第十九章 一次函数单元测试卷（标准难度 含答案）

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人教版初中数学八年级下册第十九章《一次函数》单元测试卷（标准难度）（含答案解析）
考试范围：第十九章；考试时间：120分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图，将一圆柱形水杯杯底固定在大圆柱形容器底面中央，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，则水杯内水面的高度单位：与注水时间单位：的函数图象大致为( )
A. B.
C. D.
2. 如图，一个函数的图象由射线、线段、射线组成，其中点，，，，则下列表述正确的是( )
A. 当时，随的增大而增大 B. 当时，随的增大而减小
C. 当时，随的增大而增大 D. 当时，随的增大而减小
3. 如图，在长方形中，，，是上的动点，且不与点，重合，设，梯形的面积为，则与之间的函数关系式和自变量的取值范围分别是( )
A. ； B. ；
C. ； D. ；
4. 根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的值是，则输出的值是，若输入的值是，则输出的值是( )
A. B. C. D.
5. 若，则一次函数的图象大致是( )
A. B. C. D.
6. 清明节期间，小海自驾去某地祭祖，如图是他们汽车行驶的路程千米与汽车行驶时间小时之间的函数图象汽车行驶小时到达目的地，这时汽车行驶了______千米( )
A. B. C. D.
7. 如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为( )
A.
B.
C.
D.
8. 某通讯公司就上宽带网推出，，三种月收费方式．这三种收费方式每月所需的费用元与上网时间的函数关系如图所示，则下列判断错误的是( )
A. 每月上网时间不足时，选择方式最省钱
B. 每月上网费用为元时，方式可上网的时间比方式多
C. 每月上网时间为时，选择方式最省钱
D. 每月上网时间超过时，选择方式最省钱
9. 某公司准备与汽车租赁公司签订租车合同，以每月用车路程计算，甲汽车租赁公司每月收取的租赁费为元，乙汽车租赁公司每月收取的租赁费为元若，与之间的函数关系如图所示，其中对应的函数值为月固定租赁费，则下列判断错误的是( )
A. 当月用车路程为时，两家汽车租赁公司租赁费用相同
B. 当月用车路程为时，租赁乙汽车租赁公司的车比较合算
C. 除去月固定租赁费，甲租赁公司每公里收取的费用比乙租赁公司多
D. 甲租赁公司平均每公里收取的费用比乙租赁公司少
10. 如图，把放在直角坐标系内，其中，点，的坐标分别为，，将沿轴向右平移，当点落在直线时，线段扫过的面积为( )
A. B. C. D.
11. 一次函数和的图象如图所示，其交点为，则不等式的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
12. 小明和爸爸从家步行去公园，爸爸先出发一直匀速前行，小明后出发，家到公园的距离为，如图是小明和爸爸所走的路程与步行时间的函数图象．
小明所走路程与时间的函数关系式为：；
小明出发分钟时与爸爸第三次相遇；
在速度都不变的情况下，小明希望比爸爸早到达公园，则小明在步行过程中停留的时间需减少分钟．
以上说法中，正确的个数有( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13. 设是轴正半轴上的一个动点，它与轴上表示的点的距离为，则关于的函数解析式为______．
14. 函数中，自变量的取值范围是______．
15. 从地向地打长途电话，通话分钟以内含分钟收费元，分钟后每增加通话时间分钟加收元，某人一次通话分钟应缴的话费是 元；如果有元话费打一次电话最多可以通话 分钟．
16. 一次函数中，当时，可以消去，求出结合一次函数图象可知，无论取何值，一次函数的图象一定过定点，则定义像这样的一次函数图象为“点旋转直线”若一次函数的图象为“点旋转直线”，那么它的图象一定经过点 ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
我市为了提倡节约，用水吨，自来水收费实行阶梯水价元，收费标准如下表所示：
月用水量吨 不超过吨的部分 超过吨不超过吨的部分 超过吨的部分
收费标准元吨
___________是因变量．
若用水量达到吨，则需要交水费_____________元．
用户月份交水费元，则所用水为________吨．
当时，与的关系式是_______________．
18. 本小题分
如图，在正方形中，，点是边上的任意一点不与、重合，将沿翻折至，延长交边于点，连接．
求证：≌
若设，，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
连接，若，求的长．
19. 本小题分
已知直线经过点，．
求直线的解析式；
若直线与直线相交于点，求点的坐标；
根据图象，写出关于的不等式的解集．
20. 本小题分
若直线，，则称直线为这两条直线的友好直线．
直线与的友好直线为______．
已知直线是直线与的友好直线，且直线经过第一、三、四象限．
求的取值范围；
若直线经过点，求的值．
21. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线：相交于点．
求直线的表达式；
直线与轴交于点，求的面积．
若，直接写出的取值范围．
22. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，并分别与轴相交于点、．
求交点的坐标；
求的面积；
请把图象中直线在直线上方的部分描黑加粗，并写出此时自变量的取值范围．
23. 本小题分
如图，一次函数的图象分别与轴和轴交于，两点，且与正比例函数的图象交于点．
求的值；
求正比例函数的表达式；
点是一次函数图象上的一点，且的面积是，求点的坐标；
在轴上是否存在点，使的值最小？若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由．
24. 本小题分
为了鼓励居民节约用水，某市采用“阶梯水价”的方法按月计算每户家庭的水费：每月用水量不超过吨时，按每吨元计费；每月用水量超过吨时，其中的吨仍按每吨元计费，超过部分按每吨元计费，设每户家庭每月用水量为吨时，应交水费元．
分别求出和时，与之间的函数表达式
小颖家四月份、五月份分别交水费元、元，问小颖家五月份比四月份节约用水多少吨
25. 本小题分
某地区以移动互联和大数据技术支持智慧课堂，实现学生的自主、个性和多元学习，全区学生逐步实现上课全部使用平板电脑．某公司根据市场需求代理甲，乙两种型号的平板，每台甲型平板比每台乙型平板进价多元，用万元购进甲型平板与用万元购进乙型平板的数量相等．
求每台甲型、乙型平板的进价各是多少元？
若该公司预备资金为万元．现计划购进甲，乙两种型号的平板共台进行试销，其中甲型平板为台，并且甲型平板不少于乙型平板的倍，试销时甲型平板每台售价元，乙型平板每台售价元，问该公司有几种进货方案？哪种方案在销售完后获得的利润最大，最大利润是多少？
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：当注入大圆柱形容器的水面高度到达小水杯的高度前，水杯内水面的高度为，故选项A、不合题意；
当注入大圆柱形容器的水面高度到达小水杯的高后，水杯内水面的高度逐渐增大，当水杯内水面的高度达到水杯高度时，水杯内水面的高度不再增加，故选项B符合题意，选项D不合题意．
故选：．
根据注水情况分析即可得到函数的图象．
本题考查了函数的图象．正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，能够判断出函数随自变量的增大，是增大还是减小的，是解答本题的关键．
2.【答案】
【解析】解：由函数图象可得，
当时，随的增大而减小，故选项A错误，选项B正确，
当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，故选项C、D错误，
故选：．
根据函数图象和题目中的条件，可以写出各段中函数图象的变化情况，从而可以解答本题．
本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
3.【答案】
【解析】解：，
，
，
是上的动点，且不与点，重合，
，
故选A．
根据可得，再根据梯形的面积公式代入相应数值进行计算，再据此写出自变量得取值范围即可．
此题主要考查了根据实际问题列函数关系式和函数自变量得取值范围，关键是掌握梯形的面积公式．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数值；熟练掌握函数值的求法是解题的关键．
将代入中求出，再将代入中即可求解．
【解答】
解：当时，，
，
当时，，
故选：．
5.【答案】
【解析】解：一次函数中，，
一次函数的图象经过一、二、四象限，
故选：．
根据一次函数的、的符号确定其经过的象限即可确定答案．
主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．
一次函数的图象有四种情况：
当，，函数的图象经过第一、二、三象限；
当，，函数的图象经过第一、三、四象限；
当，时，函数的图象经过第一、二、四象限；
当，时，函数的图象经过第二、三、四象限．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了一次函数的应用，利用了待定系数法求一次函数解析式．根据待定系数法，可得一次函数解析式，根据自变量的值，可得相应的函数值．
【解答】
解：如图所示：
设段的函数解析式是，
的图象过，，
，解得
段函数的解析式是，
汽车行驶小时到达目的地，
千米，
即这时汽车行驶了千米．
故选C．

7.【答案】
【解析】解：根据图象，可知不等式的解集为，
故选：．
根据一次函数的图象即可确定不等式的解集．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，熟练掌握一次函数的图象是解题的关键．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了函数的图象、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，观察函数图象，利用一次函数的有关知识逐一分析四个选项的正误是解题的关键．
A.观察函数图象，可得出：每月上网时间不足 时，选择方式最省钱，结论A正确；
B.观察函数图象，可得出：当每月上网费用元时，方式可上网的时间比方式多，结论B正确；
C.利用待定系数法求出：当时，与之间的函数关系式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出当时的值，将其与比较后即可得出结论C正确；
D.利用待定系数法求出：当时，与之间的函数关系式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出当时的值，将其与比较后即可得出结论D错误．
综上即可得出结论．
【解答】
解：观察函数图象，可知：每月上网时间不足 时，选择方式最省钱，结论A正确；
B.观察函数图象，可知：当每月上网费用元时，方式可上网的时间比方式多，结论B正确；
C.设当时，，
将、代入，得：
，解得：，
，
当时，，
每月上网时间为时，选择方式最省钱，结论C正确；
D.设当时，，
将、代入，得：
，解得：，
，
当时，，
结论D错误．
故选：．
9.【答案】
【解析】略
10.【答案】
【解析】解：如图所示．
点，的坐标分别为，，，
，，
．
．
点在直线上，
，解得．
．
．
．
线段扫过的面积为．
故选C．
11.【答案】
【解析】解：由函数图象可知，当时，一次函数的图象在函数的图象的上方，
不等式的解集为，
在数轴上表示为：．
故选：．
12.【答案】
【解析】解：设小明所走路程与时间的函数关系式为，
当时，将点、代入，
得：，解得：，
；
当时，；
当时，将、代入，
得：，解得：，
．
综上所述：小明所走路程与时间的函数关系式为，故正确；
设小明的爸爸所走的路程与步行时间的函数关系式为：，
则，
解得，，
则小明的爸爸所走的路程与步行时间的关系式为：，
当，即时，小明与爸爸第三次相遇，故正确；
，
解得，，
则小明的爸爸到达公园需要，
小明到达公园需要的时间是，
小明希望比爸爸早到达公园，则小明在步行过程中停留的时间需减少，故正确．
故选：．
根据函数图形得到、、时，小明所走路程与时间的函数关系式；
利用待定系数法求出小明的爸爸所走的路程与步行时间的函数关系式，列出二元一次方程组解答即可；
分别计算出小明的爸爸到达公园需要的时间、小明到达公园需要的时间，计算即可．
本题考查的是一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数解析式、读懂函数图象是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：由题意得，，
是轴正半轴上的一个动点，
，
，
．
故答案为：．
根据数轴上两点间的距离，列式整理即可得解．
本题考查列函数关系式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
14.【答案】
【解析】解：依题意，得
解得：．
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于，分母不等于，列不等式组求解．
本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为；二次根式的被开方数是非负数．注意二次根式也在分母上时，被开方数应大于；两个解集，同大取大．
15.【答案】

【解析】解：由题意可知所收费用与通话时间的函数关系式为：为正整数，
当时，．
令，，解得，
为正整数
故答案为：，．
先列出收费用与通话时间的函数关系式，根据题中给出的条件求出所属范围，然后解答即可．
本题主要考查了一次函数的实际应用和分段函数，解答一次函数的应用问题中，要注意自变量的取值范围还必须使实际问题有意义，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：一次函数整理为的形式，
令，则，
，
无论取何值，它的图象一定经过点．
故答案为：．
把一次函数整理为的形式，再令，求出的值即可；
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
17.【答案】收费标准；
；
；
．
【解析】
【分析】
此题主要考查了函数变量之间的关系，分段函数，一元一次方程的应用以及列代数式，正确利用分段表示出水费的总额是解题关键．
根据题意即可解答；
首先得出吨，应分两段交费，再利用已知表格中数据求出答案；
利用五月份交水费元，可以判断得出应分段交费，再利用已知表格中数据得出等式求出答案；
当时，根据表格即可列出关系式．
【解答】
解：根据题意可知用水量是自变量，收费标准是因变量；
故答案是收费标准；
，
元，
答：四月份用水量为吨，需交水费为元；
故答案为；
根据题意可知用水量是吨，水费元；
用水量吨，需交水费元；
所以月份交水费元，用水量一定大于吨．
设五月份所用水量为吨，依据题意可得：
，
解得：．
答：五月份所有水量为吨；
故答案为；
当时，
；
故答案为．
18.【答案】解：证明：四边形为正方形，
，，
沿翻折至，
，，
，
在和中
≌；
≌，≌，
，，
，
，
，
，，
，，，
在中，，
，
；
，
，，
≌，
，
，
，
，解得，
把代入得，解得，
．
【解析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质、平行线的性质，勾股定理以及折叠的性质，根据正方形的性质得到，，再根据折叠的性质得到，，则，根据三角形全等的判定方法即可得到≌
有的结论得到，，，则，，，在中利用勾股定理得到，整理求解即可；
由，根据平行线的性质得，，又由≌得到，则，于是有，即，解得，然后把代入即可求出．
19.【答案】解：把点，代入，
得，解得，
直线的解析式为：；
直线与直线相交于点，
，解得，
点；
根据图象可得关于的不等式的解集．
【解析】利用待定系数法求出直线的解析式；
解方程组求出点的坐标；
利用数形结合思想解答．
本题考查的是一次函数与一元一次不等式的关系，掌握待定系数法求一次函数解析式的一般步骤、灵活运用数形结合思想是解题的关键．
20.【答案】解：；
直线是直线与的友好直线，
直线的解析式为：，
直线经过第一、三、四象限，
，
解得；
直线经过点，
，
．
【解析】
【分析】
本题考查一次函数的性质，解题的关键是熟练运用一次函数的性质，本题属于基础题型．
根据“友好直线”的定义解答即可；
根据直线经过第一、三、四象限可得，，据此解答即可；
把点的坐标代入解析式即可求出的值．
【解答】
解：直线与的友好直线为：，
故答案为：；
见答案．
21.【答案】解：将代入得：，
解得，
所以，
设直线的表达式为，将、代入得：，
解得，
所以直线的表达式为；
在中，令得，
所以，
所以，
所以的面积；

【解析】将代入可得，从而得到，再用待定系数法即可得直线的表达式为；
在中，令得，即得，然后利用计算即可；
根据图形即可求得．
本题考查待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积，数形结合是解题的关键．
见答案
观察图象，当时，，
所以若，的取值范围是．
22.【答案】解：由，解得，
；
直线与直线中，令，则，，
解得与，
，，
，
；
如图所示：
自变量的取值范围是．
【解析】联立解析式，解方程组即可求得交点的坐标；
求得、的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可；
根据图象求得即可．
本题考查了两条直线平行或相交问题，两条直线的交点坐标是两条直线的解析式构成的方程组的解．
23.【答案】解：因为点在一次函数的图象上，
所以，
因为正比例函数图象经过点，
所以，，所以，，
所以，；
对于，令得，，
所以，点的坐标为，所以，，
设点的坐标为，
所以，，
所以，
当时，，所以，点的坐标为
当时，，所以，点的坐标为，
故D的坐标为或；
存在，由对称性可知，点关于轴对称的点的坐标为
设经过点、点的直线关系式为，
所以，，所以，
所以，直线的关系式为，
对于，，令，得，
所以，点．
【解析】把点代入解析式即可求得；
利用待定系数法即可求得；
根据三角形面积求得点到轴的距离，即可求得的纵坐标，代入即可求得横坐标；
由对称性可知，点关于轴对称的点的坐标为，连接与轴的交点即为所求点，利用待定系数法求解即可．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，函数图象交点坐标以及轴对称最短路径问题等知识，难度适中．
24.【答案】解：当时，与之间的函数表达式为；
当时，与之间的函数表达式为．
综上所述，
答：当时，与之间的函数表达式为，
当时，与之间的函数表达式为．
当时，
由知，
当时，
由知，即
当时，因为，
所以此时把代入
得，
整理得，
解得，
即小颖家四月份用水吨．
当时，因为，
所以此时把代入
得，
解得．
即小颖家五月份用水吨．
吨，
答：小颖家五月份比四月份节约用水吨．
【解析】本题主要考查一次函数的模型和一次函数的应用．
根据用水量与每吨水的价格即可求得和时，与之间的函数表达式．
根据中求得的解析式可分别求出小颖家四月份、五月份用水的吨数，从而求出小颖家五月份比四月份节约用水的吨数．
25.【答案】解：设每台乙型平板进价是元，则每台甲型平板的进价是元，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
则．
答：每台甲型平板的进价是元，每台乙型平板的进价是元．
该公司计划购进甲，乙两种型号的平板共台进行试销，其中甲型平板为台，
则购进乙种型号的平板台，
购买资金不超过万元，并且甲型平板不少于乙型平板的倍，
，
解得：，
为整数，
的值为或或，
该公司有种进货方案：
购进甲型平板台，乙型平板台；
购进甲型平板台，乙型平板台；
购进甲型平板台，乙型平板台；
设利润为，
依题意，得：，
，
随的增大而减小，
方案购进甲型平板台，乙型平板台时的利润最大元，
答：该公司有种进货方案，购进甲型平板台，乙型平板台时的利润最大为元．
【解析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一次函数解析式．
设每台乙型平板进价是元，则每台甲型平板的进价是元，由题意：用万元购进甲型平板与用万元购进乙型平板的数量相等．列出分式方程，解方程即可；
由题意：购买资金不超过万元，并且甲型平板不少于乙型平板的倍，列出一元一次不等式组，解得，再由为整数得该公司有种进货方案，然后由一次函数的性质即可得出的最大值．
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