2021-2022学年贵州省各地八年级下学期人教版数第十七章：勾股定理练习题学期末试题选编（含解析）

第十七章：勾股定理练习题
一、单选题
1．（2022春·贵州安顺·八年级统考期末）已知直角三角形的两边长分别为3和2，则第三边长为（ ）
A． B． C．1 D． 或
2．（2022春·贵州黔南·八年级统考期末）如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm至D点，则橡皮筋被拉长了( )
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
3．（2022春·贵州毕节·八年级统考期末）如图，在中，，则边上的高的长为（ ）
A．4 B． C． D．5
4．（2022春·贵州黔西·八年级统考期末）下列各数组中，是勾股数的是（ ）
A．6，8，10 B．2，2，2 C．1，1， D．0.4，0.3，0.5
5．（2022春·贵州安顺·八年级统考期末）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
6．（2022春·贵州遵义·八年级统考期末）在中，，，，点、分别是直角边和斜边上的点，把沿着直线折叠，点恰好落在边的中点上，则线段的长度为（ ）
A． B． C．3 D．4
7．（2022春·贵州黔东南·八年级统考期末）如图，一木杆在离地面 3 m 处折断，木杆顶端落在离木杆底端 4 m 处，则木杆折断之前的高度为（ ）m．
A．9 B．8 C．5 D．4
8．（2022春·贵州毕节·八年级统考期末）△ABC的三边长分别为a，b，c，下列条件，其中能判断△ABC是直角三角形的个数有（ ）
①∠A=∠B-∠C；②a2=(b+c)(b-c)；③∠A：∠B：∠C=3：4：5 ； ④a：b：c=5：12：13
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2022春·贵州黔南·八年级统考期末）设三角形的三边长分别等于下列各组数，其中所对应的三角形是直角三角形的是（ ）
A．2，2，3 B．4，5，6 C．5，6，10 D．6，8，10
10．（2022春·贵州黔东南·八年级统考期末）已知ABC的三边长分别为a，b，c，由下列条件不能判断ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A＝2∠B＝3∠C B．∠A＝∠C﹣∠B
C．a：b：c＝3：4：5 D．a2＝（b+c）（b﹣c）
二、填空题
11．（2022春·贵州黔南·八年级期末）在直角三角形中，已知两边的长分别是4和3，则第三边的长是________．
12．（2022春·贵州遵义·八年级统考期末）如图是数学史上著名的“希波克拉底月牙问题”：在中，，，，，分别以的各边为直径向外作半圆，则图中两个“月牙”，即阴影部分的面积为________．（用含，，的式子表示）
13．（2022春·贵州黔南·八年级统考期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙．一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7m，顶端距离地面2.4m．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2m，则小巷的宽度为_____m．
14．（2022春·贵州黔西·八年级统考期末）一个三角形的三边长分别为6，8，10，则它最短边上的高为________．
三、解答题
15.（2022春·贵州安顺·八年级统考期末）如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13米，此人以0.5米/秒的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？(假设绳子是直的，结果保留根号)
16．（2022春·贵州黔南·八年级统考期末）小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高.
17．（2022春·贵州黔东南·八年级统考期末）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．
(1)在图1中以格点为顶点画一个面积为5的正方形；
(2)①在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为、、，
②判断此三角形的形状并求出它的面积．
18．（2022春·贵州遵义·八年级统考期末）如图，每个小正方形的边长都是1，，四边形的四个顶点分别在小正方形的格点上．
(1)求四边形的周长；
(2)求四边形的面积．
19．（2022春·贵州安顺·八年级统考期末）一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，
(1)这个梯子的顶端距地面有多高？
(2)如果梯子的顶端下滑了4米到，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
20．（2022春·贵州黔南·八年级统考期末）如图，在四边形ABCD中，AB=13，BC=5，CD=15，AD=9，对角线AC⊥BC．
（1）求AC的长；
（2）求四边形ABCD的面积．
21．（2022春·贵州黔西·八年级统考期末）在一条东西走向的河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得千米，千米，千米．
(1)问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明．
(2)求原来的路线AC的长．
参考答案：
1．D
【分析】分为两种情况：①斜边是34有一条直角边是3，②3和2都是直角边，根据勾股定理求出即可．
【详解】解：如图：
分为两种情况：①斜边是3，有一条直角边是2，由勾股定理得：
第三边长是；
②3和2都是直角边，由勾股定理得：第三边长是
；
即第三边长是 或 ，
故选：D．
【点睛】本题考查了对勾股定理的应用，注意：在直角三角形中的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，解题的关键是熟记勾股定理．
2．A
【分析】根据勾股定理可以得到AD和BD的长度，然后用AD+BD-AB的长度即为所求．
【详解】根据题意可得BC=4cm，CD=3cm，
根据Rt△BCD的勾股定理可得BD=5cm，
则AD=BD=5cm，
所以橡皮筋被拉长了（5+5）－8=2cm．
故选：A．
3．C
【分析】过A作AE⊥BC于点E，根据勾股定理计算出底边上的高AE的长，然后利用三角形面积的不同求法列式求出BD即可．
【详解】解：过点A作AE⊥BC于点E，
∵AB＝AC＝5，
∴△ABC是等腰三角形，
∵AE⊥BC，
∴EB＝EC＝BC＝3，
在Rt△ABE中，AE＝，
∴＝AC·BD＝BC·AE，
∴BD，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用以及等腰三角形的性质，关键是掌握等腰三角形底边上的高线和中线重合．
4．A
【分析】根据勾股数的定义：满足的三个正整数称为勾股数，即可判断．
【详解】A：，能构成直角三角形，是正整数满足勾股数的定义，符合题意；
B：，不满足勾股数的定义，不符合题意；
C：1，1，不都是正整数，不满足勾股数的定义，不符合题意；
D：0.4，0.3，0.5都不是正整数，不满足勾股数的定义，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查勾股数的定义，熟练掌握勾股数的定义是解题的关键．
5．C
【分析】根据勾股定理即可得到AB，BC，AC的长度，进行判断即可．
【详解】解：连接AC，如图：
根据勾股定理可以得到：AC=BC=，AB=．
∵（）2+（）2=（）2．
∴AC2+BC2=AB2．
∴△ABC是等腰直角三角形．
∴∠ABC=45°．
故选C．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握其性质是解题的关键．
6．B
【分析】由折叠的性质可得AE＝DE，则DE＝8－BE，在Rt△BDE中，利用勾股定理构建方程求出BE即可．
【详解】解：由折叠的性质可得AE＝DE，
∵，，，点是边的中点，
∴DE＝AE＝8－BE，BD＝，
在Rt△BDE中，BD2＋BE2＝DE2，即，
解得：BE＝，
故选：B．
【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，利用勾股定理得出关于BE的方程是解题的关键．
7．B
【分析】在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度．
【详解】∵一棵垂直于地面的大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，
∴折断的部分长为（米），
∴折断前高度为5+3=8（米）．
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力．
8．C
【分析】根据直角三角形的定义，勾股定理的逆定理一一判断即可．
【详解】解：①∠A=∠B-∠C，可得：∠B=90°，是直角三角形；
②a2=（b+c）（b-c），可得：a2+c2=b2，是直角三角形；
③∠A：∠B：∠C=3：4：5，可得：∠C=75°，不是直角三角形；
④a：b：c=5：12：13，可得：a2+b2=c2，是直角三角形；
故选：C．
【点睛】此题考查了勾股定理逆定理的运用，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可，注意数据的计算．
9．D
【分析】利用勾股定理的逆定理求解即可
【详解】A．，不是直角三角形，故此选项错误；
B．，不是直角三角形，故此选项错误；
C．，不是直角三角形，故此选项错误；
D．，是直角三角形，故此选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握定理并准确利用定理进行判断是解题关键．
10．A
【分析】根据三角形的内角和定理求出∠A的度数，即可判断选项A；根据三角形内角和定理求出∠C的度数，即可判断选项B；根据勾股定理的逆定理判定选项C和选项D即可．
【详解】设△ABC中，∠A的对边是a，∠B的对边是b，∠C的对边是c，
A．∵∠A＝2∠B＝3∠C，
∴∠B＝∠A，∠C＝∠A，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A+∠A+∠A＝180°，
解得：∠A＝．，
∴△ABC不是直角三角形，故本选项符合题意；
B．∵∠A＝∠C﹣∠B，
∴∠A+∠B＝∠C，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
C．∵a：b：c＝3：4：5，
∴a2+b2＝c2，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
D．∵a2＝（b+c）（b﹣c），
∴a2＝b2﹣c2，
即a2+c2＝b2，
∴∠B＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，能熟记勾股定理的逆定理和三角形内角和定理是解此题的关键．
11．5或
【分析】利用勾股定理进行计算，由于题中没有明确指出第三边为直角边或斜边，所以需要分两种情况进行讨论．
【详解】解：设第三边长为x，若第三边为斜边，
则根据直角三角形中勾股定理得：；
若第三边为直角边，则根据直角三角形中勾股定理得：．
故答案为：5或．
【点睛】本题主要考查了直角三角形中勾股定理的应用，注意分情况讨论是本题的易错点．
12．
【分析】根据题意得：阴影部分的面积等于两个小半圆的面积之和加上直角三角形ABC的面积减去大半圆的面积，由勾股定理得到，代入即可求解．
【详解】解：根据题意得：阴影部分的面积等于两个小半圆的面积之和加上直角三角形ABC的面积减去大半圆的面积，
∵在中，，，，，
∴，
∴阴影部分的面积等于
．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，根据题意得到阴影部分的面积等于两个小半圆的面积之和加上直角三角形ABC的面积减去大半圆的面积是解题的关键．
13．2.2
【分析】作出图形,利用定理求出BD长,即可解题.
【详解】解：如图,
在Rt△ACB中,∵∠ACB=90°,BC=0.7米,AC=2.4米,
∴AB2=0.72+2.42=6.25,
在Rt△BD中,∠DB=90°, D=2米,BD2+D2=B2,
∴BD2+22=6.25,
∴BD2=2.25,
∵BD0,
∴BD=1.5米,
∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米.
【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用,属于简单题,利用勾股定理求出BD的长是解题关键.
14．8
【分析】根据勾股定理的逆定理可判定这个三角形是直角三角形，进而可得答案．
【详解】∵，
∴此三角形是直角三角形，
∴这个三角形中最短边上的高为8，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a、b、c满足，那么这个三角形就是直角三角形．
15．船向岸边移动了(12－)米
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用BD=AB-AD可得BD长．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，BC＝13米，AC＝5米，
∴AB＝＝12(米)，
由题意，得CD＝13－0.5×10＝8(米)，
∴AD＝＝＝ (米)，
∴BD＝AB－AD＝(12－)米，
答：船向岸边移动了(12－)米．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，领会数形结合的思想的应用．
16．12m
【分析】根据题意设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+1）m，再利用勾股定理即可求得AB的长，即旗杆的高．
【详解】解：设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+1）m
在Rt△ABC中，
∴
解得x＝12
∴AB＝12
∴旗杆的高12m.
【点睛】此题考查了学生利用勾股定理解决实际问题的能力，关键是利用勾股定理即可求得AB的长．
17．(1)见解析
(2)①见解析；②此三角形是等腰直角三角形，面积为5
【分析】（1）先求出正方形的边长，再根据勾股定理画出图形即可；
（2）①根据勾股定理画出图形即可；
②先判断出三角形的形状，再由三角形的面积公式即可得出结论．
（1）
解：如图1：
（2）
①如图2，△ABC即为所求．
②，
∴此三角形是等腰直角三角形
S△ABC=
∴此三角形是等腰直角三角形，面积为5．
【点睛】本题考查的是作图一应用与设计作图，熟知勾股定理是解答此题的关键．
18．(1)12+；
(2)．
【分析】（1）根据勾股定理求得各边长度相加即可求解；
（2）如下图，连接BD，将四边形ABCD的面积转化为求解△DBC和△ABD的面积求解即可．
（1）解：∵由题意可得AB=4，BC=3，，，∴四边形的周长=AB+BC+AD+CD=4+3++5=12+；
（2）解：如下图，连接BD，∵BC=3，AB=4，△DBC的BC边上的高为3，△ABD的AB边上的高为1，∴S四边形ABCD=S△DBC+ S△ABD=．
【点睛】本题主要考查了勾股定理及实数的混合运算，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
19．(1)这个梯子的顶端距地面有24米
(2)梯子的底端在水平方向滑动了8米
【分析】（1）AC=25米，BC=7米，根据勾股定理即可求得的长；
（2）由题意得： =20米，根据勾股定理求得，根据即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：AC=25米，BC=7米，∠ABC=90°，
（米）
答：这个梯子的顶端距地面有24米；
（2）由题意得： =20米，
（米）
则：=15-7=8（米），
答：梯子的底端在水平方向滑动了8米．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
20．（1）12；（2）84．
【分析】（1）在中，利用勾股定理即可得；
（2）先根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，再根据四边形ABCD的面积等于的面积与的面积之和即可得．
【详解】（1），
是直角三角形，
，
；
（2），
，
是直角三角形，
则四边形ABCD的面积为，
，
，
即四边形ABCD的面积为84．
【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理等知识点，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．
21．(1)CH是从村庄C到河边的最近路； 理由见解析；
(2)原来的路线AC的长为1.25千米．
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理证明△CHB是直角三角形即可；
（2）设AC=x千米， 在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x-0.9，CH=1.2， 再根据勾股定理解答即可．
【详解】（1）解：是， 理由是：在△CHB中，
∵CH2+BH2=1.22+0.92=2.25， BC2=2.25，
∴CH2+BH2=BC2，
∴△CHB是直角三角形，
∴CH是从村庄C到河边的最近路；
（2）设AC=x千米，
在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x-0.9，CH=1.2，
由勾股定理得：AC2=AH2+CH2
∴x2=（x-0.9）2+1.22，
解这个方程，得x=1.25，
答：原来的路线AC的长为1.25千米．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理的逆定理和定理解答．