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第七章 平面直角坐标系
7.2.2 用坐标表示平移
一、温故知新（导）
在平面直角坐标系中，对一个图形进行平移，图形上点的位置发生变化，坐标也发生变化.这就是今天我们要学的内容，下面我们来看看今天的学习目标和重难点。
学习目标
1、掌握平面直角坐标系中的点或图形平移引起的点的坐标的变化规律;
2、体会平面直角坐标系是数与形之间的桥梁，感受代数与几何的相互转化，初步建立空间概念.
学习重难点
重点：掌握坐标变化与图形平移的关系.
难点：探索坐标变化与图形平移的关系.
二、自我挑战（思）
1、如图7.2-4，在平面直角坐标系中有A、B、C三点，请你分别将这三点向左、向右、向上、向下平移，观察它们的坐标是否按一定的规律变化呢？
图7.2-4
（1）将图7.2-4中点A（-4,3）、B（-2，-3）、C（2,1）向右平移5个单位长度，分别得到A1、B1、C1，在图上标出这些个点，并写出它们的坐标，.观察坐标的变化，你能从中发现什么规律吗？
（2）将图7.2-4中点A（-4,3）、B（-2，-3）、C（2,1）向左平移2个单位长度，分别得到A2、B2、C2，在图上标出这些个点，并写出它们的坐标，.观察坐标的变化，你能从中发现什么规律吗？
（3）将图7.2-4中点A（-4,3）、B（-2，-3）、C（2,1）向上平移3个单位长度，分别得到A3、B3、C3，在图上标出这些个点，并写出它们的坐标，.观察坐标的变化，你能从中发现什么规律吗？
（4）将图7.2-4中点A（-4,3）、B（-2，-3）、C（2,1）向下平移2个单位长度，分别得到A4、B4、C4，在图上标出这些个点，并写出它们的坐标，.观察坐标的变化，你能从中发现什么规律吗？
归纳：一般地，在平面直角坐标系中，将点(x，y)向右(或左)平移 a 个单位长度，可以得到对应点( ， )(或( ，____))；将点(x，y)向上(或下)平移 b 个单位长度，可以得到对应点( ， )(或( ， )).
简单来说：左右移动改变点的 坐标， 不变；上下移动改变点的 坐标，
坐标不变．
2、如图7.2-9，正方形ABCD四个顶点的坐标分别是A(-2，4)，B(-2，3)，C(-1，3)，D(-1，4)，将正方形ABCD向下平移7个单位长度，再向右平移8个单位长度，两次平移后四个顶点相应变为点E，F，G，H，它们的坐标分别是什么？如果直接平移正方形ABCD，使点A移到点E，它和我们前面得到的正方形的位置相同吗？
图7.2-9 图7.2-10
归纳：一般地，将一个图形依次沿 所得到的图形，可以通过
作一次平移得到.
三、互动质疑（议、展）
1、对一个图形进行 ，这个图形上 都要发生相应的变化；反过来，从 的某种变化，我们也可以看出对这个 进行了怎样的 .
2、实例：
例 如图7.2-11，三角形ABC三个顶点的坐标分别是A(4，3)，B(3，1)，C(1，2).
(1)将三角形ABC三个顶点的横坐标都减去6，纵坐标不变，分别得到点A1、B1、C1，依次连接A1、B1、C1，所得三角形A1B1C1与三角形ABC的大小、形状和位置上有什么关系？
将三角形ABC三个顶点的纵坐标都减去5，横坐标不变，分别得到点A2、B2、C2，依次连接A2、B2、C2，所得三角形A2B2C2与三角形ABC的大小、形状和位置上有什么关系？
图7.2-11 图7.2-12
3、思考：(1)如果将这个问题中的“横坐标都减去6”，“纵坐标都减去5”相应地变为“横坐标都加3”，“纵坐标都加2”，分别能得到什么结论？画出得到的图形.
(2)如果将三角形ABC三个顶点的横坐标都减去6，同时纵坐标都减去5，能得到什么结论？画出得到的图形.
四、清点战果（评）
今天你是否完成了学习目标？你的困惑解决了没？
五、一战成名（检）
1、在直角坐标系中，点P（-2，3）向右平移4个单位长度后的坐标为（ ）
A．（-6，3） B．（2，3） C．（-2，-1） D．（-2，7）
2、在平面直角坐标系中，将点P（1，1）向左平移2个单位长度，所得点的坐标是（ ）
A．（3，1） B．（1，3） C．（1，-1） D．（-1，1）
3、将直角坐标系中的点（-2，-5）向上平移6个单位，再向右平移3个单位后的点的坐标为（ ）
A．（4，-2） B．（1，1） C．（-5，6） D．（4，-8）
4、将点P（m+2，2m+4）向右平移1个单位得到点B，且点B在y轴上，那么点B的坐标为 ．
5、如图，线段AB在平面直角坐标系中，点A和B的坐标依次为（1，0），（4，2），如果把线段AB在平面直角坐标系中平移得到线段A′B′，点A的对应点A′的坐标是（-3，3），则点B的对应点B'的坐标是 ．
6、△ABC与△A'B'C'在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）分别写出下列各点的坐标：A ，A' ；
（2）若点P（x,y）是△ABC内部一点，则△A'B'C'内部的对应点P'的坐标为 ；
（3）△A'B'C'是由△ABC经过怎样的平移得到的？
六、用
（一）必做题
1、在平面直角坐标系中，把点（2，3）向上平移1个单位，再向左平移2个单位，得到的点的坐标是（ ）
A．（3，1） B．（0，4） C．（4，4） D.（1，1）
2、在平面直角坐标系中，将点A（-2，-3）向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度得到点B，则点B的坐标为（ ）
A．（0，-3） B．（-4，-7） C．（4，-3） D．（0，-7）
3、如图：A（1，0），B（0，2），若将线段AB平移至A1B1，则5a-b的值为（ ）
A．6 B．8 C．-8 D．10
4、如图．平面直角坐标系中，线段AB端点坐标分别为A（-5，0），B（0，-3），若将线段AB平移至线段A1B1，且A1（-3，m），B1（2，1），则m的值为 ．
5、如图，△A1B1C1是由△ABC平移后得到的．已知△ABC三顶点的坐标分别为A（-2，3），B（-4，-1），C（2，0），在△ABC中任一点P（x0，y0）经平移后得△A1B1C1中对应点P1（x0+5，y0+3）．
（1）△ABC是怎样平移得到△A1B1C1的？
（2）分别直接写出△A1B1C1三个顶点A1，B1，C1的坐标．
（二）选做题
6、如图，先将三角形ABC向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到三角形A1B1C1．
（1）请写出A、B、C的坐标；
（2）皮克定理：计算点阵中顶点在格点上的多边形面积公式：s=a+b÷2-1，其中a表示多边形内部的点数，b表示多边形边界上的点数，s表示多边形的面积．若用皮克定理求A1B1C1三角形的面积，则a= ，b= ，s△A1B1C1= ．
7、如图，在平面直角坐标系中，设一点M自P0（1，0）处向上运动1个单位长度至P1（1，1），然后向左运动2个单位长度至P2处，再向下运动3个单位长度至P3处，再向右运动4个单位长度至P4处，再向上运动5个单位长度至P5处，…，如此继续运动下去，设Pn（xn，yn），n=1，2，3，…．
（1）分别计算x1+x2+x3+x4和y5+y6+y7+y8的值．
（2）计算x1+x2+…+x2023+x2024的值．
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第七章 平面直角坐标系
7.2.2 用坐标表示平移
一、温故知新（导）
在平面直角坐标系中，对一个图形进行平移，图形上点的位置发生变化，坐标也发生变化.这就是今天我们要学的内容，下面我们来看看今天的学习目标和重难点。
学习目标
1、掌握平面直角坐标系中的点或图形平移引起的点的坐标的变化规律;
2、体会平面直角坐标系是数与形之间的桥梁，感受代数与几何的相互转化，初步建立空间概念.
学习重难点
重点：掌握坐标变化与图形平移的关系.
难点：探索坐标变化与图形平移的关系.
二、自我挑战（思）
1、如图7.2-4，在平面直角坐标系中有A、B、C三点，请你分别将这三点向左、向右、向上、向下平移，观察它们的坐标是否按一定的规律变化呢？
图7.2-4
（1）将图7.2-4中点A（-4,3）、B（-2，-3）、C（2,1）向右平移5个单位长度，分别得到A1、B1、C1，在图上标出这些个点，并写出它们的坐标，.观察坐标的变化，你能从中发现什么规律吗？
解：如图7.2-5，
图7.2-5
A(-4，3)→ A1( 1 ， 3 )；
B(-2，-3)→B1( 3 ， -3 )；
C(2，1)→C1( 5 ， 1 ).
规律：横坐标 增加5 个单位， 纵坐标不变.
（2）将图7.2-4中点A（-4,3）、B（-2，-3）、C（2,1）向左平移2个单位长度，分别得到A2、B2、C2，在图上标出这些个点，并写出它们的坐标，.观察坐标的变化，你能从中发现什么规律吗？
解：如图7.2-6，
图7.2-6
A(-4，3)→ A2( -6 ， 3 )；
B(-2，-3)→B2( -4 ， -3 )；
C(2，1)→C2( 0 ， 1 ).
规律：横坐标 减少2 个单位， 纵坐标不变 .
（3）将图7.2-4中点A（-4,3）、B（-2，-3）、C（2,1）向上平移3个单位长度，分别得到A3、B3、C3，在图上标出这些个点，并写出它们的坐标，.观察坐标的变化，你能从中发现什么规律吗？
解：如图7.2-7，
图7.2-7
A(-4，3)→ A3( -4 ， 6 )；
B(-2，-3)→B3( -2 ， 0 )；
C(2，1)→C3 ( 2 ， 4 ).
规律：横坐标不变，纵坐标增加3个单位.
（4）将图7.2-4中点A（-4,3）、B（-2，-3）、C（2,1）向下平移2个单位长度，分别得到A4、B4、C4，在图上标出这些个点，并写出它们的坐标，.观察坐标的变化，你能从中发现什么规律吗？
解：如图7.2-8，
图7.2-8
A(-4，3)→ A4( -4 ， 1 )；
B(-2，-3)→B4( -2 ， -5 )；
C(2，1)→C4( 2 ， -1 ).
规律：横坐标不变， 纵坐标减少2个单位.
归纳：一般地，在平面直角坐标系中，将点(x，y)向右(或左)平移 a 个单位长度，可以得到对应点( x+a ， y )(或( x-a ，__y__))；将点(x，y)向上(或下)平移 b 个单位长度，可以得到对应点( x ， y+b )(或( x ， y-b )).
简单来说：左右移动改变点的 横 坐标， 纵坐标 不变；上下移动改变点的 纵 坐标， 横 坐标不变．
2、如图7.2-9，正方形ABCD四个顶点的坐标分别是A(-2，4)，B(-2，3)，C(-1，3)，D(-1，4)，将正方形ABCD向下平移7个单位长度，再向右平移8个单位长度，两次平移后四个顶点相应变为点E，F，G，H，它们的坐标分别是什么？如果直接平移正方形ABCD，使点A移到点E，它和我们前面得到的正方形的位置相同吗？
图7.2-9 图7.2-10
A(-2，4)，B(-2，3)，C(-1，3)，D(-1，4)，将正方形ABCD向下平移7个单位长度后，坐标分别为：(-2，-3)，(-2，-4)，C(-1，-4)，D(-1，-3)；再向右平移8个单位长度，坐标分别为：
E（6，-3）、F（6，-4）、G（7，-4）、H（7，-3）.
直接平移正方形ABCD，使点A移到点E，它和我们前面得到的正方形的位置相同.
归纳：一般地，将一个图形依次沿两个坐标轴方向平移所得到的图形，可以通过将原来的图形作一次平移得到.
三、互动质疑（议、展）
1、对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来，从图形上的点的坐标的某种变化，我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移.
2、实例：
例 如图7.2-11，三角形ABC三个顶点的坐标分别是A(4，3)，B(3，1)，C(1，2).
(1)将三角形ABC三个顶点的横坐标都减去6，纵坐标不变，分别得到点A1、B1、C1，依次连接A1、B1、C1，所得三角形A1B1C1与三角形ABC的大小、形状和位置上有什么关系？
将三角形ABC三个顶点的纵坐标都减去5，横坐标不变，分别得到点A2、B2、C2，依次连接A2、B2、C2，所得三角形A2B2C2与三角形ABC的大小、形状和位置上有什么关系？
图7.2-11 图7.2-12
解：如图7.2-12，
（1）所得三角形A1B1C1与三角形ABC的大小、形状完全相同，三角形A1B1C1可以看作将三角形ABC向左平移6个单位长度得到.
（2）所得三角形A2B2C2与三角形ABC的大小、形状完全相同，三角形A2B2C2可以看作将三角形ABC向下平移5个单位长度得到.
3、思考：(1)如果将这个问题中的“横坐标都减去6”，“纵坐标都减去5”相应地变为“横坐标都加3”，“纵坐标都加2”，分别能得到什么结论？画出得到的图形.
(2)如果将三角形ABC三个顶点的横坐标都减去6，同时纵坐标都减去5，能得到什么结论？画出得到的图形.
（1）如图7.2-13
图7.2-13
（2）如图7.2-14，
图7.2-14
【结论】一般地，在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都 加 (或 减 )一个正数a，相应的新图形就是把原图形 向右 (或 向左 )平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都 加 (或 减 )一个正数a，相应的新图形就是把原图形 向上 (或 向下 )平移a个单位长度.
四、清点战果（评）
今天你是否完成了学习目标？你的困惑解决了没？
五、一战成名（检）
1、在直角坐标系中，点P（-2，3）向右平移4个单位长度后的坐标为（ ）
A．（-6，3） B．（2，3） C．（-2，-1） D．（-2，7）
1、解：点P（-2，3）向右平移4个单位长度后的坐标是（-2+4，3），
即（2，3）．
故选：B．
2、在平面直角坐标系中，将点P（1，1）向左平移2个单位长度，所得点的坐标是（ ）
A．（3，1） B．（1，3） C．（1，-1） D．（-1，1）
2、解：将点P（1，1）向左平移2个单位长度，所得点的纵坐标不变，横坐标-2，
所以所得到的点坐标为（-1，1），
故选：D．
3、将直角坐标系中的点（-2，-5）向上平移6个单位，再向右平移3个单位后的点的坐标为（ ）
A．（4，-2） B．（1，1） C．（-5，6） D．（4，-8）
3、解：根据题意得，-2+3=1，-5+6=1，
故平移后的点的坐标是（1，1）．
故选：B．
4、将点P（m+2，2m+4）向右平移1个单位得到点B，且点B在y轴上，那么点B的坐标为 ．
4、解：将点P（m+2，2m+4）向右平移1个单位长度后点B的坐标为（m+3，2m+4），
∵点B（m+3，2m+4）在y轴上，
∴m+3=0，即m=-3，
∴2m+4=-6+4=-2
∴点B的坐标为（0，-2），
故答案为：（0，-2）．
5、如图，线段AB在平面直角坐标系中，点A和B的坐标依次为（1，0），（4，2），如果把线段AB在平面直角坐标系中平移得到线段A′B′，点A的对应点A′的坐标是（-3，3），则点B的对应点B'的坐标是 ．
5、解：∵A（1，0）平移后得到点A′的坐标为（-3，3），
∴向左平移4个单位，向上平移了3个单位，
∴B（4，2）的对应点坐标为（0，5），
故答案为：（0，5）．
6、△ABC与△A'B'C'在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）分别写出下列各点的坐标：A ，A' ；
（2）若点P（x,y）是△ABC内部一点，则△A'B'C'内部的对应点P'的坐标为 ；
（3）△A'B'C'是由△ABC经过怎样的平移得到的？
6、解：（1）由图可得：A（1，3），A'（-3，1）；
故答案为：（1，3），（-3，1）；
（2）∵将△ABC向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到△A'B'C'，
∴点P的对应点P'的坐标为（x-4，y-2）；
故答案为：（x-4，y-2）；
（3）△ABC向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到△A'B'C'．
六、用
（一）必做题
1、在平面直角坐标系中，把点（2，3）向上平移1个单位，再向左平移2个单位，得到的点的坐标是（ ）
A．（3，1） B．（0，4） C．（4，4） D.（1，1）
1、解：∵点（2，3）向上平移1个单位，再向左平移2个单位，
∴所得到的点的横坐标是2-2=0，
纵坐标是3+1=4，
∴所得点的坐标是（0，4）．
故选：B．
2、在平面直角坐标系中，将点A（-2，-3）向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度得到点B，则点B的坐标为（ ）
A．（0，-3） B．（-4，-7） C．（4，-3） D．（0，-7）
2、解：将点A（-2，-3）向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度得到点B，
则点B的坐标是（-2+2，-3-4），即（0，-7）．
故选：D．
3、如图：A（1，0），B（0，2），若将线段AB平移至A1B1，则5a-b的值为（ ）
A．6 B．8 C．-8 D．10
3、解：∵由图可知：A（1，0），B（0，2），AB平移至A1B1，A1（3，b），B1（a,4），
∵xA1 xA＝3 1＝2，yB1 yB2＝4 2＝2，
∴线段AB向右平移2个单位，向上平移2个单位平移至A1B1，
∴yA1 yA＝b 0＝2，xB1 xB2＝a 0＝2，
则b=2，a=2，
∴5a-b=5×2-2=8．
故选：B．
4、如图．平面直角坐标系中，线段AB端点坐标分别为A（-5，0），B（0，-3），若将线段AB平移至线段A1B1，且A1（-3，m），B1（2，1），则m的值为 ．
4、解：∵A（-5，0），B（0，-3），若将线段AB平移至线段A1B1，且A1（-3，m），B1（2，1），
∴线段AB向右平移2个单位，向上平移4个单位可得线段A1B1，
∴m=0+4=4，
故答案为：4．
5、如图，△A1B1C1是由△ABC平移后得到的．已知△ABC三顶点的坐标分别为A（-2，3），B（-4，-1），C（2，0），在△ABC中任一点P（x0，y0）经平移后得△A1B1C1中对应点P1（x0+5，y0+3）．
（1）△ABC是怎样平移得到△A1B1C1的？
（2）分别直接写出△A1B1C1三个顶点A1，B1，C1的坐标．
5、解：（1）∵△ABC中任一点P（x0，y0）经平移后得△A1B1C1中对应点P1（x0+5，y0+3），
∴△ABC先向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度得到△A1B1C1；
（2）由（1）知，△ABC先向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度得到△A1B1C1，
∵A（-2，3），B（-4，-1），C（2，0），
∴A1（3，6），B1（1，2），C1（5，3）．
（二）选做题
6、如图，先将三角形ABC向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到三角形A1B1C1．
（1）请写出A、B、C的坐标；
（2）皮克定理：计算点阵中顶点在格点上的多边形面积公式：s=a+b÷2-1，其中a表示多边形内部的点数，b表示多边形边界上的点数，s表示多边形的面积．若用皮克定理求A1B1C1三角形的面积，则a= ，b= ，s△A1B1C1= ．
6、解：（1）∵A1（-1，1），B1（5，2），C2（2，5），三角形ABC向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到三角形A1B1C1．
∴A（2，5），B（8，6），C（5，9）；
（2）由题意，a=9，b=5，S△A1B1C1=9+2.5-1=10.5．
故答案为：9，5，10.5．
7、如图，在平面直角坐标系中，设一点M自P0（1，0）处向上运动1个单位长度至P1（1，1），然后向左运动2个单位长度至P2处，再向下运动3个单位长度至P3处，再向右运动4个单位长度至P4处，再向上运动5个单位长度至P5处，…，如此继续运动下去，设Pn（xn，yn），n=1，2，3，…．
（1）分别计算x1+x2+x3+x4和y5+y6+y7+y8的值．
（2）计算x1+x2+…+x2023+x2024的值．
7、解：（1）由题意可知P1（1，1），P2（-1，1），P3（-1，-2），P4（3，-2），P5（3，3），P6（-3，3），P7（-3，-4），P8（5，-4），
于是得到x1，x2，x3，x4的值为1，-1，-1，3，
∴x1+x2+x3+x4=1-1-1+3=2，
∵y5，y6，y7，y8的值分别为3，3，-4，-4，
∴y5+y6+y7+y8=3+3-4-4=-2；
（2）∵x1+x2+x3+x4=1-1-1+3=2，x5+x6+x7+x8=3-3-3+5=2，
…x2021+x2022+x2023+x2024=2，
∴x1+x2+ +x2023+x2024=2×（2024÷4）=1012．
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