高一数学练习
一．填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分．
1. 已知集合，集合，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据交集的定义求解即可.
【详解】集合，集合，则.
故答案为：
2. 函数的定义域是______．
【答案】；
【解析】
【分析】使对数函数有意义应满足真数恒大于零.
【详解】函数的定义域满足：.
故答案为：.
3. 不等式的解集为________.
【答案】
【解析】
【分析】根据绝对值定义化简求解，即得结果.
【详解】∵
，
∴不等式的解集为.
故答案为：.
【点睛】本题考查解含绝对值不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.
4. 若，则的最小值为___________.
【答案】7
【解析】
【分析】利用基本不等式即可求解.
【详解】因为，所以，
所以，
当且仅当即时等号成立，
所以的最小值为，
故答案为：.
5. 若幂函数的图像过点，则该幂函数的解析式为__________.
【答案】
【解析】
【分析】设幂函数为，代入点计算得到答案.
【详解】设幂函数为代入点，得，故
故答案为
【点睛】本题考查了幂函数的解析式，属于简单题型.
6. 函数的值域为________.
【答案】
【解析】
【分析】根据指数函数的性质确定的范围，进而确定值域即可.
【详解】由指数函数的性质知：，
∴.
故答案为：
7. 已知集合，集合，若命题“”是命题“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据充分不必要条件转化为集合的真包含关系，即可得解.
【详解】因为命题“”是命题“”的充分不必要条件，
所以集合真包含于集合，
又集合，集合，
所以.
故答案为：
8. 在函数 中，若，则的值是
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：因为，所以有三种情况．由x+2=1得，x=-1；由得，x=，只有x=1；由2x=1，得x=，不合题意．综上知，的值是．
考点：本题主要考查分段函数的概念，简单方程求解．
点评：简单题，解方程，需明确具体内容是什么，通过分段讨论，分别解一次方程、二次方程即得．
9. 已知是上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为______．
【答案】；
【解析】
【分析】根据函数解析式先求当时不等式的解，再由奇函数对称性求出时的解，又，综上即可得出不等式解集.
【详解】当时，，解得，
因为是上的奇函数，故图象关于原点对称
所以当时，，
又由是上的奇函数，所以，即，
综上，的解集为.
故答案为：
10. 若关于方程在上有解，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】首先将题意转化为函数与在有交点，即可得到答案.
【详解】方程在上有解，
等价于函数与在有交点，
因为，所以，
所以，解得.
故答案为：
11. 对于，不等式恒成立，则实数的取值范围是______．
【答案】；
【解析】
【分析】首先根据题意得到，将题意转化为，再解不等式即可.
【详解】设，则，
所以时，为减函数，时，，
时，为增函数，所以.
因为不等式恒成立，所以，解得.
故答案为：.
12. 求“方程的解”有如下解题思路：构造函数，其表达式为，易知函数在上是严格减函数，且，故原方程有唯一解．类比上述解题思路，不等式的解集为______．
【答案】．
【解析】
【分析】引入函数，由其单调性解方程．
【详解】设，它在上严格单调递增，
不等式
，即，
所以，得，解得：或，
所以不等式的解集为.
故答案为：
二．选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题答对得3分，否则一律得零分．
13. 已知、、，则“”是“”的（ ）．
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】当时，代入验证不充分，根据不等式性质得到必要性，得到答案.
【详解】若，当时，，故不充分；
若，则，故，必要性.
故“”是“”的必要非充分条件.
故选：B
14. 下列四组函数中，表示相同函数的一组是（ ）．
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】依次判断每个选项中两个函数的定义域和解析式是否完全相同，由此可得结果.
【详解】对于A，与定义域均为，所以，
与为相等函数，A正确；
对于B，定义域为，定义域为，与不是相等函数，B错误；
对于C，定义域为，定义域为，与不是相等函数，C错误；
对于D，定义域为，定义域为，与不是相等函数，D错误.
故选：A.
15. 设为函数的零点,则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据零点存在性定理，计算出区间端点的函数值即可判断.
【详解】解：因为函数是连续函数，且零点为，
； ，
，故函数的零点在区间内，
故选：．
【点睛】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．
16. 已知函数的值域为，关于其定义域，下面说法正确的是（ ）．
A. B. 不可能是无穷多个闭区间的并集
C. 任取中两个元素，乘积一定非负 D. 可能是所有有理数以及负无理数所成集合
【答案】D
【解析】
【分析】对于ABC：找反例即可判断；对于D：所有非正有理数以及负无理数所成集合为,即可判断.
【详解】对于A：取时，函数的值域为，A错误；
对于B：可能是无穷多个闭区间的并集，比如，B错误；
对于C：当函数的值域为，取其定义域，取，则，C错误；
对于D：所有非正有理数以及负无理数所成集合为，此时函数的值域为.而函数在上为偶函数，所以当为正有理数时，函数值大于0，D正确.
故选：D
三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．
17. 已知函数．直接在下表中写出其定义域、值域，指出其在定义域上的单调性、奇偶性，并判断其是否存在零点，若存在零点请写出具体零点（不需要写过程，将答案填在表格中）．
定义域
值域
单调性
奇偶性
零点
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】根据幂函数的图象和性质求解.
【详解】
定义域
值域
单调性 在上严格单调递增
奇偶性 在上是奇函数
零点
故答案为：
定义域
值域
单调性 在上严格单调递增
奇偶性 在上是奇函数
零点
18. （1）已知集合，，求集合B；
（2）已知集合；，，求实数a的取值范围.
【答案】（1）或或或；（2）.
【解析】
【分析】（1）解一元二次方程求集合A，根据有，即可求集合B.
（2）解一元二次不等式可得，结合已知交集的结果可知，即可求范围.
【详解】（1）由题设知：，而，
∴，
∴或或或.
（2）由题设知：，又，，
∴，即.
19. 已知函数，其中．
（1）当时，求该函数在区间上的最大值；
（2）当该函数在区间上是严格增函数时，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）考虑和两种情况，确定函数的单调性，计算最值即可.
（2）考虑和两种情况，根据二次函数的对称性和单调区间得到取值范围.
【小问1详解】
当时，函数在区间上严格递减，所以的最大值是，此时；
当时，对称轴，二次函数开口向下，函数在区间上严格递减，
所以的最大值是，此时.
综上所述：函数在区间上的最大值为.
小问2详解】
当时，函数在上递减，不符合题意；
当时，函数是二次函数，根据二次函数的单调性，要使得函数在上严格递增，
只要，解得，故
综上所述：
20. 碳-14是碳的一种具有放射性的同位素，生物生存时体内的碳-14含量大致不变，生物死亡后，停止新陈代谢，碳-14含量逐渐减少，约经过5730年（半衰期），残存含量为原始含量的一半．考古人员可以透过古生物标本体内的碳-14含量来推测其死亡年份，以此推断与其共存的遗迹距今时间，这就是碳-14测年法．一般地，经过年后，碳-14的残存含量和原始含量之比为，满足函数关系：，其中常数为自然对数的底，称为碳-14衰变常数．
（1）求的值；
（2）通过专业测量，巫山大宁河小三峡悬棺中的某物的碳-14含量约占原始含量的78.13%，请推测悬棺距今多少年？（精确到个位数）
【答案】（1）
（2）2040年
【解析】
【分析】（1）将题目中数据代入函数公式，利用对数的运算性质求解即可；
（2）将代入公式计算即可.
【小问1详解】
函数两边取对数得，
所以.
【小问2详解】
由题意可得，
所以，
即距今2040年．
21. 若两个函数和对任意都有，则称函数和在上是疏远的.
（1）已知命题“函数和在上是疏远的”，试判断该命题的真假.若该命题为真命题，请予以证明；若为假命题，请举反例；
（2）若函数和在上是疏远，求实数的取值范围；
（3）已知常数，若函数与在上是疏远的，求实数的取值范围.
【答案】（1）假命题，反例为当时，；（2）或；（3）.
【解析】
【分析】（1）由命题“函数和在上是疏远的”，则在上恒成立，令，判断是否符合题意即可得出结论；
（2）由（1）知，在上恒成立，即在上恒成立，根据一元二次不等式恒成立即可得解；
（3）根据题意在上恒成立，即，即，
令，判断函数在上的单调性，求得最小值，解不等式即可得解.
【详解】解：（1）由题意可知，命题“函数和在上是疏远的”，则在上恒成立，
即证在上恒成立，
令，故，
又函数的对称轴为，故函数在上递增，
所以，即，并不 恒大于2，
故为假命题，反例为当时，；
（2）由（1）知，在上恒成立，
即上恒成立，
令，则，
所以或，
解得或；
（3）根据题意在上恒成立，
即，
又，所以，故，
令，
取，
则，
因为， ，则，，则，
所以，
所以函数在上递增，
故，解得或，
所以.高一数学练习
一．填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分．
1. 已知集合，集合，则______．
2. 函数的定义域是______．
3. 不等式的解集为________.
4. 若，则的最小值为___________.
5. 若幂函数的图像过点，则该幂函数的解析式为__________.
6. 函数的值域为________.
7. 已知集合，集合，若命题“”是命题“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是______．
8. 在函数 中，若，则的值是
9. 已知是上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为______．
10. 若关于的方程在上有解，则实数的取值范围是______．
11. 对于，不等式恒成立，则实数取值范围是______．
12. 求“方程的解”有如下解题思路：构造函数，其表达式为，易知函数在上是严格减函数，且，故原方程有唯一解．类比上述解题思路，不等式的解集为______．
二．选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题答对得3分，否则一律得零分．
13. 已知、、，则“”是“”（ ）．
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
14. 下列四组函数中，表示相同函数的一组是（ ）．
A. ， B. ，
C. ， D. ，
15. 设为函数的零点,则
A. B. C. D.
16. 已知函数的值域为，关于其定义域，下面说法正确的是（ ）．
A. B. 不可能是无穷多个闭区间的并集
C. 任取中两个元素，乘积一定非负 D. 可能是所有有理数以及负无理数所成集合
三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．
17. 已知函数．直接在下表中写出其定义域、值域，指出其在定义域上的单调性、奇偶性，并判断其是否存在零点，若存在零点请写出具体零点（不需要写过程，将答案填在表格中）．
定义域
值域
单调性
奇偶性
零点
18. （1）已知集合，，求集合B；
（2）已知集合；，，求实数a的取值范围.
19 已知函数，其中．
（1）当时，求该函数在区间上最大值；
（2）当该函数在区间上是严格增函数时，求实数的取值范围．
20. 碳-14是碳的一种具有放射性的同位素，生物生存时体内的碳-14含量大致不变，生物死亡后，停止新陈代谢，碳-14含量逐渐减少，约经过5730年（半衰期），残存含量为原始含量的一半．考古人员可以透过古生物标本体内的碳-14含量来推测其死亡年份，以此推断与其共存的遗迹距今时间，这就是碳-14测年法．一般地，经过年后，碳-14的残存含量和原始含量之比为，满足函数关系：，其中常数为自然对数的底，称为碳-14衰变常数．
（1）求的值；
（2）通过专业测量，巫山大宁河小三峡悬棺中的某物的碳-14含量约占原始含量的78.13%，请推测悬棺距今多少年？（精确到个位数）
21. 若两个函数和对任意都有，则称函数和在上是疏远的.
（1）已知命题“函数和在上是疏远”，试判断该命题的真假.若该命题为真命题，请予以证明；若为假命题，请举反例；
（2）若函数和在上是疏远的，求实数的取值范围；
（3）已知常数，若函数与在上是疏远的，求实数的取值范围.
