2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题 A
一、选择题
1．（2018·湘西）已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
2．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题 A）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（ ）
A．AB=AD B．BC=CD C． D．∠BCA=∠DCA
3．（2018·张家界）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC=5cm，CD=8cm，则AE=（ ）
A．8cm B．5cm C．3cm D．2cm
4．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题 A）《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED=1寸），锯道长1尺（AB=1尺=10寸）”，问这块圆柱形木材的直径是多少？”
如图所示，请根据所学知识计算：圆柱形木材的直径AC是（ ）
A．13寸 B．20寸 C．26寸 D．28寸
5．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题 A）如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠BED的正切值等于（ ）
A． B． C．2 D．
6．（2018·邵阳）如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD=120°，则∠BOD的大小是（ ）
A．80° B．120° C．100° D．90°
7．（2018·锦州）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，过B，C两点的⊙O交AC于点D，交AB于点E，连接EO并延长交⊙O于点F.连接BF，CF.若∠EDC=135°，CF= ，则AE2+BE2的值为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
8．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题 A）如图，△ABC内接于⊙O，若sin∠BAC= ，BC=2 ，则⊙O的半径为（ ）
A．3 B．6 C．4 D．2
9．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题 A）如图，直线AB与⊙O相切于点A，AC、CD是⊙O的两条弦，且CD∥AB，若⊙O的半径为5，CD=8，则弦AC的长为（ ）
A．10 B．8 C．4 D．4
10．（2018·烟台）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC=124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为（ ）
A．56° B．62° C．68° D．78°
11．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题 A）已知圆内接正三角形的面积为 ，则该圆的内接正六边形的边心距是（ ）
A．2 B．1 C． D．
12．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题 A）如图，从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为（ ）
A． B． C．πm2 D．2πm2
二、填空题
13．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题 A）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（20，0），点B的坐标是（16，0），点C、D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，则点C的坐标为 ．
14．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题 A）如图，半圆的半径OC=2，线段BC与CD是半圆的两条弦，BC=CD，延长CD交直径BA的延长线于点E，若AE=2，则弦BD的长为 ．
15．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题 A）如图，AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD=50°，则∠ACB= °．
16．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题 A）如图，AC为⊙O的直径，点B在圆上，OD⊥AC交⊙O于点D，连接BD，∠BDO=15°，则∠ACB= ．
17．（2018·大庆）已知直线y=kx（k≠0）经过点（12，﹣5），将直线向上平移m（m＞0）个单位，若平移后得到的直线与半径为6的⊙O相交（点O为坐标原点），则m的取值范围为 ．
18．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题 A）如图，△OAC的顶点O在坐标原点，OA边在x轴上，OA=2，AC=1，把△OAC绕点A按顺时针方向旋转到△O′AC′，使得点O′的坐标是（1， ），则在旋转过程中线段OC扫过部分（阴影部分）的面积为 ．
三、解答题
19．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题 A）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF=AE，连接FB，FC．
（1）求证：四边形ABFC是菱形；
（2）若AD=7，BE=2，求半圆和菱形ABFC的面积．
20．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题 A）如图AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，BP与⊙O相交于点D，C为⊙O上的一点，分别连接CB、CD，∠BCD=60°．
（1）求∠ABD的度数；
（2）若AB=6，求PD的长度．
21．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题 A）如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O交AC于点E，过点E作AB的垂线交AB于点F，交CB的延长线于点G，且∠ABG=2∠C．
（1）求证：EG是⊙O的切线；
（2）若tanC= ，AC=8，求⊙O的半径．
22．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题 A）如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．
（1）求证：AE=ED；
（2）若AB=10，∠CBD=36°，求 的长．
23．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题 A）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD=CB，连接DO并延长交CB的延长线于点E．
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BE=4，DE=8，求AC的长．
24．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题 A）已知：如图，AB是⊙O的直径，AB=4，点F，C是⊙O上两点，连接AC，AF，OC，弦AC平分∠FAB，∠BOC=60°，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D，垂足为点D．
（1）求扇形OBC的面积（结果保留π）；
（2）求证：CD是⊙O的切线．
25．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题 A）如图，D是△ABC外接圆上的动点，且B，D位于AC的两侧，DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交此圆于点F．BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，DC，FB的延长线交于点P，且PC=PB．
（1）求证：BG∥CD；
（2）设△ABC外接圆的圆心为O，若AB= DH，∠OHD=80°，求∠BDE的大小．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】∵圆心到直线的距离5cm=圆的半径5cm，
∴直线和圆相切，
故答案为：B．
【分析】由已知条件可知圆心O到直线l的距离等于圆的半径，就可得出直线l与⊙O的位置关系。
2．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：解：A、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴AB与AD不一定相等，不符合题意；
B、∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，∴BC=CD，符合题意；
C、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴ 与 不一定相等，不符合题意；
D、∠BCA与∠DCA的大小关系不确定，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等，所对的弧相等，由于∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，故AB与AD不一定相等， 与 不一定相等，从而得出A、C不符合题意；根据角平分线的定义得出∠BAC=∠DAC，根据同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等得出BC=CD，从而得出B符合题意；由于∠BCA与∠DCA的大小关系不确定，D不符合题意．
3．【答案】A
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：∵弦CD⊥AB于点E，CD=8cm，
∴CE= CD=4cm．
在Rt△OCE中，OC=5cm，CE=4cm，
∴OE= =3cm，
∴AE=AO+OE=5+3=8cm．
故答案为：A．
【分析】根据垂径定理得出CE=4，在Rt△OCE中，利用勾股定理算出OE的长，再根据AE=AO+OE即可算出答案。
4．【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：设⊙O的半径为r．
在Rt△ADO中，AD=5，OD=r﹣1，OA=r，
则有r2=52+（r﹣1）2，
解得r=13，
∴⊙O的直径为26寸，
故答案为：C
【分析】根据垂径定理得出AD=5，在Rt△ADO中，利用勾股定理即可算出半径的长度，进而得出答案。
5．【答案】D
【知识点】圆周角定理；同角三角函数的关系
【解析】【解答】解： ∵∠DAB=∠DEB，
∴tan∠DAB=tan∠DEB= ．
故答案为：D．
【分析】根据同弧所对的圆周角相等得出∠DAB=∠DEB，根据等角的同名三角函数值相等得出tan∠DAB=tan∠DEB= ．
6．【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠A=180°﹣∠BCD=180°-120°=60°，
由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=120°，
故答案为：B．
【分析】利用圆内接四边形的性质：对角互补，求出∠A的度数，再利用一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可求出∠BOD的度数。
7．【答案】C
【知识点】勾股定理；圆周角定理
【解析】【解答】∵∠EDC=135°，
∴∠ADE=45°，∠ABC=180°-∠EDC =180°-135°=45°；
∵∠ACB=90°，
∴∠A=45°，
∴∠ADE=∠A=45°，
∴ AE=ED ，∠AED=90°；
∵EF 为⊙O的直径，
∴∠FCE=90°，
∵∠ABC=∠EFC=45°，CF= ，
∴EF=4；
连接BD，
∵∠AED=90°，
∴∠BED=90°，
∴BD 为⊙O的直径，
∴BD=4；
在Rt△BDE中， ，
∴AE2+BE2=16.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件求出∠ADE，∠ABC及∠A的度数，就可证得∠ADE=∠A，利用圆周角定理可证得∠FCE=90°，利用勾股定理求出CF、EF的长，连接BD，再证明BD是圆的直径，然后利用勾股定理求出结果。
8．【答案】A
【知识点】垂径定理；圆周角定理；锐角三角函数的定义；同角三角函数的关系
【解析】【解答】解：如图：连接OB，OC．作OD⊥BC于D
∵OB=OC，OD⊥BC
∴CD= BC，∠COD= ∠BOC
又∵∠BOC=∠A，BC=2
∴∠COD=∠A，CD=
∵sin∠BAC=
∴sin∠COD=
∴OC=3
故答案为：A．
【分析】如图：连接OB，OC．作OD⊥BC于D，根据等腰三角形的三线合一得出CD= BC，∠COD= ∠BOC，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠BOC=∠A，故∠COD=∠A根据等角的同名三角函数值相等及锐角三角函数的定义即可得出sin∠COD= ，从而得出答案。
9．【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理；切线的性质
【解析】【解答】解： ∵直线AB与⊙O相切于点A，
∴OA⊥AB，
又∵CD∥AB，
∴AO⊥CD，记垂足为E，
∵CD=8，
∴CE=DE= CD=4，
连接OC，则OC=OA=5，
在Rt△OCE中，OE= = =3，
∴AE=AO+OE=8，
则AC= = =4 ，
故答案为：D．
【分析】根据圆的切线垂直于经过切点的半径得出OA⊥AB，根据平行线的性质得出AO⊥CD，记垂足为E，然后根据垂径定理得出CE=DE= CD=4，连接OC，在Rt△OCE中，根据勾股定理算出OE的长，在Rt△ACE中，根据勾股定理算出AC的长。
10．【答案】C
【知识点】圆内接四边形的性质；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAC=2∠IAC、∠ACB=2∠ICA，
∵∠AIC=124°，
∴∠B=180°﹣（∠BAC+∠ACB）
=180°﹣2（∠IAC+∠ICA）
=180°﹣2（180°﹣∠AIC）
=68°，
又四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠CDE=∠B=68°，
故答案为：C．
【分析】根据三角形内心的定义得出∠BAC=2∠IAC、∠ACB=2∠ICA，根据三角形的内角和得出∠B=180°﹣（∠BAC+∠ACB），根据圆的内接四边形的一个外角等于它的内对角得出答案。
11．【答案】B
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵圆内接正三角形的面积为 ，
∴圆的半径为 ，
∴该圆的内接正六边形的边心距 ×sin60°= ，
故答案为：B．
【分析】根据等边三角形的三线合一及三角形面积的计算方法，由该三角形的面积为即可算出该三角形外接圆的半径，即该圆内接正六边形的边长，进而再根据垂径定理及锐角三角函数的定义，由该圆的内接正六边形的边心距 ×sin60°即可算出答案。
12．【答案】A
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接AC，
∵从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，即∠ABC=90°，
∴AC为直径，即AC=2m，AB=BC（扇形的半径相等），
∵AB2+BC2=22，
∴AB=BC= m，
∴阴影部分的面积是 = （m2），
故答案为：A．
【分析】连接AC，根据圆周角定理得出AC为直径，根据扇形的半径相等，及勾股定理即可算出AB=BC= m，最后根据扇形的面积计算公式即可算出答案。
13．【答案】（2，6）
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；垂径定理
【解析】【解答】解： ∵四边形OCDB是平行四边形，B（16，0），
∴CD∥OA，CD=OB=16，
过点M作MF⊥CD于点F，则CF= CD=8，
过点C作CE⊥OA于点E，
∵A（20，0），
∴OE=OM﹣ME=OM﹣CF=10﹣8=2．
连接MC，则MC= OA=10，
∴在Rt△CMF中，由勾股定理得MF= =6
∴点C的坐标为（2，6）
故答案为：（2，6）．
【分析】根据平行四边形的对边平行且相等得出CD∥OA，CD=OB=16，过点M作MF⊥CD于点F，根据垂径定理得出CF= CD=8，过点C作CE⊥OA于点E，根据矩形的性质及相等的和差，由OE=OM﹣ME=OM﹣CF算出OE的长，连接MC，根据同圆的半径相等得出MC= OA=10，在Rt△CMF中，由勾股定理得MF的长，从而求出C带你的坐标。
14．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；圆周角定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接OD，AD，
∵BC=DC，BO=DO，
∴∠BDC=∠DBC，∠BDO=∠DBO，
∴∠CDO=∠CBO，
又∵OC=OB=OD，
∴∠BCO=∠DCO，即OC平分∠BCD，
又∵BC=DC，
∴BD⊥CO，
又∵AB是直径，
∴AD⊥BD，
∴AD∥CO，
又∵AE=AO=2，
∴AD= CO=1，
∴Rt△ABD中，BD= = = ．
故答案为： ．
【分析】如图，连接OD，AD，根据等边对等角及角的的和差得出∠CDO=∠CBO，再根据等边对等角及等量代换得出∠BCO=∠DCO，即OC平分∠BCD，然后根据等腰三角形的三线合一得出BD⊥CO，根据直径所对的圆周角是直角得出AD⊥BD，根据同一平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行得出AD∥CO，然后根据三角形的中位线定理得出AD= CO=1，最后在Rt△ABD中，根据勾股定理算出BD的长。
15．【答案】40
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接BD，如图，
∵AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，
∴∠ABD=90°，
∴∠D=90°﹣∠BAD=90°﹣50°=40°，
∴∠ACB=∠D=40°．
故答案为40．
【分析】连接BD，如图，根据直径所对的圆周角是直角得出∠ABD=90°，根据三角形的内角和得出∠D，根据同弧所对的圆周角相等得出∠ACB的度数。
16．【答案】60°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接DC，
∵AC为⊙O的直径，OD⊥AC，
∴∠DOC=90°，∠ABC=90°，
∵OD=OC，
∴∠ODC=45°，
∵∠BDO=15°，
∴∠BDC=30°，
∴∠A=30°，
∴∠ACB=60°，
故答案为：60°．
【分析】连接DC，根据直径所对的圆周角是直角得出∠ABC=90°，根据垂直的定义得出∠DOC=90°，根据等腰直角三角形的性质得出∠ODC=45°，根据角的和差算出∠BDC=30°，根据同弧所对的圆周角相等得出∠A=30°，最后根据三角形的内角和即可算出答案。
17．【答案】
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：把点（12，﹣5）代入直线y=kx得，﹣5=12k，∴k= ，则直线y= ，
∵y= 向上平移m（m＞0）个单位后得到的直线l所对应的函数关系式为y= +m（m＞0），设直线l与x轴、y轴分别交于点A、B，当x=0时，y=m；当y=0时，x= ，
∴A（ ，0），B（0，m），即OA= ，OB=m，
在Rt△OAB中，AB= ，
过点O作OC⊥AB交于点C，
∵S△ABO= OC AB= OA OB，
∴OC= ，
∵由直线l与⊙O相交，则OC＜⊙O半径，即 ＜6，解得m＜ ．
故答案为： ．
【分析】由点A的坐标易求得直线 的表达式，则向上平移m个单位以后得到y= +m（m＞0），∵⊙O与该直线相交，则用m表示出点O到该直线的距离，由该距离要小于半径6，即可解得m的取值范围．
18．【答案】
【知识点】扇形面积的计算；锐角三角函数的定义；求特殊角的三角函数值；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：过O′作O′M⊥OA于M，则∠O′MA=90°，
∵点O′的坐标是（1， ），
∴O′M= ，OM=1，
∵AO=2，
∴AM=2﹣1=1，
∴tan∠O′AM= = ，
∴∠O′AM=60°，
即旋转角为60°，
∴∠CAC′=∠OAO′=60°，
∵把△OAC绕点A按顺时针方向旋转到△O′AC′，
∴S△OAC=S△O′AC′，
∴阴影部分的面积S=S扇形OAO′+S△O′AC′﹣S△OAC﹣S扇形CAC′=S扇形OAO′﹣S扇形CAC′= ﹣ = ，
故答案为： ．
【分析】过O′作O′M⊥OA于M，则∠O′MA=90°，根据正切函数的定义及特殊锐角三角函数值，求出∠O′AM=60°，即旋转角为60°，然后根据阴影部分的面积S=S扇形OAO′+S△O′AC′﹣S△OAC﹣S扇形CAC′=S扇形OAO′﹣S扇形CAC′即可算出答案。
19．【答案】（1）证明：∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，
∴AE⊥BC，
∵AB=AC，
∴BE=CE，
∵AE=EF，
∴四边形ABFC是平行四边形，
∵AC=AB，
∴四边形ABFC是菱形．
（2）解：设CD=x．连接BD．
∵AB是直径，
∴∠ADB=∠BDC=90°，
∴AB2﹣AD2=CB2﹣CD2，
∴（7+x）2﹣72=42﹣x2，
解得x=1或﹣8（舍弃）
∴AC=8，BD= = ，
∴S菱形ABFC=8 ．
∴S半圆= π 42=8π．
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得出 ∠AEB=90°， 根据等腰三角形的三线合一得出 BE=CE， AE=EF， 根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得出 四边形ABFC是平行四边形， 最后根据一组邻边相等的平行四边形是菱形得出结论： 四边形ABFC是菱形；
（2） 设CD=x．连接BD． 根据直径所对的圆周角是直角得出 ∠ADB=∠BDC=90°， 根据勾股定理得出 AB2﹣AD2=CB2﹣CD2， 从而建立方程求出x的值，进而算出AC的长，再根据勾股定理算出BD的长，最后根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半，半圆的面积等于圆面积的一半即可算出答案。
20．【答案】（1）解：方法一：如图1，连接AD．
∵BA是⊙O直径，
∴∠BDA=90°．
∵ = ，
∴∠BAD=∠C=60°．
∴∠ABD=90°﹣∠BAD=90°﹣60°=30°．
方法二：如图2，连接DA、OD，则∠BOD=2∠C=2×60°=120°．
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB= （180°﹣120°）=30°．
即∠ABD=30°．
（2）解：如图2，∵AP是⊙O的切线，
∴∠BAP=90°．
在Rt△BAD中，∵∠ABD=30°，
∴DA= BA= ×6=3．
∴BD= DA=3 ．
在Rt△BAP中，∵cos∠ABD= ，
∴cos30°= = ．
∴BP=4 ．
∴PD=BP﹣BD=4 ﹣3 = ．
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理；切线的性质；锐角三角函数的定义；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1） 方法一：如图1，连接AD． 根据直径所对的圆周角相等得出 ∠BDA=90°，根据同弧所对的圆周角相等得出 ∠BAD=∠C=60°． 再根据三角形的内角和即可算出 ∠ABD 的度数； 方法二：如图2，连接DA、OD，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠BOD=2∠C=2×60°=120°，然后根据等边对等角得出 ∠OBD=∠ODB= （180°﹣120°）=30°． 从而得出答案；
（2）根据切线的性质得出 ∠BAP=90°，然后根据含30°角的直角三角形的边之间的关系算出DA，BD的长，再根据余弦函数的定义及特殊锐角三角函数值，由 cos∠ABD= ， 即可算出BP的长，进而根据 PD=BP﹣BD 即可算出答案。
21．【答案】（1）解：如图：连接OE，BE
∵∠ABG=2∠C，∠ABG=∠C+∠A
∴∠C=∠A
∴BC=AB，
∵BC是直径
∴∠CEB=90°，且AB=BC
∴CE=AE，且CO=OB
∴OE∥AB
∵GE⊥AB
∴EG⊥OE，且OE是半径
∴EG是⊙O的切线
（2）解：∵AC=8，
∴CE=AE=4
∵tan∠C= =
∴BE=2
∴BC= =2
∴CO=
即⊙O半径为
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的判定；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1） 如图：连接OE，BE ，根据三角形的一个外角等于与其不相邻的两内角的和得出 ∠ABG=∠C+∠A ，又 ∠ABG=2∠C ，故 ∠C=∠A ，根据等角对等边得出 BC=AB， 根据直径所对的圆周角是直角得出 ∠CEB=90° ，然后根据等腰三角形的三线合一得出 CE=AE ，根据三角形的中位线定理得出 OE∥AB ，再根据平行线的性质得出 EG⊥OE，又OE是半径 ，根据垂直于半径的外端，且垂直于半径的直线是圆的切线即可得出 EG是⊙O的切线 ；
（2）根据正切函数的定义，由 tan∠C= = 即可算出BE的长，然后根据勾股定理算出BC的长，从而得出答案。
22．【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵OC∥BD，
∴∠AEO=∠ADB=90°，
即OC⊥AD，
∴AE=ED；
（2）解：∵OC⊥AD，
∴ ，
∴∠ABC=∠CBD=36°，
∴∠AOC=2∠ABC=2×36°=72°，
∴ ．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；弧长的计算
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得出 ∠ADB=90°， 根据二直线平行同位角相等得出 ∠AEO=∠ADB=90°， 然后根据垂径定理得出 AE=ED；
（2）根据垂径定理得出 ， 根据等弧所对的圆周角相等得出 ∠ABC=∠CBD=36°， 再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出 ∠AOC=2∠ABC=2×36°=72°， 最后根据弧长计算公式l=即可算出答案。
23．【答案】（1）解：证明：连接OC．
∵CB=CD，CO=CO，OB=OD，
∴△OCB≌△OCD，
∴∠ODC=∠OBC=90°，
∴OD⊥DC，
∴DC是⊙O的切线．
（2）解：设⊙O的半径为r．
在Rt△OBE中，∵OE2=EB2+OB2，
∴（8﹣r）2=r2+42，
∴r=3，
∵tan∠E= = ，
∴ = ，
∴CD=BC=6，
在Rt△ABC中，AC= = =6 ．
【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；切线的判定；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1） DC是⊙O的切线． 理由如下： 连接OC． 利用SSS判断出 △OCB≌△OCD， 根据全等三角形的对应角相等得出 ∠ODC=∠OBC=90°， 即 OD⊥DC， 根据垂直于半径的外端点的直线是圆的切线得出 DC是⊙O的切线；
（2） 在Rt△OBE中 ，根据勾股定理建立方程，求解得出该圆的半径，然后根据正切函数的定义，由 tan∠E= = ， 建立方程，求解即可求出 CD=BC=6， 最后 在Rt△ABC中 ，根据勾股定理算出AC的长。
24．【答案】（1）解：∵AB=4，
∴OB=2
∵∠COB=60°，
∴S扇形OBC= =
（2）证明：∵AC平分∠FAB，
∴∠FAC=∠CAO，
∵AO=CO，
∴∠ACO=∠CAO
∴∠FAC=∠ACO
∴AD∥OC，
∵CD⊥AF，
∴CD⊥OC
∵C在圆上，
∴CD是⊙O的切线
【知识点】含30°角的直角三角形；切线的判定；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）根据扇形的面积计算公式S=即可直接算出答案；
（2）根据角平分线的定义得出 ∠FAC=∠CAO， 根据等边对等角得出 ∠ACO=∠CAO ，故 ∠FAC=∠ACO ，根据内错角相等两直线平行得出 AD∥OC， 从而由平行线的性质得出 CD⊥OC ，根据垂直于半径的外端点的直线是圆的切线即可得出结论： CD是⊙O的切线 .
25．【答案】（1）证明：如图1，∵PC=PB，
∴∠PCB=∠PBC，
∵四边形ABCD内接于圆，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∵∠BCD+∠PCB=180°，
∴∠BAD=∠PCB，
∵∠BAD=∠BFD，
∴∠BFD=∠PCB=∠PBC，
∴BC∥DF，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴∠ABC=90°，
∴AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∵BG⊥AD，
∴∠AGB=90°，
∴∠ADC=∠AGB，
∴BG∥CD；
（2）解：由（1）得：BC∥DF，BG∥CD，
∴四边形BCDH是平行四边形，
∴BC=DH，
在Rt△ABC中，∵AB= DH，
∴tan∠ACB= = ，
∴∠ACB=60°，∠BAC=30°，
∴∠ADB=60°，BC= AC，
∴DH= AC，
① 当点O在DE的左侧时，如图2，
作直径DM，连接AM、OH，则∠DAM=90°，
∴∠AMD+∠ADM=90°
∵DE⊥AB，
∴∠BED=90°，
∴∠BDE+∠ABD=90°，
∵∠AMD=∠ABD，
∴∠ADM=∠BDE，
∵DH= AC，
∴DH=OD，
∴∠DOH=∠OHD=80°，
∴∠ODH=20°
∵∠ADB=60°，
∴∠ADM+∠BDE=40°，
∴∠BDE=∠ADM=20°，
② 当点O在DE的右侧时，如图3，作直径DN，连接BN，
由①得：∠ADE=∠BDN=20°，∠ODH=20°，
∴∠BDE=∠BDN+∠ODH=40°，
综上所述，∠BDE的度数为20°或40°．
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；锐角三角函数的定义；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）根据等边对等角得出 ∠PCB=∠PBC， 根据圆的内接四边形的对角互补得出 ∠BAD+∠BCD=180°， 根据同角的半径相等得出 ∠BAD=∠PCB， 根据同弧所对的圆周角相等得出 ∠BAD=∠BFD， 故 ∠BFD=∠PCB=∠PBC， 根据同位角相等二直线平行得出 BC∥DF， 根据二直线平行同位角相等得出 ∠ABC=90°， 根据90°的圆周角所对的弦是直径得出 AC是⊙O的直径， 根据直径所对的圆周教师直角得出 ∠ADC=90°， 进而根据 ∠ADC=∠AGB， 由同位角相等两直线平行得出 BG∥CD；
（2）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得出 四边形BCDH是平行四边形， 根据平行四边形的对边相等得出 BC=DH， 根据正切函数的定义及特殊锐角三角函数值，由 tan∠ACB= = ， 得出 ∠ACB=60°，∠BAC=30°， 根据同弧所对的圆周角相等得出 ∠ADB=60°，根据含30°角的直角三角形的边之间的关系得出BC= AC， 故 DH= AC， ① 当点O在DE的左侧时，如图2， 作直径DM，连接AM、OH，则∠DAM=90°， 根据同弧所对的圆周角相等得出 ∠AMD=∠ABD， 根据等角的余角相等得出 ∠ADM=∠BDE， 根据同圆的直角相等得出 DH=OD， 根据等边对等角得出 ∠DOH=∠OHD=80°， 根据三角形的内角和得出 ∠ODH=20° ，根据角的和差得出 ∠ADM+∠BDE=40°， 进而得出 ∠BDE=∠ADM=20°； ② 当点O在DE的右侧时，如图3，作直径DN，连接BN， 由①得：∠ADE=∠BDN=20°，∠ODH=20°， 故 ∠BDE=∠BDN+∠ODH=40°， 综上所述即可得出答案。
1 / 12018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题 A
一、选择题
1．（2018·湘西）已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
【答案】B
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】∵圆心到直线的距离5cm=圆的半径5cm，
∴直线和圆相切，
故答案为：B．
【分析】由已知条件可知圆心O到直线l的距离等于圆的半径，就可得出直线l与⊙O的位置关系。
2．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题 A）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（ ）
A．AB=AD B．BC=CD C． D．∠BCA=∠DCA
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：解：A、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴AB与AD不一定相等，不符合题意；
B、∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，∴BC=CD，符合题意；
C、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴ 与 不一定相等，不符合题意；
D、∠BCA与∠DCA的大小关系不确定，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等，所对的弧相等，由于∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，故AB与AD不一定相等， 与 不一定相等，从而得出A、C不符合题意；根据角平分线的定义得出∠BAC=∠DAC，根据同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等得出BC=CD，从而得出B符合题意；由于∠BCA与∠DCA的大小关系不确定，D不符合题意．
3．（2018·张家界）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC=5cm，CD=8cm，则AE=（ ）
A．8cm B．5cm C．3cm D．2cm
【答案】A
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：∵弦CD⊥AB于点E，CD=8cm，
∴CE= CD=4cm．
在Rt△OCE中，OC=5cm，CE=4cm，
∴OE= =3cm，
∴AE=AO+OE=5+3=8cm．
故答案为：A．
【分析】根据垂径定理得出CE=4，在Rt△OCE中，利用勾股定理算出OE的长，再根据AE=AO+OE即可算出答案。
4．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题 A）《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED=1寸），锯道长1尺（AB=1尺=10寸）”，问这块圆柱形木材的直径是多少？”
如图所示，请根据所学知识计算：圆柱形木材的直径AC是（ ）
A．13寸 B．20寸 C．26寸 D．28寸
【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：设⊙O的半径为r．
在Rt△ADO中，AD=5，OD=r﹣1，OA=r，
则有r2=52+（r﹣1）2，
解得r=13，
∴⊙O的直径为26寸，
故答案为：C
【分析】根据垂径定理得出AD=5，在Rt△ADO中，利用勾股定理即可算出半径的长度，进而得出答案。
5．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题 A）如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠BED的正切值等于（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【知识点】圆周角定理；同角三角函数的关系
【解析】【解答】解： ∵∠DAB=∠DEB，
∴tan∠DAB=tan∠DEB= ．
故答案为：D．
【分析】根据同弧所对的圆周角相等得出∠DAB=∠DEB，根据等角的同名三角函数值相等得出tan∠DAB=tan∠DEB= ．
6．（2018·邵阳）如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD=120°，则∠BOD的大小是（ ）
A．80° B．120° C．100° D．90°
【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠A=180°﹣∠BCD=180°-120°=60°，
由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=120°，
故答案为：B．
【分析】利用圆内接四边形的性质：对角互补，求出∠A的度数，再利用一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可求出∠BOD的度数。
7．（2018·锦州）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，过B，C两点的⊙O交AC于点D，交AB于点E，连接EO并延长交⊙O于点F.连接BF，CF.若∠EDC=135°，CF= ，则AE2+BE2的值为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
【答案】C
【知识点】勾股定理；圆周角定理
【解析】【解答】∵∠EDC=135°，
∴∠ADE=45°，∠ABC=180°-∠EDC =180°-135°=45°；
∵∠ACB=90°，
∴∠A=45°，
∴∠ADE=∠A=45°，
∴ AE=ED ，∠AED=90°；
∵EF 为⊙O的直径，
∴∠FCE=90°，
∵∠ABC=∠EFC=45°，CF= ，
∴EF=4；
连接BD，
∵∠AED=90°，
∴∠BED=90°，
∴BD 为⊙O的直径，
∴BD=4；
在Rt△BDE中， ，
∴AE2+BE2=16.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件求出∠ADE，∠ABC及∠A的度数，就可证得∠ADE=∠A，利用圆周角定理可证得∠FCE=90°，利用勾股定理求出CF、EF的长，连接BD，再证明BD是圆的直径，然后利用勾股定理求出结果。
8．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题 A）如图，△ABC内接于⊙O，若sin∠BAC= ，BC=2 ，则⊙O的半径为（ ）
A．3 B．6 C．4 D．2
【答案】A
【知识点】垂径定理；圆周角定理；锐角三角函数的定义；同角三角函数的关系
【解析】【解答】解：如图：连接OB，OC．作OD⊥BC于D
∵OB=OC，OD⊥BC
∴CD= BC，∠COD= ∠BOC
又∵∠BOC=∠A，BC=2
∴∠COD=∠A，CD=
∵sin∠BAC=
∴sin∠COD=
∴OC=3
故答案为：A．
【分析】如图：连接OB，OC．作OD⊥BC于D，根据等腰三角形的三线合一得出CD= BC，∠COD= ∠BOC，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠BOC=∠A，故∠COD=∠A根据等角的同名三角函数值相等及锐角三角函数的定义即可得出sin∠COD= ，从而得出答案。
9．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题 A）如图，直线AB与⊙O相切于点A，AC、CD是⊙O的两条弦，且CD∥AB，若⊙O的半径为5，CD=8，则弦AC的长为（ ）
A．10 B．8 C．4 D．4
【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理；切线的性质
【解析】【解答】解： ∵直线AB与⊙O相切于点A，
∴OA⊥AB，
又∵CD∥AB，
∴AO⊥CD，记垂足为E，
∵CD=8，
∴CE=DE= CD=4，
连接OC，则OC=OA=5，
在Rt△OCE中，OE= = =3，
∴AE=AO+OE=8，
则AC= = =4 ，
故答案为：D．
【分析】根据圆的切线垂直于经过切点的半径得出OA⊥AB，根据平行线的性质得出AO⊥CD，记垂足为E，然后根据垂径定理得出CE=DE= CD=4，连接OC，在Rt△OCE中，根据勾股定理算出OE的长，在Rt△ACE中，根据勾股定理算出AC的长。
10．（2018·烟台）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC=124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为（ ）
A．56° B．62° C．68° D．78°
【答案】C
【知识点】圆内接四边形的性质；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAC=2∠IAC、∠ACB=2∠ICA，
∵∠AIC=124°，
∴∠B=180°﹣（∠BAC+∠ACB）
=180°﹣2（∠IAC+∠ICA）
=180°﹣2（180°﹣∠AIC）
=68°，
又四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠CDE=∠B=68°，
故答案为：C．
【分析】根据三角形内心的定义得出∠BAC=2∠IAC、∠ACB=2∠ICA，根据三角形的内角和得出∠B=180°﹣（∠BAC+∠ACB），根据圆的内接四边形的一个外角等于它的内对角得出答案。
11．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题 A）已知圆内接正三角形的面积为 ，则该圆的内接正六边形的边心距是（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】B
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵圆内接正三角形的面积为 ，
∴圆的半径为 ，
∴该圆的内接正六边形的边心距 ×sin60°= ，
故答案为：B．
【分析】根据等边三角形的三线合一及三角形面积的计算方法，由该三角形的面积为即可算出该三角形外接圆的半径，即该圆内接正六边形的边长，进而再根据垂径定理及锐角三角函数的定义，由该圆的内接正六边形的边心距 ×sin60°即可算出答案。
12．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题 A）如图，从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为（ ）
A． B． C．πm2 D．2πm2
【答案】A
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接AC，
∵从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，即∠ABC=90°，
∴AC为直径，即AC=2m，AB=BC（扇形的半径相等），
∵AB2+BC2=22，
∴AB=BC= m，
∴阴影部分的面积是 = （m2），
故答案为：A．
【分析】连接AC，根据圆周角定理得出AC为直径，根据扇形的半径相等，及勾股定理即可算出AB=BC= m，最后根据扇形的面积计算公式即可算出答案。
二、填空题
13．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题 A）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（20，0），点B的坐标是（16，0），点C、D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，则点C的坐标为 ．
【答案】（2，6）
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；垂径定理
【解析】【解答】解： ∵四边形OCDB是平行四边形，B（16，0），
∴CD∥OA，CD=OB=16，
过点M作MF⊥CD于点F，则CF= CD=8，
过点C作CE⊥OA于点E，
∵A（20，0），
∴OE=OM﹣ME=OM﹣CF=10﹣8=2．
连接MC，则MC= OA=10，
∴在Rt△CMF中，由勾股定理得MF= =6
∴点C的坐标为（2，6）
故答案为：（2，6）．
【分析】根据平行四边形的对边平行且相等得出CD∥OA，CD=OB=16，过点M作MF⊥CD于点F，根据垂径定理得出CF= CD=8，过点C作CE⊥OA于点E，根据矩形的性质及相等的和差，由OE=OM﹣ME=OM﹣CF算出OE的长，连接MC，根据同圆的半径相等得出MC= OA=10，在Rt△CMF中，由勾股定理得MF的长，从而求出C带你的坐标。
14．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题 A）如图，半圆的半径OC=2，线段BC与CD是半圆的两条弦，BC=CD，延长CD交直径BA的延长线于点E，若AE=2，则弦BD的长为 ．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；圆周角定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接OD，AD，
∵BC=DC，BO=DO，
∴∠BDC=∠DBC，∠BDO=∠DBO，
∴∠CDO=∠CBO，
又∵OC=OB=OD，
∴∠BCO=∠DCO，即OC平分∠BCD，
又∵BC=DC，
∴BD⊥CO，
又∵AB是直径，
∴AD⊥BD，
∴AD∥CO，
又∵AE=AO=2，
∴AD= CO=1，
∴Rt△ABD中，BD= = = ．
故答案为： ．
【分析】如图，连接OD，AD，根据等边对等角及角的的和差得出∠CDO=∠CBO，再根据等边对等角及等量代换得出∠BCO=∠DCO，即OC平分∠BCD，然后根据等腰三角形的三线合一得出BD⊥CO，根据直径所对的圆周角是直角得出AD⊥BD，根据同一平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行得出AD∥CO，然后根据三角形的中位线定理得出AD= CO=1，最后在Rt△ABD中，根据勾股定理算出BD的长。
15．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题 A）如图，AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD=50°，则∠ACB= °．
【答案】40
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接BD，如图，
∵AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，
∴∠ABD=90°，
∴∠D=90°﹣∠BAD=90°﹣50°=40°，
∴∠ACB=∠D=40°．
故答案为40．
【分析】连接BD，如图，根据直径所对的圆周角是直角得出∠ABD=90°，根据三角形的内角和得出∠D，根据同弧所对的圆周角相等得出∠ACB的度数。
16．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题 A）如图，AC为⊙O的直径，点B在圆上，OD⊥AC交⊙O于点D，连接BD，∠BDO=15°，则∠ACB= ．
【答案】60°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接DC，
∵AC为⊙O的直径，OD⊥AC，
∴∠DOC=90°，∠ABC=90°，
∵OD=OC，
∴∠ODC=45°，
∵∠BDO=15°，
∴∠BDC=30°，
∴∠A=30°，
∴∠ACB=60°，
故答案为：60°．
【分析】连接DC，根据直径所对的圆周角是直角得出∠ABC=90°，根据垂直的定义得出∠DOC=90°，根据等腰直角三角形的性质得出∠ODC=45°，根据角的和差算出∠BDC=30°，根据同弧所对的圆周角相等得出∠A=30°，最后根据三角形的内角和即可算出答案。
17．（2018·大庆）已知直线y=kx（k≠0）经过点（12，﹣5），将直线向上平移m（m＞0）个单位，若平移后得到的直线与半径为6的⊙O相交（点O为坐标原点），则m的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：把点（12，﹣5）代入直线y=kx得，﹣5=12k，∴k= ，则直线y= ，
∵y= 向上平移m（m＞0）个单位后得到的直线l所对应的函数关系式为y= +m（m＞0），设直线l与x轴、y轴分别交于点A、B，当x=0时，y=m；当y=0时，x= ，
∴A（ ，0），B（0，m），即OA= ，OB=m，
在Rt△OAB中，AB= ，
过点O作OC⊥AB交于点C，
∵S△ABO= OC AB= OA OB，
∴OC= ，
∵由直线l与⊙O相交，则OC＜⊙O半径，即 ＜6，解得m＜ ．
故答案为： ．
【分析】由点A的坐标易求得直线 的表达式，则向上平移m个单位以后得到y= +m（m＞0），∵⊙O与该直线相交，则用m表示出点O到该直线的距离，由该距离要小于半径6，即可解得m的取值范围．
18．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题 A）如图，△OAC的顶点O在坐标原点，OA边在x轴上，OA=2，AC=1，把△OAC绕点A按顺时针方向旋转到△O′AC′，使得点O′的坐标是（1， ），则在旋转过程中线段OC扫过部分（阴影部分）的面积为 ．
【答案】
【知识点】扇形面积的计算；锐角三角函数的定义；求特殊角的三角函数值；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：过O′作O′M⊥OA于M，则∠O′MA=90°，
∵点O′的坐标是（1， ），
∴O′M= ，OM=1，
∵AO=2，
∴AM=2﹣1=1，
∴tan∠O′AM= = ，
∴∠O′AM=60°，
即旋转角为60°，
∴∠CAC′=∠OAO′=60°，
∵把△OAC绕点A按顺时针方向旋转到△O′AC′，
∴S△OAC=S△O′AC′，
∴阴影部分的面积S=S扇形OAO′+S△O′AC′﹣S△OAC﹣S扇形CAC′=S扇形OAO′﹣S扇形CAC′= ﹣ = ，
故答案为： ．
【分析】过O′作O′M⊥OA于M，则∠O′MA=90°，根据正切函数的定义及特殊锐角三角函数值，求出∠O′AM=60°，即旋转角为60°，然后根据阴影部分的面积S=S扇形OAO′+S△O′AC′﹣S△OAC﹣S扇形CAC′=S扇形OAO′﹣S扇形CAC′即可算出答案。
三、解答题
19．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题 A）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF=AE，连接FB，FC．
（1）求证：四边形ABFC是菱形；
（2）若AD=7，BE=2，求半圆和菱形ABFC的面积．
【答案】（1）证明：∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，
∴AE⊥BC，
∵AB=AC，
∴BE=CE，
∵AE=EF，
∴四边形ABFC是平行四边形，
∵AC=AB，
∴四边形ABFC是菱形．
（2）解：设CD=x．连接BD．
∵AB是直径，
∴∠ADB=∠BDC=90°，
∴AB2﹣AD2=CB2﹣CD2，
∴（7+x）2﹣72=42﹣x2，
解得x=1或﹣8（舍弃）
∴AC=8，BD= = ，
∴S菱形ABFC=8 ．
∴S半圆= π 42=8π．
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得出 ∠AEB=90°， 根据等腰三角形的三线合一得出 BE=CE， AE=EF， 根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得出 四边形ABFC是平行四边形， 最后根据一组邻边相等的平行四边形是菱形得出结论： 四边形ABFC是菱形；
（2） 设CD=x．连接BD． 根据直径所对的圆周角是直角得出 ∠ADB=∠BDC=90°， 根据勾股定理得出 AB2﹣AD2=CB2﹣CD2， 从而建立方程求出x的值，进而算出AC的长，再根据勾股定理算出BD的长，最后根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半，半圆的面积等于圆面积的一半即可算出答案。
20．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题 A）如图AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，BP与⊙O相交于点D，C为⊙O上的一点，分别连接CB、CD，∠BCD=60°．
（1）求∠ABD的度数；
（2）若AB=6，求PD的长度．
【答案】（1）解：方法一：如图1，连接AD．
∵BA是⊙O直径，
∴∠BDA=90°．
∵ = ，
∴∠BAD=∠C=60°．
∴∠ABD=90°﹣∠BAD=90°﹣60°=30°．
方法二：如图2，连接DA、OD，则∠BOD=2∠C=2×60°=120°．
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB= （180°﹣120°）=30°．
即∠ABD=30°．
（2）解：如图2，∵AP是⊙O的切线，
∴∠BAP=90°．
在Rt△BAD中，∵∠ABD=30°，
∴DA= BA= ×6=3．
∴BD= DA=3 ．
在Rt△BAP中，∵cos∠ABD= ，
∴cos30°= = ．
∴BP=4 ．
∴PD=BP﹣BD=4 ﹣3 = ．
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理；切线的性质；锐角三角函数的定义；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1） 方法一：如图1，连接AD． 根据直径所对的圆周角相等得出 ∠BDA=90°，根据同弧所对的圆周角相等得出 ∠BAD=∠C=60°． 再根据三角形的内角和即可算出 ∠ABD 的度数； 方法二：如图2，连接DA、OD，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠BOD=2∠C=2×60°=120°，然后根据等边对等角得出 ∠OBD=∠ODB= （180°﹣120°）=30°． 从而得出答案；
（2）根据切线的性质得出 ∠BAP=90°，然后根据含30°角的直角三角形的边之间的关系算出DA，BD的长，再根据余弦函数的定义及特殊锐角三角函数值，由 cos∠ABD= ， 即可算出BP的长，进而根据 PD=BP﹣BD 即可算出答案。
21．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题 A）如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O交AC于点E，过点E作AB的垂线交AB于点F，交CB的延长线于点G，且∠ABG=2∠C．
（1）求证：EG是⊙O的切线；
（2）若tanC= ，AC=8，求⊙O的半径．
【答案】（1）解：如图：连接OE，BE
∵∠ABG=2∠C，∠ABG=∠C+∠A
∴∠C=∠A
∴BC=AB，
∵BC是直径
∴∠CEB=90°，且AB=BC
∴CE=AE，且CO=OB
∴OE∥AB
∵GE⊥AB
∴EG⊥OE，且OE是半径
∴EG是⊙O的切线
（2）解：∵AC=8，
∴CE=AE=4
∵tan∠C= =
∴BE=2
∴BC= =2
∴CO=
即⊙O半径为
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的判定；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1） 如图：连接OE，BE ，根据三角形的一个外角等于与其不相邻的两内角的和得出 ∠ABG=∠C+∠A ，又 ∠ABG=2∠C ，故 ∠C=∠A ，根据等角对等边得出 BC=AB， 根据直径所对的圆周角是直角得出 ∠CEB=90° ，然后根据等腰三角形的三线合一得出 CE=AE ，根据三角形的中位线定理得出 OE∥AB ，再根据平行线的性质得出 EG⊥OE，又OE是半径 ，根据垂直于半径的外端，且垂直于半径的直线是圆的切线即可得出 EG是⊙O的切线 ；
（2）根据正切函数的定义，由 tan∠C= = 即可算出BE的长，然后根据勾股定理算出BC的长，从而得出答案。
22．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题 A）如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．
（1）求证：AE=ED；
（2）若AB=10，∠CBD=36°，求 的长．
【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵OC∥BD，
∴∠AEO=∠ADB=90°，
即OC⊥AD，
∴AE=ED；
（2）解：∵OC⊥AD，
∴ ，
∴∠ABC=∠CBD=36°，
∴∠AOC=2∠ABC=2×36°=72°，
∴ ．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；弧长的计算
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得出 ∠ADB=90°， 根据二直线平行同位角相等得出 ∠AEO=∠ADB=90°， 然后根据垂径定理得出 AE=ED；
（2）根据垂径定理得出 ， 根据等弧所对的圆周角相等得出 ∠ABC=∠CBD=36°， 再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出 ∠AOC=2∠ABC=2×36°=72°， 最后根据弧长计算公式l=即可算出答案。
23．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题 A）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD=CB，连接DO并延长交CB的延长线于点E．
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BE=4，DE=8，求AC的长．
【答案】（1）解：证明：连接OC．
∵CB=CD，CO=CO，OB=OD，
∴△OCB≌△OCD，
∴∠ODC=∠OBC=90°，
∴OD⊥DC，
∴DC是⊙O的切线．
（2）解：设⊙O的半径为r．
在Rt△OBE中，∵OE2=EB2+OB2，
∴（8﹣r）2=r2+42，
∴r=3，
∵tan∠E= = ，
∴ = ，
∴CD=BC=6，
在Rt△ABC中，AC= = =6 ．
【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；切线的判定；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1） DC是⊙O的切线． 理由如下： 连接OC． 利用SSS判断出 △OCB≌△OCD， 根据全等三角形的对应角相等得出 ∠ODC=∠OBC=90°， 即 OD⊥DC， 根据垂直于半径的外端点的直线是圆的切线得出 DC是⊙O的切线；
（2） 在Rt△OBE中 ，根据勾股定理建立方程，求解得出该圆的半径，然后根据正切函数的定义，由 tan∠E= = ， 建立方程，求解即可求出 CD=BC=6， 最后 在Rt△ABC中 ，根据勾股定理算出AC的长。
24．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题 A）已知：如图，AB是⊙O的直径，AB=4，点F，C是⊙O上两点，连接AC，AF，OC，弦AC平分∠FAB，∠BOC=60°，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D，垂足为点D．
（1）求扇形OBC的面积（结果保留π）；
（2）求证：CD是⊙O的切线．
【答案】（1）解：∵AB=4，
∴OB=2
∵∠COB=60°，
∴S扇形OBC= =
（2）证明：∵AC平分∠FAB，
∴∠FAC=∠CAO，
∵AO=CO，
∴∠ACO=∠CAO
∴∠FAC=∠ACO
∴AD∥OC，
∵CD⊥AF，
∴CD⊥OC
∵C在圆上，
∴CD是⊙O的切线
【知识点】含30°角的直角三角形；切线的判定；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）根据扇形的面积计算公式S=即可直接算出答案；
（2）根据角平分线的定义得出 ∠FAC=∠CAO， 根据等边对等角得出 ∠ACO=∠CAO ，故 ∠FAC=∠ACO ，根据内错角相等两直线平行得出 AD∥OC， 从而由平行线的性质得出 CD⊥OC ，根据垂直于半径的外端点的直线是圆的切线即可得出结论： CD是⊙O的切线 .
25．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题 A）如图，D是△ABC外接圆上的动点，且B，D位于AC的两侧，DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交此圆于点F．BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，DC，FB的延长线交于点P，且PC=PB．
（1）求证：BG∥CD；
（2）设△ABC外接圆的圆心为O，若AB= DH，∠OHD=80°，求∠BDE的大小．
【答案】（1）证明：如图1，∵PC=PB，
∴∠PCB=∠PBC，
∵四边形ABCD内接于圆，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∵∠BCD+∠PCB=180°，
∴∠BAD=∠PCB，
∵∠BAD=∠BFD，
∴∠BFD=∠PCB=∠PBC，
∴BC∥DF，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴∠ABC=90°，
∴AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∵BG⊥AD，
∴∠AGB=90°，
∴∠ADC=∠AGB，
∴BG∥CD；
（2）解：由（1）得：BC∥DF，BG∥CD，
∴四边形BCDH是平行四边形，
∴BC=DH，
在Rt△ABC中，∵AB= DH，
∴tan∠ACB= = ，
∴∠ACB=60°，∠BAC=30°，
∴∠ADB=60°，BC= AC，
∴DH= AC，
① 当点O在DE的左侧时，如图2，
作直径DM，连接AM、OH，则∠DAM=90°，
∴∠AMD+∠ADM=90°
∵DE⊥AB，
∴∠BED=90°，
∴∠BDE+∠ABD=90°，
∵∠AMD=∠ABD，
∴∠ADM=∠BDE，
∵DH= AC，
∴DH=OD，
∴∠DOH=∠OHD=80°，
∴∠ODH=20°
∵∠ADB=60°，
∴∠ADM+∠BDE=40°，
∴∠BDE=∠ADM=20°，
② 当点O在DE的右侧时，如图3，作直径DN，连接BN，
由①得：∠ADE=∠BDN=20°，∠ODH=20°，
∴∠BDE=∠BDN+∠ODH=40°，
综上所述，∠BDE的度数为20°或40°．
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；锐角三角函数的定义；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）根据等边对等角得出 ∠PCB=∠PBC， 根据圆的内接四边形的对角互补得出 ∠BAD+∠BCD=180°， 根据同角的半径相等得出 ∠BAD=∠PCB， 根据同弧所对的圆周角相等得出 ∠BAD=∠BFD， 故 ∠BFD=∠PCB=∠PBC， 根据同位角相等二直线平行得出 BC∥DF， 根据二直线平行同位角相等得出 ∠ABC=90°， 根据90°的圆周角所对的弦是直径得出 AC是⊙O的直径， 根据直径所对的圆周教师直角得出 ∠ADC=90°， 进而根据 ∠ADC=∠AGB， 由同位角相等两直线平行得出 BG∥CD；
（2）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得出 四边形BCDH是平行四边形， 根据平行四边形的对边相等得出 BC=DH， 根据正切函数的定义及特殊锐角三角函数值，由 tan∠ACB= = ， 得出 ∠ACB=60°，∠BAC=30°， 根据同弧所对的圆周角相等得出 ∠ADB=60°，根据含30°角的直角三角形的边之间的关系得出BC= AC， 故 DH= AC， ① 当点O在DE的左侧时，如图2， 作直径DM，连接AM、OH，则∠DAM=90°， 根据同弧所对的圆周角相等得出 ∠AMD=∠ABD， 根据等角的余角相等得出 ∠ADM=∠BDE， 根据同圆的直角相等得出 DH=OD， 根据等边对等角得出 ∠DOH=∠OHD=80°， 根据三角形的内角和得出 ∠ODH=20° ，根据角的和差得出 ∠ADM+∠BDE=40°， 进而得出 ∠BDE=∠ADM=20°； ② 当点O在DE的右侧时，如图3，作直径DN，连接BN， 由①得：∠ADE=∠BDN=20°，∠ODH=20°， 故 ∠BDE=∠BDN+∠ODH=40°， 综上所述即可得出答案。
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