广东省珠海市2022-2023学年高二下学期期中模拟数学试题（3月24日）（含答案）

珠海市2022-2023学年高二下学期期中模拟数学试题（3月24日）
考试时间：120分钟
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 设存在导数，且满足，则曲线在处的切线倾斜角为( )
A. B. C. D.
2. 已知数列的前项为：，，，，则数列的通项公式可能为( )
A. B. C. D.
3. 在数列中，，，若，则( )
A. B. C. D.
4. 记为等比数列的前项和．若，，则( )
A. B. C. D.
5. 设数列的各项均为正数，前项和为，，且则等于( )
A. B. C. D.
6. 一质点在单位圆上作匀速圆周运动，其位移满足的方程为，其中表示位移单位：，表示时间单位：，则质点在时的瞬时速度为( )
A. B. C. D.
7. 已知函数的图象如图所示，则函数的图象可能是( )
A. B.
C. D.
8. 函数，当时，有恒成立，则实数的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列各函数的导数，正确的是( )
A. B.
C. D.
10. 为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度与时间的关系为，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如下图所示．则下列的结论正确是( )
A. 在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；
B. 在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同；
C. 在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；
D. 在，两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率不相同．
11. 已知等差数列的前项和为，，，则( )
A. 数列是递减数列 B.
C. 时，的最大值是 D.
12. 已知函数，下列关于的四个命题：
函数在上是增函数； 函数的最小值为；
如果时，，则的最小值为；函数有个零点．
其中真命题有( )
A. B. C. D.
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 用数学归纳法证明，时，第一步应验证不等式为__________．
14. 已知数列的前项和，则数列的通项公式为___________．
15. 函数的单调递减区间为______．
16. 函数在区间上有两个零点，则的取值范围是_________．
四、解题（本大题共6小题，共70.0分。解应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知等比数列中，，且是和的等差中项．
求数列的通项公式；
若数列满足，求数列的前项和
18. 本小题分
已知函数在时取得极值，在点处的切线的斜率为．
求的解析式；
求在区间上的单调区间和最值．
19. 本小题分
若数列的前项和满足．
Ⅰ求证：数列是等比数列；
Ⅱ设，求数列的前项和．
20. 本小题分
已知等差数列的前项和为，数列满足，．
证明：数列是等比数列，并求数列与数列的通项公式；
若，求数列的前项和．
21. 本小题分
已知函数，其中．
若曲线在处的切线与直线平行，求的值；
若函数在定义域内单调递减，求的取值范围．
22. 本小题分
已知函数．
求函数的图象在处的切线方程；
求函数的极值；
若，且对任意恒成立，求的最大值．
珠海市2022-2023学年高二下学期期中模拟数学试题
（3月24日）答案
1.【答案】 【解】由，则，
可得，则曲线在处的切线斜率为，
由为倾斜角，因为，可得，故选B．
2.【答案】 【解】由题意观察数列的前项，分母逐次加，分母应与项数对应，
而分子正负交替出现，故必然为，数列的通项公式可能为，
故选：．
3.【答案】 【解】数列中，，由于：，
故：常数，所以：数列是公差为的等差数列，故：，，所以：，解得：．故选：．
4.【答案】 【解】设等比数列的公比为，
，，
，，，，
，，，故选：．
5.【答案】 【解】由，则，
得，所以是公比为的等比数列，
由，得，所以，所以，则．故选D．
6.【答案】 【解】因为，所以，所以质点在时的瞬时速度为．
7.【答案】 【解】当时，的函数值非负在上，且不恒为，故函数在上单调递增当时，的函数值为负，则，
故函数在上单调递减；当时，的函数值为正，则在上，故在上单调递减，观察各选项D符合题意．
故选D．
8.【答案】 【解】因为，，
所以，令得，
因为该函数在闭区间上连续可导，且极值点处的导数为零，
所以最小值一定在端点处或极值点处取得，
而，，，，
所以该函数的最小值为，
因为恒成立，
只需，
即，即，
解得．
故选：．
9.【答案】
【解】选项：，故A错误；
选项：，故B正确；
选项：，故C正确；
选项：，故D错误．
故选BC．
10.【答案】
【解】选项A，在时刻为两图象的交点，即此时甲、乙两人血管中的药物浓度相同，
故选项A正确；
选项B，甲、乙两人在时刻的切线的斜率不相等，即两人的不相同，
故选项B错误；
选项C，根据平均变化率公式可知，甲、乙两人的平均变化率都是，
故选项C正确；
选项D，在时间段，甲的平均变化率是，
在时间段，甲的平均变化率是，显然不相等，
故选项D正确；
综上所述，选项ACD正确．
故选ACD．
11.【答案】
【解】 设等差数列的公差为，
等差数列的前项和为，，，
，
解得，
，
对于， ，故A错误
对于，，故B正确
对于，，
，
，即，解得，
为正整数，
时，的最大值是，故C正确；
对于，，
，
，，故D错误．
故选：．
12.【答案】
【解】函数，导数为，
可得时，，单调递增，
或，，单调递减，
即有的极小值为，极大值为，
作出函数的图象，如图：
函数在上是增函数，正确；
函数的最小值为，正确；
如果时，，则的最小值为，正确；
函数有个零点，即为，故不正确．
故选ABC．
13.【答案】
【解】用数学归纳法证明时，
第一步应验证不等式为：；
故答案为：．
14.【答案】
【解】由，
当时，．
当时，．
所以．
故答案为．
15.【答案】
【解】函数的定义域为
对函数求导，得，，
令，即，得，或，
又，，
函数的单调增区间为．
故答案为：
16.【答案】
【解】由得，
设，则，
由，解得，此时函数单调递增，
由，解得，此时函数单调递减，
当时，函数取得极小值，同时也是最小值，
当时，，当时，，
要使函数在区间上有两个零点，则．
故答案为．
17.【解】设等比数列公比为，则，
，且是和的等差中项，
，
即，解得，
；
由题意得；
．
18.【解】，
所以．
令，，
当变化时，，的变化情况如下：
单调递减 单调递增
，
在区间上的单调递减区间为，单调递增区间为，
，．
19.【解】证明：当时，由得，，解得；
当时，，则，，
则，即，
数列是为首项，以为公比的等比数列；
解：由数列是以为公比的等比数列，得，则，
，则，
．
20.【解】，
所以数列是公比的等比数列；
，
即，，
设等差数列的公差为，
由，解得，，
所以；
由知，
所以，
，
得
，
所以．
21.【解】因为，
所以，
因为曲线在处的切线与直线平行，
则，解得；
在上是减函数，
对恒成立，
所以，
令，
则由得，
当时，，
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
故只需，
故的取值范围是．
22.【解】因为，
所以定义域为，且，
所以，又，
所以函数的图象在处的切线方程；
因为，
令，得；
令，得；
所以的递增区间为，的递减区间为．
所以当时，函数取极小值，
极小值为，无极大值；
由知，，所以对任意恒成立，
即对任意恒成立．
令，
则，
令，
则，
所以函数在上单调递增．
因为，，
所以方程在上存在唯一实根，
当时，，即，
当时，，即，
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
所以．
所以．
故整数的最大值是．