第八章 二元一次方程组单元测试卷（困难 含答案）

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人教版初中数学七年级下册第八单元《二元一次方程组》单元测试卷（困难）（含答案解析）
考试范围：第八单元；考试时间：120分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在某学校举行的课间“桌面操”比赛中，为奖励表现突出的班级，学校计划用元钱购买、、三种奖品，种每个元，种每个元，种每个元，在种奖品只能购买个或个且钱全部用完的情况下注：每种方案中都有三种奖品，共有多少种购买方案( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
2. 已知是关于，的二元一次方程，则，的值是( )
A. B. C. D.
3. 方程在自然数范围内的解( )
A. 有无数对 B. 只有对 C. 只有对 D. 只有对
4. 有甲、乙、丙三种货物，若购甲件，乙件，丙件，共需元，若购甲件，乙件，丙件，共需元．现购甲、乙、丙各一件，共需元．( )
A. B. C. D.
5. 甲乙两人同解方程时，甲正确解得，乙因为抄错而得，则的值是( )
A. B. C. D.
6. 在关于、的二元一次方程组的下列说法中，正确的是( )
当时，方程的两根互为相反数；当且仅当时，解得与相等；
，满足关系式；若，则．
A. B. C. D.
7. 已知关于，的方程组给出下列结论：
当 时，方程组的解也是 的解；无论 取何值，，的值不可能是互为相反数； ，都为自然数的解有对；若 ，则 正确的有几个( )
A. B. C. D.
8. 已知关于，的方程组，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，当每取一个值时，就有一个方程，这些方程有一个公共解，这个公共解为( )
A. B. C. D.
9. 已知关于，的二元一次方程组，下列结论中正确的是( )
当这个方程组的解，的值互为相反数时，；
当为正数，为非负数时，；
无论取何值，的值始终不变．
A. B. C. D.
10. 某旅行团到森林游乐区参观，下表为两种参观方式与所需的缆车费用．已知旅行团中的每个人皆从这两种方式中选择一种，且去程有人搭乘缆车，回程有人搭乘缆车．若他们缆车费用的总花费为元，则此旅行团的人数是( )
参观方式 缆车费用
去程及回程均塔乘缆车 元
单程搭乘缆车，单程步行 元
A. B. C. D.
11. 某商场根据市场信息，对商场中现有的两台不同型号的空调进行调价销售，其中一台空调调价后售出可获利相对于进价，另一台空调调价后售出则亏本相对于进价，而这两台空调调价后的售价恰好相同，那么商场把这两台空调调价后售出．( )
A. 既不获利也不亏本 B. 可获利 C. 要亏本 D. 要亏本
12. 幻方是古老的数学问题，我国古代的洛书中记载了最早的幻方九宫格．将个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的个数之和相等，例如图就是一个幻方．图是一个未完成的幻方，则与的和是( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13. 为实现营养的合理搭配，某电商推出适合不同人群的甲、乙两种袋装混合粗粮．其中，甲种粗粮每袋装有千克粗粮，千克粗粮，千克粗粮；乙种粗粮每袋装有千克粗粮，千克粗粮，千克粗粮．甲、乙两种袋装粗粮每袋成本价分别为袋中的，，三种粗粮的成本价之和．已知粗粮每千克成本价为元，甲种粗粮每袋售价为元，利润率为，乙种粗粮的利润率为若这两种袋装粗粮的销售利润率达到，则该电商销售甲、乙两种袋装粗粮的数量之比是______商品的利润率
14. 如图所示，已知前两架天平两端保持平衡．要使第三架天平两端保持平衡，则应在天平的右托盘上放________个圆形物品．
15. 已知关于，的方程组有下列三种说法：当时，，互为相反数，都是负整数的解只有组是该方程组的解其中说法正确的有 填序号．
16. 国庆期间某外地旅行团来重庆的网红景点打卡，游览结束后旅行社对该旅行团做了一次“我最喜爱的巴渝景点”问卷调查每名游客都填了调查表，且只选了一个景点，统计后发现洪崖洞、长江索道、李子坝轻轨站、磁器口榜上有名．其中选李子坝轻轨站的人数比选磁器口的少人；选洪崖洞的人数不仅比选磁器口的多，且为整数倍；选磁器口与洪崖洞的人数之和是选李子坝轻轨站与长江索道的人数之和的倍；选长江索道与洪崖洞的人数之和比选李子坝轻轨站与磁器口的人数之和多人．则该旅行团共有________人．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
解方程组：．
18. 本小题分
一方有难八方支援，某市政府筹集了抗旱必需物资吨打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：假设每辆车均满载
车型 甲 乙 丙
汽车运载量吨辆
汽车运费元辆
若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
为了节约运费，该市政府决定甲、乙、丙三种车型都参与运送，已知它们的总辆数为辆，你能通过列方程组的方法分别求出几种车型的辆数吗？
求出哪种方案的运费最省？最省是多少元．
19. 本小题分
已知方程组的解中，的值是的值的倍，求的值．
20. 本小题分
请你根据所学的二元一次方程组的有关知识，解答下列问题：
下面四对数值：；；；，其中，满足二元一次方程的值是_______；只填序号
已知二元一次方程与有一个公共解，求这个公共解；
若有关于，的二元一次方程，无论取何值，总有确定的一对，的值满足此方程，求出这对值．
21. 本小题分
我们用表示不大于的最大整数，例如：，，；用表示大于的最小整数，例如：，，解决下列问题：
， ．
若，则的取值范围是 ；若，则的取值范围是 ．
已知，满足方程组，求，的取值范围．
22. 本小题分
如图，，点、点分别为、上的点．射线从顺时针旋转至停止，射线从逆时针旋转至便立即回转．若射线的旋转速度为秒，射线的旋转速度为秒，且，满足射线、射线同时转动与停止，设射线运动时间为．
求、的值；
若射线与射线交于点，当时，求的值；
如图，射线点在点的左侧从顺时针旋转，速度为秒，且与射线、射线同时转动与停止．若，则当为何值时，射线所在直线、射线所在直线、射线所在直线能围成直角三角形．
23. 本小题分
我国古代数学著作九章算术的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的．如图，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数，的系数与相应的常数项，把图所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组的形式表述出来，就是
请你根据图所示的算筹图，列出方程组，并求解．
24. 本小题分
学校计划在某商店购买秋季运动会的奖品，若买个篮球和个足球需花费元，若买个篮球和个足球需花费元．
篮球和足球的单价各是多少元？
实际购买时，正逢该商店进行促销．所有体育用品都按原价的八折优惠出售，学校购买了若干个篮球和足球，恰好花费元．请直接写出学校购买篮球和足球的个数各是多少．
25. 本小题分
某市生产的洋葱品质好、干物质含量高且耐储存，因而受到国内外客商青睐现欲将一批洋葱运往外地销售，若用辆型车和辆型车载满洋葱一次可运走吨；用辆型车和辆型车载满洋葱一次可运走吨现有洋葱吨，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满洋葱根据以上信息，解答问题：
辆型车和辆型车都载满洋葱一次可分别运送多少吨？
请你帮该物流公司设计租车方案；
若辆型车需租金元次，辆型车需租金元次请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了二元一次方程的应用，以及实际问题方案的设计解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．要注意题中未知数的取值必须符合实际意义．
有两个等量关系：购买种奖品钱数购买种奖品钱数购买种奖品钱数；种奖品个数为或个．设两个未知数，得出二元一次方程，根据实际含义确定解．
【解答】
解：设购买种奖品个，购买种奖品个，当种奖品个数为个时，
根据题意，得，
整理，得，
因为，都是正整数，，所以，，，，，，，．
当种奖品个数为个时，
根据题意，得，
整理，得，
因为，都是正整数，，所以，，，，，．
所以有种购买方案．
2.【答案】
【解析】
【分析】
主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有个未知数，未知数的项的次数是的整式方程．
根据二元一次方程的定义含有个未知数，未知数的项的次数是的整式方程解答．
【解答】
解：根据题意，得
，解得；
，解得，
即；
故选：．
3.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了解二元一次方程，将看做已知数求出是解本题的关键用表示出，令为自然数求出的值，即可确定出方程的自然数解．
【解答】
解：方程变形得：，
当时，；时，；时，；时，，
则方程在自然数范围内的解为，，，．
故选D．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了三元一次方程组的应用．根据系数特点，通过加减，得到一个整体，然后整体求解．假设购甲每件元，购乙每件元，购丙每件元．列方程组得：，然后求得的值．
【解答】
解：设购甲每件元，购乙每件元，购丙每件元．
列方程组得：，
得：．
故选：．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．根据题意可以得到、、的三元一次方程组，从而可以求得、、的值，本题得以解决．
【解答】
解：由题意可得，
解得
，
故选A．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查三元一次方程组的解法，方程组的解．把代入原方程，求解即可判定；把代入原方程求解，即可判定；把原方程中第一个方程乘以，两式相减即可得的值，即可判定；由，得，所以，将原方程中第二方程第一方程，即可得，所以有，即可求出值，从而可判定继而得出答案．
【解答】
解：，
把代入方程组得
解得：，
、互为相反数，
故正确；
把代入方程组得
，
解得：，
，
故正确；
得
，
故正确；
得
，
又，
，
，
，
解得：，
故正确
正确的有．
故选D．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
将代入方程组求出方程组的解，代入方程中检验即可；
将和分别用表示出来，然后求出来判断；
由得到、都为自然数的解有对；
把与联立成方程组，求出、，再代入原方程组，就可以求出答案．
【解答】
解：将代入方程组得：
得，
解得，
将代入得：，
此方程组的解为：
，
将代入得，
当时，方程组的解也是的解，
故正确；
方程组
得，
解得，
将代入得，
，
故无论取何值，，的值不可能是互为相反数，
故正确；
方程组
得：，
，都为自然数的解有
故有对，
故正确；
方程组
得：，
得
得，
故正确，
综上所述，正确的有个．
故选D．
8.【答案】
【解析】解：将得，
所以，
因为的取值与公共解无关，
所以有
解得：
所以这个公共解为
故选：．
9.【答案】
【解析】解：解方程组得：，
、互为相反数，
，
，
解得：，故正确；
为正数，为非负数，
，
解得：，故正确；
，，
，即的值始终不变，故正确；
故选：．
先求出方程组，根据相反数得出，求出后即可判断；
根据为正数和为非负数得出，求出不等式组的解后即可判断
根据和求出，即可判断．
本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，解一元一次不等式，求代数式的值等知识点，能求出方程组的解是解此题的关键．
10.【答案】
【解析】解：设此旅行团有人单程搭乘缆车，单程步行，其中去程及回程均搭乘缆车的有人，根据题意得，
，
解得，，
则总人数为人
故选：．
设此旅行团有人单程搭乘缆车，单程步行，其中去程及回程均搭乘缆车的有人，根据题意列出二元一次方程，求出其解．
本题是二元一次方程组的应用，主要考查了列二元一次方程组解应用题，关键是读懂题意，找出等量关系，列出方程组．
11.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查的是二元一次方程组的应用解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．要求这两台空调调价后售出的亏赚，就要先求出他们的售价．根据题意可知，本题中的等量关系是“调价后两台空调价格相同”，依此列方程求解即可．
【解答】
解：设这两台空调调价后的售价为，两台空调进价分别为、．
调价后两台空调价格为：；．
则空调进价为：，空调进价为：，
调价后售出利润率为：，
所以亏本．
故选D．

12.【答案】
【解析】解：每一横行、每一竖列以及两条对角线上的个数之和相等，
最左下角的数为：，
最中间的数为：，或，
最右下角的数为：，或，
，
解得：，
，
故选：．
由题意：每一横行、每一竖列以及两条对角线上的个数之和相等，表示出最中间的数和最右下角的数，列出二元一次方程组，解方程组即可．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了二元一次方程的应用，利润、成本价与利润率之间的关系的应用，理解题意得出等量关系是解题的关键．
先求出千克粗粮成本价千克粗粮成本价元，得出乙种粗粮每袋售价为元．再设该电商销售甲种袋装粗粮袋，乙种袋装粗粮袋，根据甲种粗粮每袋售价为元，利润率为，乙种粗粮的利润率为这两种袋装粗粮的销售利润率达到，列出方程，求出．
【解答】
解：甲种粗粮每袋装有千克粗粮，千克粗粮，千克粗粮，
而粗粮每千克成本价为元，甲种粗粮每袋售价为元，
千克粗粮成本价千克粗粮成本价元，
乙种粗粮每袋装有千克粗粮，千克粗粮，千克粗粮，
乙种粗粮每袋售价为元．
甲种粗粮每袋成本价为元，乙种粗粮每袋成本价为元．
设该电商销售甲种袋装粗粮袋，乙种袋装粗粮袋，
由题意，得，
，
．
故答案为．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查三元一次方程组的应用，找出等量关系列出三元一次方程组是解题的关键．
设圆形物品的质量为，三角形物品的质量为，正方形物品的质量为，根据图示可以列出三元一次方程组，利用加减消元法消去，得到与的关系式，从而得到答案．
【解答】
解：设圆形物品的质量为，三角形物品的质量为，正方形物品的质量为，
根据题意得：
利用加减消元法，消去得：
，
，即应在右托盘上放个圆形物品．
故答案为．
15.【答案】
【解析】当时，方程组为
，得，解得，
将代入得，．
，互为相反数，
故正确
，得，
，
当时，，解得，
将代入，得，
当时，，解得，
当，都是负数时，．
又为负整数，
，
当时，为负整数，
，都是负整数的解只有组，
故正确
将代入解得，
正确，
故答案为．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了二元一次方程的正整数解、二元一次方程组的应用．设选李子坝轻轨站的有人，选长江索道的有人，选洪崖洞的有人，根据：选磁器口与洪崖洞的人数之和是选李子坝轻轨站与长江索道的人数之和的倍，选长江索道与洪崖洞的人数之和比选李子坝轻轨站与磁器口的人数之和多人，列出方程组，进而得到，由于人数为正整数，得到、所有可能值，然后将，的值代入中，只有满足为整数才合题意，然后计算出该团人数即可．
【解答】
解：设选李子坝轻轨站的有人，选长江索道的有人，则选磁器口的有人，选洪崖洞的有人，
根据题意得：，
可变形为：，
，得，
即；
，得．
、都是正整数，
或或或或或，
当、、、、时，
都不是整数，不合题意．
当时，．
选李子坝轻轨站的有人，选长江索道的有人，选磁器口的有人，选洪崖洞的有人，
由于每名游客都填了调査表，且只选了一个景点，
所以该旅行团共有人．
17.【答案】解：，
，得：，
，得：，
，
将代入中，得：，
，
将代入中，得：，
．
方程组的解为．
【解析】将方程相加可得出，由方程可求出值，分别将代入中即可求出、值，此题得解．
本题考查了解三元一次方程组，熟练掌握三元一次方程组的解法及步骤是解题的关键．
18.【答案】解：设需甲车型辆，乙车型辆，得：解得
答：需甲车型辆，乙车型辆；
设需甲车型辆，乙车型辆，丙车型辆，得：
消去得，，
因，是正整数，且不大于，得，，，
由是正整数，解得，，
有二种运送方案：
甲车型辆，乙车型辆，丙车型辆；
甲车型辆，乙车型辆，丙车型辆；
二种方案的运费分别是：
；
．
答：甲车型辆，乙车型辆，丙车型辆运费最省，最少运费是元．
【解析】设需甲车型辆，乙车型辆，根据运费元，总吨数是，列出方程组，再进行求解即可；
设甲车型有辆，乙车型有辆，丙车型有辆，列出等式，再根据、、均为正整数，求出，的值，从而得出答案．
根据二种方案得出运费解答即可．
本题考查了二元一次方程组和三元一次方程组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出方程即可求解．利用整体思想和未知数的实际意义通过筛选法可得到未知数的具体解，这种方法要掌握．
19.【答案】解：是的倍，
，
把代入方程组，，
得：，
由得，
把代入，得：，
解得：．
【解析】根据和的关系，将方程组中的用含的式子表示；原方程变成关于和的二元一次方程组，根据解二元一次方程组的方法，解得即可．
本题主要考查二元一次方程组的解，用含有的式子代替是解决此题的关键．
20.【答案】解： ；
解得：；
，
，
即，
可取任意值则 ，
．
【解析】
【分析】
本题考查了二元一次方程的解以及加减消元法解二元一次方程组．
将各组数据代入，判定即可；
解关于、的二元一次方程组即可；
将二元一次方程化为，因为无论取何值，总有确定的一对，的值满足此方程，所以可得 ，解得即可．
【解答】
解：代入方程，左边左边；
代入方程，左边左边；
代入方程，左边左边；
代入方程，左边左边；
是方程程的解，
故答案为；
见答案；
见答案．

21.【答案】；；
；；
，
解得：，
则，．
【解析】解：用表示不大于的最大整数，
，
表示大于的最小整数，
．
故答案为：，；
，
的取值范围是；
，
的取值范围是；
故答案为；；
，
解得：，
则，．
根据已知定义分别得出与的值；
利用用表示不大于的最大整数，表示大于的最小整数，进而得出，的取值范围；
首先解方程组，进而结合新定义得出、的取值范围．
此题主要考查了新定义问题及二元一次方程组的解法，正确根据新定义得出各数的意义是解题关键．
22.【答案】解：，
，
解得．
过点作，则．
当时，如图．
，，
，
，
即，
解得．
当时，如图．
，
解得．
当时，
，
解得，不符合题意．
综上所述，或．
当如图所示的时，
，，，
，
解得．
当如图所示的时，
，
，，
，
解得．
当如图所示的时，此时射线旋转到后回转，
，，
，
解得．
当如图所示的时，
此时射线与重合，
．
综上所述，或或或．
【解析】利用非负数的性质可得二元一次方程组，求解即可；
过点作，分，和三种情况分别列方程求解．
分别讨论当，时，根据射线逆时针旋转至前以及回转后，利用角的和差关系列方程求解．
本题考查了平行线的性质、非负数的性质、解二元一次方程组、垂直的定义以及角的运算，解题的关键在于能够根据构成直角三角形进行分类讨论．
23.【答案】解：依题意，得
由，得
把代入，得
解这个方程，得．
把代入，得．
这个方程组的解是．
【解析】本题考查了二元一次方程组的应用，观察图形，正确列出二元一次方程组是解题的关键．观察图，列出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论．
24.【答案】解：设篮球的单价为元，足球的单价为元，
依题意，得：，
解得：．
答：篮球的单价为元，足球的单价为元．
设学校购买篮球个，足球个，
依题意，得：，
所以．
因为，均为非负整数，
所以或．
答：学校购买篮球个、足球个或者篮球个、足球个．
【解析】
【分析】
本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准等量关系，正确列出二元一次方程．
设篮球的单价为元，足球的单价为元，根据“若买个篮球和个足球需花费元，若买个篮球和个足球需花费元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设学校购买篮球个，足球个，根据总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，再结合，均为非负整数，即可得出结论．
25.【答案】解：设辆型车载满洋葱一次可运送吨，辆型车载满洋葱一次可运送吨，
依题意得：，
解得：．
答：辆型车载满洋葱一次可运送吨，辆型车载满洋葱一次可运送吨．
依题意得：，
所以．
又因为，均为非负整数，
所以或或，
所以该物流公司共有种租车方案，
方案：租用辆型车，辆型车；
方案：租用辆型车，辆型车；
方案：租用辆型车，辆型车．
方案所需租车费为元；
方案所需租车费为元；
方案所需租车费为元．
所以费用最少的租车方案为：租用辆型车，辆型车，最少租车费为元．
【解析】设辆型车载满洋葱一次可运送吨，辆型车载满洋葱一次可运送吨，根据“用辆型车和辆型车载满洋葱一次可运走吨；用辆型车和辆型车载满洋葱一次可运走吨”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
根据一次运送吨洋葱，即可得出关于，的二元一次方程，解之，均为非负整数，即可得出各租车方案；
利用总租金每辆车的租金租车数量，可分别求出三种租车方案的租车费，比较后即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准等量关系，正确列出二元一次方程；利用总租金每辆车的租金租车数量，分别求出三种租车方案的租车费．
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