陕西省西安市高新一中2014届高三下学期第十一次大练习数学（理）试题

2014届第十一次大练习数学试题（理）
一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数满足，则复数的实部与虚部之差为
A． B． C． D．
2.已知集合，，则等于
A．（-∞，5） B．（-∞，2） C． （1，2） D．
3. 执行右边的程序框图，若输出的是，，
则判断框内的应是
A．
B．
C．
D．
4.如图是一个几何体的三示图，该几何体的体积是
A．
B．
C．
D．
5. 函数的大致图像是

A B C Ｄ
6. 一支足球队每场比赛获胜（得3分）的概率为，与对手踢平（得1分）的概率为，负于对手（得0分）的概率为，已知该足球队进行一场比赛得分的期望是1，则的最小值为
A． B． C． D．
7．设，把的图象按向量平移后，图象恰好为函数的图象，则的值可以为
A． B． C． D.
8.过点P(4,2)作圆的两条切线，切点分别为A、B，0为坐标原点，则的外接圆方程是
A． B．
C． D．
9．某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），
要在如图三棱柱ABC-A1B1C1的六个顶点上各安装一个
灯泡，要求同一条线段的两端的灯泡颜色不同，
则每种颜色的灯泡至少用一个的安装方法共有
A．96种 B．144种 C．216种 D．288种
10．已知是方程的解, 是方程的解,函数，则
A． .
C． D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11.在的展开式中，含项的系数是 。
12. 若实数、满足 且的最小值为，则实数的值为__
13.已知分别是圆锥曲线和的离心率，设
，则的取值范围是
14．下列四种说法中，
①命题“存在”的否定是“对于任意”；
②；命题“且为真” 是“或为真”的必要不充分条件；
③已知幂函数的图象经过点，则的值等于
④某路公共汽车每7分钟发车一次，某位乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间超过3分钟的概率是。
说法正确的序号是
15．（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分．）
.设函数。则不等式的解集为 ；
.(坐标系与参数方程选做题)曲线：（为参数），若以点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，则该曲线的极坐标方程是 ．
.(几何证明选讲选做题) 如图，⊙的直径的延长线与弦的延长线相交于点，为⊙上一点，弧，交于，且，则
_______
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16．（本小题12分）
已知数列满足，，等比数列的首项为2，公比为。
（Ⅰ）若，问等于数列中的第几项？
（Ⅱ）数列和的前项和分别记为和，的最大值为，当时，试比较与的大小
17．（本小题12分）
已知中，角、、的对边分别为
、、，角不是最大角，，
外接圆的圆心为，半径为。
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求的周长
18．（本小题满分12分）
用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，则截面与底面之间的部分叫棱台。
如图，在四棱台中，下底是边长为的正方形，上底是边长为1的正方形，侧棱⊥平面，.
（Ⅰ）求证：平面；
（II）求平面与平面夹角的余弦值.

19．（本题满分12分）
某校有一贫困学生因病需手术治疗，但现在还差手术费万元，团委计划在全校开展爱心募捐活动，为了增加活动的趣味性吸引更多学生参与，特举办“摇奖100%中奖”活动.凡捐款10元者，享受一次摇奖机会，如图是摇奖机的结构示意图，摇奖机的旋转盘是均匀的，扇形区域所对应的圆心角的比值分别为1：2：3：4：5.相应区域分别设立一、二、三、四、五等奖，奖品分别为价值分别为5元、4元、3元、2元、1元的学习用品.摇奖时，转动圆盘片刻，待停止后，固定指针指向哪个区域（边线忽略不计）即可获得相应价值的学习用品（如图指针指向区域，可获得价值3元的学习用品）.
（Ⅰ）预计全校捐款10元者将会达到1500人次，那么除去
购买学习用品的款项后，剩余款项是否能帮助该生完成手术治疗？
（II）如果学生甲捐款20元，获得了两次摇奖机会，求他获得价
值6元的学习用品的概率.

20．（本题满分13分）
设.
（Ⅰ）确定的值，使的极小值为0；
（II）证明：当且仅当时，的极大值为3.
21．（本题满分14分）已知抛物线的焦点为，过焦点且不平行于轴的动直线交抛物线于，两点，抛物线在、两点处的切线交于点．
（Ⅰ）求证：，，三点的横坐标成等差数列；
（Ⅱ）设直线交该抛物线于，两点，求四边形面积的最小值.
2014届第十一次大练习数学试题（理）
答案及评细则分
一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数满足，则复数的实部与虚部之差为 答案D
A． B． C． D．
2.已知集合，，则等于 答案C
A．（-∞，5） B．（-∞，2）
C．（1，2） D．
3. 执行右边的程序框图，若输出的是，，
则判断框内的应是 答案C
A．
B．
C．
D．
4.如图是一个几何体的三示图，该几何体的体积是 答案B
A．
B．
C．
D．
5. 函数的大致图像是 答案B

A B C Ｄ
6. 一支足球队每场比赛获胜（得3分）的概率为，与对手踢平（得1分）的概率为，负于对手（得0分）的概率为，已知该足球队进行一场比赛得分的期望是1，则的最小值为 答案A
A． B． C． D．

7．设，把的图象按向量平移后，图象恰好为函数的图象，则的值可以为 答案 D
A． B． C． D.
8.过点P(4,2)作圆的两条切线，切点分别为A、B，0为坐标原点，则的外接圆方程是 答案 A
A． B．
C． D．
9．某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），
要在如图三棱柱ABC-A1B1C1的六个顶点上各安装一个
灯泡，要求同一条线段的两端的灯泡颜色不同，
则每种颜色的灯泡至少用一个的安装方法共有 答案C
A．96种 B．144种 C．216种 D．288种
10．已知是方程的解, 是方程的解,函数，则（ ） 答案A
A． B．
C． D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11.在的展开式中，含项的系数是 。
答案
答案
13.已知分别是圆锥曲线和的离心率，设
，则的取值范围是 答案（，0）
14．下列四种说法中，
①命题“存在”的否定是“对于任意”；
②；命题“且为真” 是“或为真”的必要不充分条件；
③已知幂函数的图象经过点，则的值等于
④某路公共汽车每7分钟发车一次，某位乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间超过3分钟的概率是。
说法正确的序号是 答案③④
15．（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分．）
.设函数。则不等式的解集为 ；
答案
.(坐标系与参数方程选做题)曲线：（为参数），若以点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，则该曲线的极坐标方程是 ．
答案
。(几何证明选讲选做题) 如图，⊙的直径的延长线与弦的延长线相交于点，为⊙上一点，弧，交于，且，则_______
答案
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16．（本小题12分）
已知数列满足，，等比数列的首项为2，公比为。
（Ⅰ）若，问等于数列中的第几项？
（Ⅱ）数列和的前项和分别记为和，的最大值为，当时，试比较与的大小
解：（I）． ……………2分
由，得，即是公差的等差数列．……………3分
由，得．
． ………………5分
令，得．
等于数列中的第项． ………………6分
（Ⅱ），．…………8分
又，
． ……………11分
． ……………12分
17．（本小题12分）
已知中，角、、的对边分别为、、，角不是最大角，，外接圆的圆心为，半径为。
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求的周长
17.解：（I）由正弦定理，得
．
或． ……………2分
又不是最大角，
．
． ……………4分
．
． ……………6分
（注：）
（Ⅱ）． ……………8分
由余弦定理，得


．
周长为． ……………12分
18．（本小题满分12分）
用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，则截面与底面之间的部分叫棱台。
如图，在四棱台中，下底是边长为的正方形，上底是边长为1的正方形，侧棱⊥平面，.
（Ⅰ）求证：平面；
（II）求平面与平面夹角的余弦值.
18．（本小题满分12分）
以D为原点，以DA、DC、DD1所在直线分别为x轴，z轴建立空间直角坐标系D—xyz如图，则有A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A1（1，0，2），B1（1，1，2），C1（0，1，2），D1（0，0，2）. … 3分
（Ⅰ）证明：设则有所以，，∴平面；………6分
（II）解：
设为平面的法向量，
于是………8分
同理可以求得平面的一个法向量，………10分
∴二面角的余弦值为. ………12分
19．（本题满分12分）
某校有一贫困学生因病需手术治疗，但现在还差手术费万元，团委计划在全校开展爱心募捐活动，为了增加活动的趣味性吸引更多学生参与，特举办“摇奖100%中奖”活动.凡捐款10元者，享受一次摇奖机会，如图是摇奖机的结构示意图，摇奖机的旋转盘是均匀的，扇形区域所对应的圆心角的比值分别为1：2：3：4：5.相应区域分别设立一、二、三、四、五等奖，奖品分别为价值分别为5元、4元、3元、2元、1元的学习用品.摇奖时，转动圆盘片刻，待停止后，固定指针指向哪个区域（边线忽略不计）即可获得相应价值的学习用品（如图指针指向区域，可获得价值3元的学习用品）.
（Ⅰ）预计全校捐款10元者将会达到1500人次，那么除去
购买学习用品的款项后，剩余款项是否能帮助该生完成手术治疗？
（II）如果学生甲捐款20元，获得了两次摇奖机会，求他获得价
值6元的学习用品的概率.
18．（本题满分12分）
解：（Ⅰ）设摇奖一次，获得一、二、三、四、五等奖的事件分别记为.
则其概率分别为
……3分
设摇奖一次支出的学习用品相应的款项为，则的分布列为：
1
2
3
4
5

.………6分
若捐款10元者达到1500人次，那么购买学习用品的款项为（元）,
除去购买学习用品的款项后，剩余款项为（元）,
故剩余款项可以帮助该生完成手术治疗. ………8分
（II）记事件“学生甲捐款20元获得价值6元的学习用品”为，则.
即学生甲捐款20元获得价值6元的学习用品的概率为………12分
20.（本题满分13分）
设.
（Ⅰ）确定的值，使的极小值为0；
（II）证明：当且仅当时，的极大值为3.
20．解：（Ⅰ）由于所以
………2分
令,
当时，
………3分
所以，
当，即时，的变化情况如下表1：
x
0
(0, )
(,+∞)
－
0
+
0
－
↘
极小值
↗
极大值
↘
此时应有，所以；………5分
②当，即时，的变化情况如下表2：
x
（）
0
(0,+∞)
－
0
+
0
－
↘
极小值
↗
极大值
↘
此时应有
而
综上可知，当或4时，的极小值为. …………7分
（II）若，则由表1可知，应有 也就是
………9分
设
由于得
所以方程 无解. ………11分
若，则由表2可知，应有，即.
综上可知，当且仅当时，的极大值为. ………13分
21.（本题满分14分）已知抛物线的焦点为，过焦点且不平行于轴的动直线交抛物线于，两点，抛物线在、两点处的切线交于点．
（Ⅰ）求证：，，三点的横坐标成等差数列；
（Ⅱ）设直线交该抛物线于，两点，求四边形面积的最小值．
解：（Ⅰ）由已知，得，显然直线的斜率存在且不为0，
则可设直线的方程为（），，，
由消去，得，显然.
所以，. ………………………………………………2分
由，得，所以，
所以，直线的斜率为，
所以，直线的方程为，又，
所以，直线的方程为 ①。………………………………4分
同理，直线的方程为 ②。………………………………5分
②-①并据得点M的横坐标，
即，，三点的横坐标成等差数列。 …………………………………7分
（Ⅱ）由①②易得y=-1,所以点M的坐标为（2k,-1）()。
所以，
则直线MF的方程为， …………………………………………8分
设C(x3,y3),D(x4,y4)
由消去，得，显然，
所以，。 …………………………………………9分
又
。…………10分
。……………………12分
因为，所以 ，
所以，，
当且仅当时，四边形面积的取到最小值。……………………14分