（人教A版）数学必修四 1.1.1 任意角 课件

课件31张PPT。第一章　 三角函数第一章　 三角函数1．1　任意角和弧度制
1．1.1　任意角第一章　 算法初步学习导航
1．任意角
(1)角的概念
角可以看成平面内一条_______绕着端点从一个位置______到
另一个位置所成的________
(2)角的表示
如图，OA是角α的_______，OB是角α的_______，O是角的_______角α可记为“______”或“______”或简记为“___”．射线旋转图形．始边终边顶点．角α∠αα(3)角的分类
按旋转方向，角可以分为三类：
逆时针顺时针想一想
1.理解角的概念要注意哪几个要素？
提示：顶点，始边，终边和旋转方向．
做一做
1.图中OA为始边，则α＝________，β＝________.
答案：140°　－220°
2．象限角
把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与________
重合，角的始边与___轴的非负半轴重合，那么角的_____在第几象限，就说这个角是第几____________；如果角的终边在__________，就认为这个角不属于任何一个象限．
原点终边x象限角坐标轴上2.判断下列说法是否正确．
(1)第一象限角都是锐角(　　)
(2)锐角都是第一象限角(　　)
(3)第一象限角一定不是负角(　　)
(4)第二象限角是钝角(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
3．终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝___________________}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
α＋k·360°，k∈Z想一想
2.终边相同的角一定相等吗？相等的角终边一定相同吗？
提示：终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差周角的整数倍．
做一做
3.(1)在0°～360°内与390°终边相同角为________．
(2)与45°角终边相同的角是________．
答案：(1)30°　(2)45°＋k·360°，k∈Z
题型一　任意角的概念
下列命题：
①第二象限角大于第一象限角；
②小于180°的角是钝角、直角或锐角；
③正角大于负角；④相差360°整数倍的两个角，其终边不一定相同．
其中真命题的序号为________(把你认为正确的命题的序号都写上)．
【解析】　①120°角是第二象限角，390°角是第一象限角，
显然390°>120°，所以①不正确．
②0°角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，
故②不正确．
③正角、负角是用来表示具有相反意义的旋转量，像正数、
负数的规定一样，正角大于负角，③正确．
④终边相同的两个角一定相差360°的整数倍，反之也成立，
故④不正确．【答案】　③
【名师点评】　解决此类问题的关键在于正确理解0°～90°的角、象限角、锐角、小于90°的角等概念．另外需要掌握判断命题真假的技巧：判断命题为真时需要证明，而判断命题为假时只要举出反例即可．
跟踪训练
1．A＝{小于90°的角}，B＝{第一象限角}，则A∩B＝(　　)
A．{锐角}　　　　 B．{小于90°的角}
C．{第一象限角} D．以上都不对
解析：选D.小于90°的角由锐角、零角、负角组成，而第一象限的角包含有锐角及其他终边在第一象限的角，所以A∩B是由锐角和终边在第一象限的负角组成的集合，故选D.
题型二　终边相同的角及象限角 下列各角分别是第几象限角？请写出与下列各角的终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β<720°的元素β写出来：
(1)60°；(2)－21°；(3)363°14′.
【解】　(1)60°是第一象限角，S＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，S中适合－360°≤β<720°的元素是60°＋(－1)×360°＝－300°，60°＋0×360°＝60°，60°＋1×360°＝420°.(2)－21°是第四象限角，S＝{β|β＝－21°＋k·360°，k∈Z}，S中适合－360°≤β<720°的元素是－21°＋0×360°＝－21°，－21°＋1×360°＝339°，－21°＋2×360°＝699°.
(3)363°14′是第一象限角，S＝{β|β＝363°14′＋k·360°，k∈Z}，S中适合－360°≤β<720°的元素是363°14′
＋(－2)×360°＝－356°46′，363°14′＋(－1)×360°
＝3°14′，363°14′＋0×360°＝363°14′.
【名师点评】　(1)象限角的判定有两种方法：一是根据图象；二是将角转化到0°～360°范围内，利用图象实际操作时，依据的还是终边相同的角的思想．
(2)终边相同的角之间相差360°的整数倍，终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍，终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．
跟踪训练
2．(1)已知α是第二象限角，则180°＋α是第________象限角，－α是第________象限角．答案：四　三
(2)已知α＝－1 910°.
①把α写成β＋k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，指出它是第几象限角；
②求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ<0°.解：①－1 910°＝250°＋(－6)×360°，∵250°是第三象限角，∴α＝－1 910°是第三象限角．
②令θ＝250°＋k·360°(k∈Z)，由－720°≤250°＋k·360°<0°得－2≤k≤－1，∴k＝－2，－1，此时θ＝－470°，－110°.
题型三　区域角的表示
已知角α的终边落在阴影所表示的范围内(包括边界)，试写出角α的集合．【解】　在0°～360°范围内，终边落在阴影内的角为90°≤α≤135°或 270°≤α≤315°.所以终边落在阴影所表示的范围内的角α的集合为{α|90°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}∪{α|270°＋k·360°≤α≤315°＋k·360°，k∈Z}＝{α|90°＋2k·180°≤α≤135°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|90°＋(2k＋1)·180°≤α≤135°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|90°＋n·180°≤α≤135°＋n·180°，n∈Z}．【名师点评】　表示区间角的三个步骤：
第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；
第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．跟踪训练
3.
如右图，
(1)终边落在OB位置，且在－360°≤β≤360°内的角β的集合是________．
(2)终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是________．
(3)终边落在阴影部分(含边界)且在0°≤β≤360°内的角β的集合是________．
(4)终边不落在阴影部分(含边界)的角的集合是________．答案：(1){－45°，315°}
(2){β|－45°＋k·360°≤β≤120°＋k·360°，k∈Z}
(3){β|0°≤β≤120°或315°≤β≤360°}
(4){β|－240°＋k·360°<β<－45°＋k·360°，k∈Z}1．对角的概念的认识关键是抓住“旋转”二字
(1)要明确旋转方向；
(2)要明确旋转的大小；
(3)要明确射线未作任何旋转时的位置．2．终边相同的角的四个注意点
所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子α＋k·360°，k∈Z表示，在运用时需注意以下几点：
(1)k是整数，这个条件不能漏掉；
(2)α是任意角；
(3)k·360°与α之间用“＋”连接，如k·360°－30°应看成－30°＋k·360°，k∈Z；
(4)终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍．相等的角终边一定相同．名师解题互动探究解：因为α是第二象限角，所以90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)．
(1)因为180°＋2k·360°<2α<360°＋2k·360°(k∈Z)，故2α是第三或第四象限角或终边落在y轴非正半轴的角．