8.3.3球的表面积和体积 课件（共20张PPT）

7.1.1 数系的扩充和复数的概念
2023/3/25
第八章 立体几何初步
8.3.2.2 球的表面积和体积
学习目标
1.知道球的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题。
2.了解球的体积公式的推导过程，提高空间思维能力和空间想象能力。
3. 球的截面及其性质
① 用一个平面去截球，截面是圆面；
② 球心和截面圆心的连线与截面垂直，
与截面内的直线都垂直．
O1
R2 = r2 + d2
③ 球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r的关系:
1. 球的表面积
设球的半径为R，它的表面积只与半径R有关，是以R为自变量的函数.事实上，如果球的半径为R，那么它的表面积是
S球 = 4πR2
大圆面积的4倍
练一练：钢球直径是5cm,求它的表面积.
探究新知
例1 如图，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是0.3m，圆柱高0.6m．如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要0.5kg涂料，那么给1000个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？(π取3.14)
解:一个浮标的表面积为
2π×0.15×0.6+4π×0.152=0.8478(m2),
所以给1000个这样的浮标涂防水漆约需涂料
0.8478×0.5×1000=423.9(kg).
例题讲解
圆的面积公式的推导
分割
以直代曲
取极限
……
n=6
A3
An
A4
作圆的内接正六，十二边形，…
思想方法：
思考：在小学，我们学习了圆的面积公式，你知道这个公式是如何推出的吗？
是谁想出来这种方法的呢？
n=12
球的体积公式的推导
第一步：分割
将球O 的表面分成n个小网格，连接球心O和每个小网格的顶点，整个球体就被分割成n个“小锥体”．
第二步：以直代曲
当n 越大时，每个小网格就越小，每个“小锥体”的底面就越平，“小锥体”就越近似于棱锥，棱锥的高近似于球半径R．
设O-ABCD是其中一个“小锥体”，则它的体积是
第三步：取极限
由于球的体积是这n个“小锥体”的体积之和，而这n个“小锥体”的底面积之和就是球的表面积，
当n趋于无穷大时，球的体积为：
分割
以直代曲
取极限
思想方法：
思考 类比圆的面积公式的推导方法，你能推导出球的体积公式？
例2 一平面截一球得到直径为2????cm的圆面，球心到这个平面的距离是2 cm，则该球的体积是 (　　)
A．12π cm3 B．36π cm3 C．64π cm3 D．108π cm3
?
例题讲解
练习 如图示，圆柱的底面直径和高都等于球的直径， 求球与圆柱的体积之比.
解：设球的半径为R，则圆柱的底面半径也为R，高为2R.
即球与圆柱的体积之比为2:3.
例题讲解
外接球：将几何体包围，且几何体的顶点和弧面在此球上
内切球：球体在几何体里面，且球体与几何体每个面均相切。
棱切球：球体与几何体每条棱均相切。
外接球
外接球
内切球
棱切球
球的接与切
探究新知
长方体的外接球
结论：长方体外接球的直径等于长方体的体对角线.
(2R)2=a2+b2+c2(a,b,c是长方体的棱长)
解：
作出截面图如图示.
由图可知，球的直径等于正方体的体对角线长，即
∴ 球的表面积为
14π
结论:正方体外接球直径等于正方体的（体）对角线的长
课堂练习
结论：正方体棱切球的球的直径等于一个面上的对角线长
例题讲解
O
?
A
解：
作出截面图如图示.
由图可知，
球的直径等于正方体的棱长，
即
2R = 2，∴R = 1.
∴ 球的体积为
正方体的内切球
结论：正方体内切球的直径等于正方体棱长。
切点：各个面的中心.
球心：正方体的中心.
直径：相对两个面中心连线.
直径等于正方体的棱长.
①内切球
?
O
O
?
②棱切球
O
?
?
O
切点：各棱的中点.
球心：正方体的中心.
直径： “对棱”中点连线
直径等于正方体一个面的对角线长.
③外接球
O
A
B
C
D
O
?
A
B
C
D
直径等于正方体的体对角线长.
球心：正方体的中心.
直径： 体对角线
归纳总结
直棱柱外接球
?
O
?
O2
C
B
A
a
?
O1
B
AO2=
∴R2=AO2=AO22+OO22=
OO2=
∴S球=4πR2=
课堂小结
?
O
R
1.球的表面积、体积公式
2. 球与多面体的内切、外接
3. 思想方法：
1.长方体的外接球
2.正方体的三个球
(2R)2=a2+b2+c2
分割
以直代曲
取极限
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