人讲述钟南山抗疫故事的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）．
【答案】（1）
（2）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果数，其中小明、小丽两人中恰好有一人讲述钟南山抗疫故事的有6种结果，
所以小明、小丽两人中恰好有一人讲述钟南山抗疫故事的概率为： ．
【知识点】列表法与树状图法；概率的简单应用
【解析】【解答】解：（1）∵共有4张卡片，
∴小明随机抽取1张卡片，抽到卡片编号为B的概率为 ，
故答案为： ；
【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；（2）根据题意先画树状图列出所有等可能结果数的，根据概率公式求解可得．
23．（2023九下·宿迁开学考）如图，船A、B在东西方向的海岸线上，均收到已触礁搁浅的船P的求救信号，已知船P在船A的北偏东方向上，在船B的北偏西方向上，海里.
（1）求船P到海岸线的距离；
（2）若船A、船B分别以20海里/时、15海里/时的速度同时出发，匀速直线前往救援，试通过计算判断哪艘船先到达船P处.（参考数据：，，）
【答案】（1）解：过点P作垂直于，垂足为E，由题意得，，海里，
在中，海里；
答：船P到海岸线的距离为15海里；
（2）解：在中，海里，，
则海里，
A船需要的时间为：小时，B船需要的时间为：小时，
∵，
∴B船先到达.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】（1） 过点P作PE⊥AB于E， 在Rt△APE中，根据正弦函数的定义，由PE=Apsin∠PAE可求出答案；
（2）在Rt△PBE中，根据正弦函数的定义，由 算出BP的长，进而根据路程除以速度=时间算出A、B两船到达P点需要的时间，再比大小即可.
24．（2023九下·宿迁开学考）如图，在正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格图中进行下列操作：
（1）利用网格确定该圆弧所在圆的圆心D点的位置，则D点坐标为 ；
（2）连接AD、CD，则⊙D的半径为 (结果保留根号)，∠ADC的度数为 ；
（3）若扇形DAC是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面半径.(结果保留根号).
【答案】（1）(2，0)
（2）；90°
（3）解：弧AC的长=π×2=π，
设圆锥底面半径为r则有2πr=π，解得：，
所以圆锥底面半径为.
【知识点】垂径定理的应用；弧长的计算；圆锥的计算；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：（1）如图1，分别作AB、BC的垂直平分线，两线交于点D，
∴D点的坐标为（2，0），
故答案为：（2，0）；
（2）如图2，连接AD、CD，过点C作CE⊥x轴于点E，
则OA=4，OD=2，在Rt△AOD中，可求得AD=2，
即⊙D的半径为2，
且CE=2，DE=4，
∴AO=DE，OD=CE，
在△AOD和△DEC中，
，
∴△AOD≌△DEC（SAS），
∴∠OAD=∠CDE，
∴∠CDE+∠ADO=90°，
∴∠ADC=90°，
故答案为：2；90°；
【分析】（1）根据垂径定理圆心一定在弦的垂直平分线上，故分别作AB、BC的垂直平分线，两线交于点D，进而根据点D的位置读出其坐标；
（2）连接AD、CD，过点C作CE⊥x轴于点E，在Rt△AOD中，直接利用勾股定理可求出圆的半径AD的长；用SAS判断出△AOD≌△DEC根据全等三角形的对应角相等得∠OAD=∠CDE，进而根据等量代换及三角形的内角和定理可得∠CDE+∠ADO=90°，推出∠ADC=90°；
（3）利用弧长公式算出弧AC的长，根据圆锥底面圆的周长等于侧面扇形的弧长列出方程，求解即可.
25．（2023九下·宿迁开学考）如图，已知△ABC，以AC为直径的交AB于点D，点E为的中点，连接CE交AB于点F，且BF＝BC.
（1）判断直线BC与的位置关系，并说明理由；
（2）若的半径为2，，求CE的长.
【答案】（1）解：与相切
证明：连接，
是的直径
，
，
，
，
为弧中点，
，
，
，
为直径，
是的切线.
（2）解：的半径为2，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
设，，
由勾股定理得：，
（负数舍去），
即.
【知识点】圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1） BC与相切 ，理由如下：连接AE，根据直径所对的圆周角是直角得∠E=90°，根据等边对等角得∠BCE=∠BFC，由等弧所对的圆周角相等得∠EAD=∠ACE，结合对顶角相等、三角形的内角和定理及等量代换可得∠ACB=90°，从而根据切线的判定方法得出结论；
（2）根据正弦函数的定义结合 可算出AB的长，用勾股定理算出BC的长，然后判断出△AEF∽△CEA，由相似三角形对应边成比例建立方程可得EC=2EA，设EA=x，EC=2x，在Rt△AEC中，由勾股定理建立方程求解即可.
26．（2023九下·宿迁开学考）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件.
（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式.
（2）若商场要每天获得销售利润2000元，销售单价应定为多少元？
（3）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）解：由题意得，
（2）解：由题意得，
解得或，
∴销售单价应定为30元或40元
（3）解：
，
∵，
∴当时，最大，最大为2250，
∴销售单价为35元时，该文具每天的销售利润最大，最大利润是2250元.
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）每件文具的利润为（x-20）元，每天销售的数量为[250-10(x-25)]件，根据单件文具的利润×销售数量=总利润可建立出w关于x的函数关系式；
（2）将w=2000代入（1）所得函数解析式，求解可得答案；
（3）根据（1）所得函数的性质即可解决问题.
27．（2023九下·宿迁开学考）如图，抛物线y＝ax 2＋bx＋c（a≠0）的顶点坐标为（2，－1），并且与y轴交于点C（0，3），与x轴交于两点A，B.
（1）求抛物线的表达式；
（2）设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，求△ACD的面积；
（3）点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F.问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似.若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：依题意，设抛物线的解析式为，代入C（0，3）后，
得：，解得：a=1，
∴抛物线的解析式：
（2）解：由（1）知，A（1，0）、B（3，0）；
设直线BC的解析式为：y=kx＋3，代入点B的坐标后，得：
3k＋3=0，k= －1，
∴直线BC：y=－x＋3；
由（1）知：抛物线的对称轴：x=2，则 D（2，1）；
∴，，，
即：，△ACD是直角三角形，且AD⊥CD；
∴= AD CD==2；
（3）解：由题意知：EF∥y轴，则∠FED=∠OCB，若△OCB与△FED相似，则有：
①∠DFE=90°，即 DF∥x轴；
将点D纵坐标代入抛物线的解析式中，得：
，解得
当x=2+时，y=－x+3=1－；
当x=2－时，y=－x+3=1+；
∴、；
②∠EDF=90°，
易知，直线AD：y=x－1，联立抛物线的解析式有：
，解得 ；
当x=1时，y=-x+3=2；
当x=4时，y=-x+3=-1；
∴、；
综上，存在符合条件的点E，且坐标为：、、、.
【知识点】相似三角形的性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）此题给出了抛物线的顶点坐标，故设出抛物线的顶点式，再将顶点坐标及点C的坐标代入可算出二次项的系数a的值，从而可求得抛物线的解析式；
（2）令抛物线解析式中的y=0，算出对应的自变量x的值，可得点A、B的坐标；利用待定系数法求出直线BC的解析式，将x=2代入直线BC的解析式算出对应的函数值，可得点D的坐标，根据两点间的距离公式分别算出AD2、AC2、CD2，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACD是直角三角形，且AD⊥CD，从而根据直角三角形面积计算方法算出△ACD的面积；
（3） 由题意知：EF∥y轴，则∠FED=∠OCB，若△OCB与△FED相似，则有： ①∠DFE=90°，即 DF∥x轴； 将点D纵坐标代入抛物线的解析式中 ，算出对应的自变量的值，进而将自变量的值代入直线BC中算出对应的函数值，可得点E的坐标； ②∠EDF=90°， 利用待定系数法求出直线AD的解析式， 联立抛物线的解析式得x2-4x+3=x-1，求解得出x的值，再将x的值代入直线BC的解析式算出对应的函数值可得点E的坐标，综上即可得出答案.
28．（2023九下·宿迁开学考）【问题呈现】如图1，∠AOB=90°， OA=4，OB=5，点P在半径为2的⊙O上，求的最小值.
【问题解决】小明是这样做的：如图2，在OA上取一点C使得OC=1，这样可得，又因为∠COP=∠POA，所以可得△COP ∽△POA，所以，得所以.
又因为，所以最小值为 ▲ .
【思路点拨】小明通过构造相似形（图3），将转化成CP，再利用“两点之间线段”最短”求出CP+ BP的最小值.
【尝试应用】如图4，∠AOB=60°， OA=10，OB=9，点P是半径为6的⊙O上一动点，求的最小值.
【能力提升】如图5，∠ABC=120°， BA= BC=8，点D为平面内一点且BD= 3CD，连接AD，则△ABD面积的最大值为 ▲ .
【答案】解：[问题解决]；
[尝试应用]如图，在OB上取一点C，使OC=6，连接PO，PC，AC
，，
，
，
，，
，
过点C作于D，
sin，
，，
在中，，
最小值为；
[能力提升]
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：[问题解决]如图，在中，，
的最小值为，
故答案为：；
[能力提升]在BC上取一点E，使BE=6，延长BC到F，使BF=12，则CE=2，CF=4，
，，
，
，
连接DE，DF，
由，
点E，F到BD，CD的距离相等，
DE，DF是△BDC的内，外角平分线，
，
点D是平面内任意一点，
点D在以EF为直径的圆O上，
过点O作DG⊥AB交AB的延长线于点G，交圆O于点D，则DG是直线AB到圆上的最大距离，此时△ABD的面积最大，
，EO=3，
在中，，
，
，
，
△ABD面积的最大值为，
故答案为：.
【分析】（1） [问题解决] 在OA上取一点C，使OC=1，则，又∠COP=∠POA，得△COP ∽△POA，则，得，故，又
从而利用勾股定理算出答案；
（2） [尝试应用]如图，在OB上取一点C，使OC=6，连接PO，PC，AC ，利用两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似得△POC∽△BOP，根据相似三角形对应边成比例得 ， 故可得， 过点C作CD⊥OA于D， 由正弦函数定义求的CD的长，在Rt△ACD中，利用勾股定理算出AC的长即可得出答案；
（3） [能力提升] 在BC上取一点E，使BE=6，延长BC到F，使BF=12，则CE=2，CF=4，易得；连接DE，DF，根据同高三角形面积之比等于底之比可得点E，F到BD，CD的距离相等，根据角平分线定理得DE，DF是△BDC的内，外角平分线，则可得∠EDF=90°，根据圆周角定理得点D在以EF为直径的圆O上，过点O作DG⊥AB交AB的延长线于点G，交圆O于点D，则DG是直线AB到圆上的最大距离，此时△ABD的面积最大，在Rt△BOG中，由正弦函数的定义求出OG，最后根据三角形面积计算公式算出△ABD的面积即可.
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