6.1 平面向量的概念 学案（含解析）

第六章 平面向量及其应用
6.1 平面向量的概念
学案
学习目标
1.通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的相关概念.
2.掌握向量的表示方法，理解向量的模的概念，理解两个向量相等的含义以及共线向量的概念.
3.理解平面向量的几何表示和基本要素.
知识汇总
1.向量与数量
（1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量，例如：位移、力、速度、加速度等都是向量.
（2）数量：只有大小没有方向的量称为数量，例如：面积、时间、质量、温度等都是数量.
2.向量的表示
（1）几何表示：如图所示，向量可用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向.
有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.
（2）字母表示：向量也可以用字母表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如：，，….
3.向量的有关概念
向量的模 向量的大小称为向量的长度（或称模），记作
零向量 长度为0的向量，记作，的方向是任意的
单位向量 长度等于1个单位长度的向量
平行向量 （共线向量） 方向相同或相反的非零向量向量与平行，记作 规定：零向量与任意向量平行
相等向量 长度相等且方向相同的向量向量与相等，记作
习题检测
1.下列量不是向量的是( )
A.力 B.速度
C.质量 D.加速度
2.下列说法中正确的是( )
A.与线段BA的长度不相等
B.对任一向量，总是成立的
C.
D.若，且，，则
3.下列说法正确的是( )
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则，不是共线向量
4.设点O是正方形ABCD的中心，则下列结论错误的是( )
A. B.
C.与共线 D.
5.（多选）下列能使成立的是( )
A. B.
C.与方向相反 D.或
6.给出下列说法：
①零向量是没有方向的；②零向量的长度为0；③零向量的方向是任意的；④单位向量的模都相等，其中正确的是_______(填序号).
7.在等腰梯形ABCD中，，则下列结论中正确的是________.(写出所有正确结论的序号)
①；②；③；④.
8.下列说法中，正确的序号是___________.
①零向量都相等；
②任一向量与它的平行向量不相等；
③若四边形ABCD是平行四边形，则；
④共线的向量，若始点不同，则终点一定不同.
9.如图，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形.
(1)找出与相等的向量.
(2)找出与共线的向量.
10.在等腰梯形ABCD中，，对角线AC与BD相交于点O，EF是过点O且平行于AB的线段，在所标的向量中：
(1)写出与共线的向量.
(2)写出与方向相同的向量.
(3)写出与，的模相等的向量.
(4)写出与相等的向量.
答案以及解析
1.答案：C
解析：质量只有大小，没有方向，不是向量.故选C.
2.答案：C
解析：，分别与线段AB，BA的长度相等，所以A不正确，C正确；，对任一向量，总成立，所以B不正确；对于D，当与方向相反时，，故D不正确.故选C.
3.答案：C
解析：向量不能比较大小，所以A不正确；需满足两个条件：，同向且，所以B不正确；当时，与方向相同，所以，C正确，当时，与也可能是共线向量，D不正确.故选C.
4.答案：D
解析：如图所示，点O是正方形ABCD的中心，则，A正确；显然与共线，即，B正确；又，所以与共线，C正确；，但，D错误.故选D.
5.答案：ACD
解析：对于A，若，则与的长度相等且方向相同，所以；对于B，若，则与的长度相等，而方向不确定，因此不一定有；对于C，方向相同或相反的向量都是平行向量，因此若与方向相反，则有；对于D，零向量与任意向量平行，所以若或，则.故选ACD.
6.答案：②③④
解析：由零向量的方向是任意的，知①错误，③正确；由零向量的定义知②正确；由单位向量的模是1，知④正确.
7.答案：③
解析：如图，四边形ABCD为等腰梯形，与的大小相等，但方向不同，故.
8.答案：①③
解析：因为零向量的长度都为零，且其方向任意，所以零向量相等，所以①正确；
因为平行向量的方向可以相同且大小也可以相等，所以任一向量与它的平行向量可能相等，所以②错误；画出图形，可得，所以③正确；由共线向量的定义可知：共线的向量，始点不同，终点可能相同，所以④不正确.
9.解析：(1)由四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形知，
，与的长度相等且方向相同，所以与相等的向量为，.
(2)由题干图可知，，，与方向相同，，，，与方向相反，所以与共线的向量有，，，，，，.
10.解析：(1)在等腰梯形ABCD中，，.
题干图中与共线的向量有，，，.
(2)题干图中与方向相同的向量有，，，.
(3)题干图中与的模相等的向量为，与的模相等的向量为.
(4)题干图中与相等的向量为.
2